高中数学 2.4平面向量的坐标课件 北师大版必修4.ppt

4平面向量的坐标 1 平面向量的坐标表示 1 向量a的坐标 2 全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间的关系是 的 a x y 一一对应 2 平面向量线性运算的坐标表示设a x1 y1 b x2 y2 则 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 和 与差 x1 y1 乘积 x2 y2 x1 y1 x2 x1 y2 y1 其终点的相 应坐标减去起点 的相应坐标 3 向量平行的坐标表示 1 公式 设a b是非零向量 且a x1 y1 b x2 y2 a b 若y1 0且y2 0 则上式可表示为a b 2 文字语言 定理1 若两个向量 与坐标轴不平行 平行 则它们相应的坐标 定理2 若两个向量相对应的坐标 则它们平行 x1y2 x2y1 0 成比例 成比例 1 判一判 正确的打 错误的打 1 位置不同的向量的坐标一定不一样 2 一个向量的坐标等于其起点相应坐标减去终点的相应坐标 3 对于向量a x1 y1 b x2 y2 若a b 则x1x2 y1y2 0 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 若向量a 5 2 则向量a的相反向量的坐标是 2 若向量a 1 1 b 3 则a 2b 3 若向量m 2 2 n 1 x 且m n 则x 解析 1 1 错误 当位置不同的向量是相等向量时坐标一样 2 错误 一个向量的坐标等于其终点相应坐标减去起点的相应坐标 3 错误 对于向量a x1 y1 b x2 y2 若a b 则x1y2 x2y1 0 答案 1 2 3 2 1 若向量a 5 2 则向量a的相反向量 a 5 2 答案 5 2 2 若向量a 1 1 b 3 则a 2b 1 1 2 3 5 2 答案 5 2 3 若向量m 2 2 n 1 x 且m n 则2x 2 1 0 解得x 1 答案 1 要点探究 知识点1向量的坐标表示1 对平面向量坐标表示的三点说明 1 向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关 而与它们的具体位置无关 2 向量确定后 向量的坐标就被确定了 3 引入向量的坐标表示以后 向量就有两种表示方法 一种是几何法 即用向量的长度和方向表示 另一种是坐标法 即用一对有序实数表示 有了向量的坐标表示 就可以将几何问题转化为代数问题来解决 2 点的坐标与向量坐标的区别与联系 1 区别 表示形式不同 向量a x y 中间用等号连接 而点的坐标a x y 中间没有等号 意义不同 点a x y 的坐标 x y 表示点a在平面直角坐标系中的位置 a x y 的坐标 x y 既表示向量的大小 也表示向量的方向 另外 x y 既可以表示点 也可以表示向量 叙述时应指明点 x y 或向量a x y 2 联系当平面向量的起点在原点时 平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 微思考 1 如果已知向量的坐标 能否确定向量的位置 提示 不能 已知向量的坐标 向量的两个端点的坐标不能确定 因此向量的位置不能确定 2 相等向量的坐标 端点坐标之间有什么关系 提示 相等向量的坐标相同 但是端点坐标不一定相同 即时练 1 若点a 1 1 b 0 2 则 2 已知 2 4 若点m 3 2 则点n的坐标为 3 已知a 2 0 b x 1 y 1 若a b 则x y 解析 1 若点a 1 1 b 0 2 则 1 1 答案 1 1 2 已知 2 4 若点m 3 2 设n的坐标为x y 则解得则n 1 6 答案 1 6 3 若a b 则解得答案 3 1 知识点2向量共线的坐标表示两个向量共线的表示形式已知a x1 y1 b x2 y2 1 当b 0时 a b 这是几何运算 体现了向量a与b的长度及方向之间的关系 2 x1y2 x2y1 0 这是代数运算 用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数 从而减少未知数个数 而且使问题的解决具有代数化的特点 程序化的特征 3 当x2y2 0时 即两向量的相应坐标成比例 通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示 而且不易出现搭配错误 微思考 1 向量平行的坐标表示有何特征 提示 交叉坐标乘积之差等于零 2 对于平行向量如何根据其坐标判断两向量是同向还是反向 提示 根据向量的坐标 由 x1 y1 x2 y2 当 0时 两向量同向 当 0时 两向量反向 即时练 1 若向量a 1 2 b 1 则向量a b的关系是 2 已知向量a a b b 1 2 若a b 则a b满足的关系式为 解析 1 1 1 2 1 1 0 答案 平行2 已知向量a a b b 1 2 若a b 则2a b 0 答案 2a b 0 题型示范 类型一平面向量的坐标表示及其线性运算 典例1 1 2014 北京高考 已知向量a 2 4 b 1 1 则2a b a 5 7 b 5 9 c 3 7 d 3 9 2 向量a b c在正方形网格中的位置如图所示 若c a b r 则 解题探究 1 题 1 中求向量2a b的坐标的运算顺序是什么 2 将向量坐标表示的前提是什么 探究提示 1 将a b的坐标代入求解 2 先建立适当的坐标系将向量用坐标表示 自主解答 1 选a 2a b 2 2 4 1 1 5 7 2 以向量a b的交点为原点 原点向右的方向为x轴正方向 正方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系 则a 1 1 b 6 2 c 1 3 根据c a b得 1 3 1 1 6 2 即解得 2 所以答案 4 方法技巧 平面向量坐标的线性运算方法 1 若已知向量的坐标 则直接应用两个向量和 差及向量数乘的运算法则进行 2 若已知有向线段两端点的坐标 则可先求出向量的坐标 然后再进行向量的坐标运算 3 向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行 变式训练 已知向量 k 12 4 5 k 10 且a b c三点共线 则k 解析 4 k 7 2k 2 因为a b c三点共线 所以 2 4 k 2k 7 0 解得k 答案 补偿训练 设点a 1 2 b 2 3 c 3 1 且求d点的坐标 解题指南 设出d点坐标 将向量用坐标表示即可 解析 设d x y 因为a 1 2 b 2 3 c 3 1 所以 3 1 1 4 x 1 y 2 又因为所以 x 1 y 2 2 3 1 3 1 4 6 2 3 12 3 14 所以解得所以d 2 16 类型二平面向量平行的坐标表示及其应用 典例2 1 2013 陕西高考 已知向量a 1 m b m 2 若a b 则实数m等于 a b c 或d 0 2 如图所示 已知点a 4 0 b 4 4 c 2 6 求ac与ob的交点p的坐标 解题探究 1 题 1 中a b如何用坐标表示 2 题 2 中点o p b a p c的关系分别是什么 探究提示 1 表示为 1 2 m m 02 分别是共线关系 自主解答 1 选c 因为a 1 m b m 2 且a b 所以1 2 m m m 2 方法一 设p x y 则 x y 4 4 因为共线 所以4x 4y 0 又 x 2 y 6 2 6 且向量共线 所以 6 x 2 2 6 y 0 解由 组成的方程组 得x 3 y 3 所以点p的坐标为 3 3 方法二 设 t 4 4 4t 4t 则 4t 4t 4 0 4t 4 4t 2 6 4 0 2 6 由共线的条件知 4t 4 6 4t 2 0 解得t 所以 4t 4t 3 3 所以点p的坐标为 3 3 延伸探究 在本题 1 中 若向量a b同向 则应该选哪个答案 解析 选b 由本题 1 的解答可知 m 或 当m 时 b a反向 当m 时 b a同向 故m 方法技巧 利用向量共线的条件求值的处理思路 是利用共线向量定理a b b 0 列方程组求解 是利用向量共线的坐标表达式x1y2 x2y1 0直接求解 变式训练 已知向量a 1 3 b 3 n 若2a b与b共线 则实数n的值是 a 6b 9c 3 2d 3 2 解析 选b 2a b 2 6 3 n 1 6 n 因为2a b与b共线 则 n 3 6 n 0 解得n 9 补偿训练 已知向量a 1 2 b 2 0 c 1 2 若向量 a b与c共线 则实数 的值为 a 2b c 1d 解析 选c a b 2 2 又向量 a b与c共线 则 2 2 2 4 4 0 解得 1 易错误区 忽略向量的方向致误 典例 2014 肇庆高一检测 已知向量a m 4 与b 9 m 共线且反向 则m a 6b 6c 6d 36 解析 选b 已知向量a m 4 与b 9 m 共线 可得 m2 4 9 m2 36 0 即m2 36 解得m 6 当m 6时 a 6 4 b 9 6 则a b a与b同向 不符合题意 当m 6时 a 6 4 b 9 6 则a b a与b反向符合题意 故选b 常见误区 防范措施 深