高等代数教案第1章行列式.doc

高等代数教案-1开场白：1. 自我介绍2. 教育学生珍惜大学四年的学习机会树立理想勤奋学习 “优秀学生”的品质特征聪明今天在座的每一位都在同一个起跑线上立志有志者立长志，无志者常立志勤奋做一般人不愿意做的事，并持之以恒走向成功的步骤树立目标 制定计划 立即行动 坚持到底3. 学习数学的方法 （1）读认真阅读教科书 （2）记背概念、定理、公式 （3）推推导公式、证明定理 （4）练独立完成作业4. 老师的教学要求 （1）课堂纪律 （2）作业要求 （3）考勤 （4）平时成绩 （4）学生课间服务5. 教学参考书 （1）高等代数（第三版）北京大学数学力学系，高等教育出版社 （2）高等代数（第三版）张禾瑞，郝炳新，高等教育出版社 （3）高等代数学（第二版）姚慕生，吴泉水，复旦大学出版社第一章 行列式.授课题目:1.1 阶行列式的定义,1.2 行列式的性质与计算,1.3 克拉黙（Cramer）法则.教学目的与要求:1. 掌握二、三阶及阶行列式的定义2. 掌握阶行列式的性质与计算3. 掌握克拉黙（Cramer）法则、齐次方程组有非零解的充要条件4. 了解全排列、逆序数、对换等概念.重点与难点:重点:行列式的定义、性质与计算，齐次方程组有非零解的充要条件难点: 阶行列式的计算.教学内容1.1 阶行列式的定义1. 二阶行列式定义1.1 我们称为二阶行列式，元素的第一个下标称为行标,表明该元素位于第行,第二个下标称为列标,表明该元素位于第列.考察二元线性方程组.当时,可用消元法求得解为，若记， ， .于是，例1.1 求解二元线形方程组.解 由于因此，练习：用二阶行列式法解方程组.答：2. 三阶行列式.定义1.2 我们称为由9个数所确定的三阶行列式. 对角线法则：例1.2 计算三阶行列式答.练习：计算行列式（答）.例1.3 求解方程.解 方程左端的三阶行列式由解得 .3. 全排列及其奇偶性定义1.3 把n个不同的元素排成一列,叫做这个元素的全排列(也简称为排列), 个不同元素的所有排列的种数.通常用表示.显然 对于个不同的元素,先规定各元素之间有一个标准次序(例如个不同的自然数,可规定由小到大为标准次序),于是在这个元素的任一排列中,当某两个元素的先后次序与标准次序不同时,就说有1个逆序；一个排列中所有逆序数的总数叫做这个排列的逆序数.逆序数为奇(偶)数的排列叫做奇(偶)排列.下面介绍逆序数的计算方法不妨设个元素为1至这个自然数,并规定由小到大为标准次序,设为这个自然数的一个排列,考虑元素如果比大的且排在前面的元素有个，就说这个元素的逆序数是，那么全体元素的逆序数之总和即是这个排列的逆序数.例1.4 求排列32514的逆序数.解 在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的书有一个(3),故逆序数为1;5是最大数,逆序数为0;1的前面比1大的数有三个(3、2、5)，故逆序数为3；4的前面比4大的数有一个（5），故逆序数为1，于是这个排列的逆序数为,它显然是一个奇排列.练习：求下列排列的逆序数，并判断它的奇偶性（1）83265147； （2）265341； （3）定义1.4 在排列中,将任意两个元素对调,其余的元素不同,这种作为新排列的手续叫对换.将相邻两个元素对换,叫做相邻对换.定理1.1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.4. 阶行列式的定义定义1.5 阶行列式,它是取自不同行不同列的个数的乘积的代数和（共项），其中各项的符号为，代表排列的逆序数，简记为.由定理1.1得定义 阶行列式也可定义为，其中为行标排列的逆序数.例1.5 计算行列式（1）；（2）.练习：计算下列行列式（1）；（2）（上三角形行列式）；（3）（下三角形行列式）.小结复习：二、三阶行列式定义、逆序数的概念、阶行列式的定义课外作业: P60 171.2 行列式的性质与计算1. 行列式的性质（1）行列式与其转置行列式相等；（2）互换行列式的某两行(列)得到新行列式则新行列式应反号； 特别地：若行列式中有两行(列)对应元素相等，则行列式等于零；（3）行列式中某一行(列)的所有元素的公因数可以提到行列式的外面； 即以数乘以行列式等于用数乘以行列式的某一行或某一列； 特别地：若行列式中有一行(列)的元素全为零，则行列式等于零；（4）行列式中如果有某两行(列)对应元素成比例，则行列式的值为零； 特别地：比例系数为1（5）若行列式的某一列（行）的元素是两数之和，例如，第列的元素都是两数之和：，则等于如下两个行列式之和：.（6）把行列式的某一行(列)的各元素的倍加到另一行(列)的对应元素上，行列式的值不变. 注：（1）交换行列式的第两行（或列），记作（或）；（2）第行（列）提出公因子，记作（或）；（3）以数乘第行（列）加到第行（列）上，记作（或）.例1.6 计算行列式.（答：）练习：计算行列式（1）；（答：40）（2）；（答：48）（3）；（答：）（4）.（答：）2. 行列式依行（列）展开定义1.6 余子式： （P57）代数余子式： （P57）定理1.2 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即，或.证（略）P58.注：此定理的主要作用是降阶.推论 行列式的任一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式乘积之和等于零，即，或.例1.7 用降阶的方法解例1.6.练习：用降阶的方法求解上面练习第（1）题.3. 拉普拉斯（Laplace）展开定理定义1.7 在一个阶行列式中，任意选定行（比如第行）和列比如列）（）.位于这些行和列的交点上的个元素按照原来的位置组成一个阶行列式，称为行列式的一个阶子式，记作，划去行和列后余下的元素按照原来的位置组成的阶行列式，称为阶子式的余子式，记作.在余子式前面加上符号后被称之为的代数余子式.记作 ，这里.定理1.3 在阶行列式中，任意选定列，则.类似地，任意选定行，则.证 （略）注 这是定理1.2的推广，它仍然是一种降阶的思想.例1.8 在行列式中取定1，2行，得到6个子式， ， ， ， .对应的代数余子式分别是， ，.由Laplace展开定理可知.例1.9 证明.证 由Laplace定理展开，选定第行，得 .注 例1.9的结论可以简记为.练习：（P61，8）证明.4. 行列式的计算的例例1.10 计算阶行列式解法1 .解法2如果，则如果，则.综合、有：.例1.11 计算行列式.解 按第一列展开， 又，.例1.12 计算. 解法1 依第一行展开 , 解法2 利用Laplace展开定理，选定第1行和第行展开，则 例1.13 证明范德蒙（Vandermonde）行列式.证 用数学归纳法（略，见教材P6667）注 右边是“大指标减小指标”.小结复习：行列式性质、展开定理、行列式的计算课外作业: P69 2（4）、（5）、（6），3，4，51.3 克拉黙（Cramer）法则定理1.4 对于含有个未知量的方程组，如果系数行列式，则此方程组有唯一解，其中是系数行列式中的第列用常数项代替得到的行列式.推