福建省福州市2016届高三5月综合质量检测数学理试题

HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 1 2016 年福州市 普通 高中毕业班 综合 质量检 测 理科数学能力测试 完卷时间 完卷时间 120 分钟 满分 分钟 满分 150 分 分 本试卷分第 卷和第 卷两部分 第 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 4 页 满分 150 分 考生注意 考生注意 1 答题前 考生务必将自己的准考证号 姓名填写在答题卡上 考生要认真核对答题卡上粘 贴的条形码的 准考证号 姓名 考试科目 与考生本人准考证号 姓名是否一致 2 第 卷每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 第 卷用毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上0 5 书写作答 若在试题卷上作答 答案无效 3 考试结束 监考员将试题卷和答题卡一并收回 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 1 已知全集为 R 集合 则 1 1 2 4 M 2 23 Nx xx MN R A B C D 1 1 2 1 2 4 12xx 2 复数 z 满足 则复数 z 的共轭复数在复平面内的对应点位于 1i 1i z A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 函数 在处取得最小值 则 sin f xAx 0A 3 x A 是奇函数 B 是偶函数 3 f x 3 f x C 是奇函数 D 是偶函数 3 f x 3 f x 4 在中 则ABC 5AB AC 4BA BC AB A B C D 9321 5 已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响 施工期间的年降水量 X 单位 mm 对工期 延误天数 Y 的影响及相应的概率如下表所示 P 降水量 X 100X 100200X 200300X 300X 工期延误天 数 Y 051530 概率 P0 40 20 10 3 在降水量至少是的条件下 工期延误不超过天的概率为X10015 A B C D 0 10 30 420 5 6 若满足约束条件且目标函数取得最大值的点有无数个 则的最小 x y 10 20 220 x xy xy zaxy z HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 2 值等于 A B 2 3 2 C D 1 2 1 2 7 执行右面的程序框图 若输入值为 4 则输出的结果为n A 8 B 21 C 34 D 55 8 的展开式中 的系数为 5 1 2x x 2 x A 45 B 60 C 90 D 120 9 正项等比数列满足 则下列结论正确的是 n a 1 1a 2635 a aa a 128 A B n N 12nnn a aa n N 21 2 nnn aaa C D n N 1nn Sa n N 312nnnn aaaa 10 双曲线的左 右焦点分别为 是 22 22 1 0 0 xy Eab ab 1 F 2 FP 左支上一点 直线与圆相切 则的离心率为E 112 PFFF 2 PF 222 xya E A B C D 5 4 3 5 3 2 3 3 11 一个三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的体积等于 A B 2 4 2 3 C D 4 3 3 3 12 设 函数 若存在使m R 222 e2 x f xxmm 0 x 得成立 则 0 1 5 f x m A B C D 1 5 2 5 3 5 4 5 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须做 答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求做答 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 2 1 2 2 HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 3 二 填空题 本大题 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在答题卡相应位置 13 知函数若为偶函数 则实数 1 02 1 20 xx f x x 2 2g xf xax x a 14 所有棱长均为的正四棱锥的外接球的表面积等于 2 15 抛物线的准线与轴交于点 过焦点作倾斜角为的直线与交于两点 2 4C yx xMF60 C A B 则 tanAMB 16 数列的前项和为 已知 则 n an n S 1 2a 1 1 2 n nn SSn 100 S 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 的内角 所对的边分别为 已知 ABC A BC a b c tan2 1 tan Ac Bb 求 A 若边上的中线 高线 求的面积 BC2 2AM 3AH ABC 18 本小题满分 12 分 为了研究某学科成绩是否与学生性别有关 采用分层抽样的方法 从高三年级抽取了 30 名男生和 20 名女生的该学科成绩 得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图 规定 80 分以上为优分 含 80 分 i 请根据图示 将 2 2 列联表补充完整 ii 据此列联表判断 能否在犯错误概率不超过 10 的前提下认为 该学 科成绩与性别有关 将频率视作概率 从高三年级该学科成绩中任意抽取 3 名学生的成绩 求至少 2 名学生的成 绩为优分的概率 附 2 2 dbcadcba bcadn K 19 本小题满分 12 分 如图所示 四棱锥的底面是梯形 且 平面 是中点 PABCD ABCDAB PADEPB 优分非优分总计 男生 女生 总计50 2 P Kk 0 1000 0500 0100 001 k2 7063 8416 63510 828 E D C B A P HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 4 1 2 CDPDADAB 求证 平面 CE PAB 若 求直线与平面所成角的大小 3CE 4AB CEPDC 20 本小题满分 12 分 在平面直角坐标系中 已知点的坐标分别为 直线相交于点 且它xOy A B 2 0 2 0 AP BPP 们的斜率之积是 记点的轨迹为 1 4 P 求的方程 已知直线分别交直线于点 轨迹在点处的切线与线段交于点 AP BP 4l x M N PMNQ 求的值 MQ NQ 21 本小题满分 12 分 已知 函数的图象与轴相切 a R 1 exf xax x 求的单调区间 f x 当时 求实数的取值范围 1x 1 lnf xm xx m 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题计分 做 答时请写清题号 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图所示 内接于圆 O 是的中点 的平分线分别交ABC D A BACBAC 和圆于点 BCOEF 求证 是外接圆的切线 BFABE 若 求的值 3AB 2AC 22 DBDA 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中 曲线的参数方程为 为参数 以为极点 轴正半xOy 1 C 22cos 2sin x y Ox 轴为极轴 并取相同的单位长度建立极坐标系 写出的极坐标方程 1 C 设曲线经伸缩变换后得到曲线 射线 分别与和 2 2 2 1 4 x Cy 1 2 xx yy 3 C 3 0 1 C 交于 两点 求 3 CA B AB O F E D C B A HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 5 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知不等式的解集为 3 21xx x xm 求的值 m 设关于的方程 有解 求实数 的值 x 1 xtxm t 0t t 2016 年福州市 普通 高中毕业班 综合 质量检 测 理科数学试题答案及评分参考 评分说明 1 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度 可视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应给分数的一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一 选择题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题 5 分 满分 60 分 1 A 2 D 3 B 4 B 5 D 6 C 7 C 8 D 9 C 10 C 11 A 12 B 二 填空题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题 5 分 满分 20 分 13 14 15 16 1 2 8 4 3198 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题主要考查正弦定理 余弦定理 三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识 考 查运算求解能力 考查化归与转化思想 函数与方程思想等 满分 12 分 解 因为 所以 2 分 tan2 1 tan Ac Bb sincos2sin 1 sincossin ABC BAB 即 sin 2sin sincossin ABC BAB 因为 sin sin0ABC sin0B 所以 4 分 1 cos 2 A 又因为 所以 5 分 0 A 3 A 由是中点 得 MBC 1 2 AMABAC 即 2221 2 4 AMABACAB AC 所以 7 分 22 32cbbc 由 11 sin 22 SAH BCAB ACA HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 6 得 即 9 分 3 3 2 bca 2bca 又根据余弦定理 有 10 分 222 abcbc 联立 得 2 322 2 bc bc 解得 8bc 所以 的面积 12 分ABC 1 sin2 3 2 SbcA 18 本小题主要考查频率分布直方图 茎叶图 n 次独立重复试验 独立性检验等基础知识 考 查运算求解能力 数据处理能力 应用意识 考查必然与或然思想 化归与转化思想 满分 12 分 解 根据图示 将 2 2 列联表补充完整如下 2 分 假设 该学科成绩与性别无关 0 H 的观测值 2 K 22 50 9911 21 3 125 20302030 n adbc k ab cdac bd 因为 所以能在犯错误概率不超过 10 的前提下认为该学科成绩与性别有关 3 1252 706 6 分 由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关 因此需要将男女生成绩的优分频率 视作概率 7 分 20 0 4 50 f 设从高三年级中任意抽取 3 名学生的该学科成绩中 优分人数为 则服从二项分布XX 9 分 3 0 4 B 所求概率 2233 33 2 3 0 40 60 40 352PP XP XCC 12 分 19 本小题主要考查空间直线与直线 直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识 考查空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 考查化归与转化思想等 满分 12 分 证明 取的中点 连结 如图所APF DF EF 示 因为 所以 1 分PDAD DFAP 因为平面 平面 AB PADDF PAD 所以 ABDF 又因为 APABA 所以平面 3 分DF PAB 因为点是中点 EPB 所以 且 4 分 EFAB 2 AB EF 又因为 且 ABCD 2 AB CD 所以 且 EFCDEFCD 所以四边形为平行四边形 EFDC 所以 所以平面 6 分 CEDFCE PAB 优分非优分总计 男生92130 女生11920 总计203050 HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 7 解 设点 O G 分别为 AD BC 的中点 连结 则 OG OGAB 因为平面 平面 AB PADAD PAD 所以 所以 7 分ABAD OGAD 因为 由 知 3EC 3 DF 又因为 所以 4AB 2AD 所以 222 222 232 APAFADDF 所以为正三角形 所以 APD POAD 因为平面 平面 AB PADPO PAD 所以 ABPO 又因为 所以平面 8 分ADABA PO ABCD 故两两垂直 可以点 O 为原点 分别以的方向为轴的正方向 OA OG OP OA OG OP x y z 建立空间直角坐标系 如图所示 Oxyz 0 0 3 P 1 2 0 1 0 0 CD 13 2 22 E 所以 9 分 1 0 3 PD 1 2 3 PC 33 0 22 EC 设平面的法向量 PDC x y z n 则 所以 0 0 PD PC n n 30 230 xz xyz 取 则 10 分1z 3 0 1 n 设与平面所成的角为 ECPDC 则 11 分 31 sin cos 23 2 EC n 因为 所以 0 2 6 所以与平面所成角的大小为 12 分ECPDC 6 20 本小题考查椭圆的标准方程及几何性质 直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识 考查推理 论证能力 运算求解能力 考查数形结合思想 函数与方程思想 分类与整合思想等 满分 12 分 解法一 设点坐标为 则P x y 直线的斜率 AP 2 AP y k x 2x 直线的斜率 2 分BP 2 BP y k x 2x 由已知有 3 分 1 224 yy xx 2x 化简得点的轨迹的方程为 4 分P 2 2 1 4 x y 2x 注 没写或扣 1 分 2x 2x 设 则 5 分 00 P xy 0 2x 2 20 0 1 4 x y HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 8 直线的方程为 令 得点纵坐标为 6 分AP 0 0 2 2 y yx x 4x M 0 0 6 2 M y y x 直线的方程为 令 得点纵坐标为 7 分BP 0 0 2 2 y yx x 4x N 0 0 2 2 N y y x 设在点处的切线方程为 P 00 yyk xx 由得 8 分 00 22 44 yk xxy xy 2 22 0000 148440kxk ykxxykx 由 得 0 22 22 0000 6416 1410kykxkykx 整理得 2222 0000 214ykx yk xk 将代入上式并整理得 解得 9 分 2 2220 000 1 4 1 4 x yxy 2 0 0 20 2 x y k 0 0 4 x k y 所以切线方程为 0 00 0 4 x yyxx y 令得 点纵坐标为 4x Q 22 000 0000 0 0000 44 1441 444 Q xxxyxxx yy yyyy 10 分 设 所以 MQQN QMNQ yyyy 所以 11 分 0000 0000 1621 22 xyyx yxxy 所以 22 000000 0000 126212 22 xxyyxx yxyx 将代入上式 2 20 0 1 4 x y 00 2 2 22 xx 解得 即 12 分1 1 MQ NQ 解法二 同解法一 设 则 5 分 00 P xy 0 2x 2 20 0 1 4 x y 直线的方程为 令 得点纵坐标为 6 分AP 0 0 2 2 y yx x 4x M 0 0 6 2 M y y x 直线的方程为 令 得点纵坐标为 7 分BP 0 0 2 2 y yx x 4x N 0 0 2 2 N y y x 设在点处的切线方程为 P 00 yyk xx 由得 8 分 00 22 44 yk xxy xy 2 22 0000 148440kxk ykxxykx 由 得 0 22 22 0000 6416 1410kykxkykx 整理得 2222 0000 214ykx yk xk HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 9 将代入上式并整理得 解得 9 分 2 2220 000 1 4 1 4 x yxy 2 0 0 20 2 x y k 0 0 4 x k y 所以切线方程为 0 00 0 4 x yyxx y 令得 点纵坐标为 4x Q 22 000 0000 0 0000 44 1441 444 Q xxxyxxx yy yyyy 10 分 所以 11 分 0000 000 22 00000 8181621 22 2244 MNQ xyxyyyx yyy xxxyy 所以为线段的中点 即 12 分QMN1 MQ NQ 21 本小题主要考查导数的几何意义 导数及其应用 不等式等基础知识 考查推理论证能力 运算求解能力 创新意识等 考查函数与方程思想 化归与转化思想 分类与整合思想 数形结合 思想等 满分 12 分 解 设切点为 1 分 1 exfxa 0 0 x 依题意 即 0 0 0 0 f x fx 0 0 1 0 1 e0 e0 x x ax a 解得 3 分 0 1 1 x a 所以 1 e1 x fx 当时 当时 1x 0fx 1x 0fx 故的单调递减区间为 单调递增区间为 5 分 f x 1 1 令 1 lng xf xm xx 0 x 则 1 1 e ln 1 x x g xmx x 令 则 6 分 h xg x 1 2 11 e x h xm xx 若 1 2 m 因为当时 所以 1x 1 e1 x 2 11 1m xx 0h x 所以即在上单调递增 h x g x 1 又因为 所以当时 1 0 g 1x 0g x 从而在上单调递增 g x 1 而 所以 即成立 9 分 1 0g 0g x 1 lnf xm xx 若 1 2 m 可得在上单调递增 1 2 11 e x h xm xx 0 因为 1 120hm 2 11 1ln 2 2 0 1ln 2 1ln 2 hmmm mm HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 10 所以存在 使得 1 1 1ln 2 xm 1 0h x 且当时 所以即在上单调递减 1 1 xx 0h x h x g x 1 1 x 又因为 所以当时 1 0 g 1 1 xx 0g x 从而在上单调递减 g x 1 1 x 而 所以当时 即不成立 1 0g 1 1 xx 0g x 1 lnf xm xx 纵上所述 的取值范围是 12 分k 1 2 请考生在第 请考生在第 22 23 24 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 作答时 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 作答时 请写清题号请写清题号 22 选修 几何证明选讲41 本小题主要考查圆周角定理 相似三角形的判定与性质 切割线定理等基础知识 考查推理 论证能力 运算求解能力等 考查化归与转化思想等 满分 10 分 解 设外接圆的圆心为 连结并延长交圆于点 连结 ABE O BO O GGE 则 90BEG BAEBGE 因为平分 所以 所以 2 分AFBAC AA BF FCFBEBAE 所以 18090FBGFBEEBGBGEEBGBEG