高中新课程数学（苏教）二轮复习精选第二部分洞察高考热点39题《专题三40分附加题大突破与抢分秘诀》》（热点命题探究含解析）.doc

专题三40分附加题大突破与抢分秘诀【专题定位】高考中主要考查曲线在矩阵变换下的曲线方程，求二阶矩阵的逆矩阵及二阶矩阵的特征值和特征向量等如：考查常见的平面变换及二阶矩阵与平面向量的乘法、矩阵的乘法，并且理解连续两次变换所对应二阶矩阵相乘的顺序熟记几种常见变换，对应点间坐标关系；考查利用二阶矩阵与平面向量乘法的知识求二阶矩阵的方法；考查求一条曲线经过二阶矩阵变换后的曲线方程的方法；考查矩阵的特征值与特征向量的应用等附加题部分由解答题组成，共6题其中，必做题2题，考查选修系列2(不含选修系列1)中的内容；选做题共4题，依次考查选修系列4中41、42、44、45这4个专题的内容，考生从中选2题作答附加题部分由容易题、中等题和难题组成容易题、中等题和难题在试卷中所占分值的比例大致为541.【应对策略】根据考试说明提出的要求，控制问题的难度，在本单元的复习中，应该注意突出以下几个方面：1回归课本，抓好基础知识的落实，高考题“源于课本”，在复习中必须重视对课本中的基础知识、基本方法和基本数学思想的复习，关注课本中的一些重点内容2加强训练，提高推理和运算能力，在复习过程中一定要注意加强训练，重视推理论证和运算能力的培养，学会主动地寻求合理、简捷的运算途径，努力提高解题的正确性和有效性【示例】 如图，AT为单位圆O的切线，过切点T引OA的垂线TH，H为垂足求证：AOOH为定值解题突破由AT为单位圆O的切线，得ATHTOH，由THOA，得OTHOAT，从而ATOTHO，因此得到所以AOOH为定值证明因为AT为圆O的切线，TH为OA的垂线，所以ATHTOH，ATOTHO，(3分)故直角三角形ATO相似于直角三角形THO，(6分)则，即AOOHOT21，即证(10分)评分细则(1)得到ATHTOH给3分，如果错误则本题基本不得分，(2)没有，扣3分.【突破训练】 如图，直线AB经过O上的点C，并且OAOB，CACB，O交直线OB于E，D，连接EC，CD，若tanCED，O的半径为3，求OA的长解如图，连接OC，因为OAOB，CACB，所以OCAB.因为OC是圆的半径，所以AB是圆的切线(2分)因为ED是直径，所以ECD90，所以EEDC90，又BCDOCD90，OCDODC，所以BCDE，又因为CBDEBC，所以BCDBEC，所以BC2BDBE，(5分)因为tanCED，BCDBEC，所以.(7分)设BDx，则BC2x，因为BC2BDBE，所以(2x)2x(x6)，所以BD2.(9分)所以OAOBBDOD235.(10分)【抢分秘诀】 (1)平面几何解题时要重视数学语言表达、数学解题格式的规范性(2)由图形或定理能推到的一些结论要尽可能的表达出来【示例】 设M，N，试求曲线ysin x在矩阵MN变换下的曲线方程解题突破可先求出MN，再求曲线在MN变换下的曲线方程解MN，(3分)设(x，y)是曲线ysin x上的任意一点，在MN变换下对应的点为(x，y)则(5分)所以即(8分)代入ysin x得：ysin 2x，即y2sin 2x.即曲线ysin x在矩阵MN变换下的曲线方程为y2 sin 2x.(10分)评分细则(1)正确求出MN得3分.如果不正确本题不给分.(2)正确表示得8分.(3)没有正确表示y2sin 2x，扣1分.【突破训练】 已知二阶矩阵A将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是，求矩阵A.解设A，由，得(5分)再由3，得A.(10分)【抢分秘诀】 (1)正确进行矩阵变换，注意变换的先后顺序(2)记住求逆矩阵的过程(3)在求矩阵变换的特征值与特征向量时，可用定义建立关系【示例】 (2012如皋质量检测)在极坐标系中，A为曲线22cos 30上的动点，B为直线cos sin 70上的动点，求AB的最小值解题突破曲线22cos 30的直角坐标方程为(x1)2y24，直线cos sin 70先化为直角坐标方程xy70，问题变为求圆上的点到直线上点的距离的最小值解圆方程为(x1)2y24，圆心(1,0)，直线方程为xy70，(5分)圆心到直线的距离d4，所以(AB)min42.(10分)【突破训练】 在极坐标系中，点O(0,0)，B.(1)求以OB为直径的圆C的直角坐标方程；(2)若直线l的极坐标方程为cos sin 4，判断直线l与圆C的位置关系解(1)设P(，)是所求圆上的任意一点，因为OB为直径，所以OPB90，则OPOBcos，即2cos，(3分)即x2y22x2y0，故所求的圆C的直角坐标方程为x2y22x2y0.(5分)(2)圆C的圆心的坐标为(1,1)，半径为，直线l的直角坐标方程为xy4，(7分)因为圆心到直线l的距离d，所以直线l与圆C相切(10分)【抢分秘诀】 (1)把极坐标方程转化为直角坐标方程，把参数方程化为普通方程，可得相应的分数(2)求解过程要干净利落，条理分明，计算准确【示例】 设a1，a2，a3均为正数，且a1a2a31，求证：9.解题突破利用基本不等式证明证明因为a1，a2，a3均为正数，且a1a2a310，所以(a1a2a3)3(a1a2a3)39，(8分)当且仅当a1a2a3时等号成立，所以9.(10分)【突破训练】 已知abc1，ma2b2c2，求m的最小值解(121212)(a2b2c2)(1a1b1c)abc1.(5分)a2b2c2，当且仅当abc时，等号成立mmin.(10分)【抢分秘诀】 (1)利用平均值不等式、柯西定理时要找准“对应点”，使其符合特征，使问题的解决清晰明了，可得一定的分数(2)注意对而不全，应用绝对值不等式的性质求函数的最值时，注意等号成立的条件(3)在证明不等式时，要注意推理的逻辑性【示例】 如图BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2，(1)求点A到平面MBC的距离；(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值解题突破(1)先求出平面MBC的法向量，再利用公式求距离(2)通过求平面ACM与平面BCD的法向量所成的角，求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值解取CD中点O，连OB，OM，由于BCD与MCD都是正三角形，则OBCD，OMCD，又平面MCD平面BCD，则MO平面BCD.以O为原点，直线OC、BO、OM所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图OBOM，则各点坐标分别为O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，0)，A(0，2)，(2分)(1)设n(x，y，z)是平面MBC的法向量，则(1, ，0)，(0，)，由n得xy0；由n得yz0；取n(，1,1)，(0,0,2)，(3分)则距离d.(5分)(2)(1,0，)，(1，2)设平面ACM的法向量为n1(x，y，z)，由得解得xz，yz，取n1(，1,1)(7分)又平面BCD的法向量为n(0,0,1)，(8分)则cosn1，n，设所求二面角为，则sin .(10分)【突破训练】 (2012苏北四市联考)在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，点P在平面A1B1C1D1上，D1P平面PCE.试求：(1)线段D1P的长；(2)直线DE与平面PCE所成角的正弦值解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，E(2,1,0)，C(0，2,0)设P(x，y,2)，则(x，y,0)，(x2，y1,2)，(2,1,0)(2分)因为D1P平面PCE，所以D1PEP，D1PEC，所以0，0，故解得(舍去)或(4分)即P，所以，所以D1P .(6分)(2)由(1)知，(2,1,0)，平面PEC，设DE与平面PEC所成角为，与所成角为，则sin |cos |，所以直线DE与平面PEC所成角的正弦值为.(10分)【抢分秘诀】 (1)建立空间坐标系，得到相关点的坐标(2)用坐标正确表示相关向量(3)尽可能的找出或求出相关平面的法向量(4)借助符号语言，保证过程条理分明，正确计算求结果【示例】 在十字路口的路边，有人在促销木糖醇口香糖，只听喇叭里喊道：木糖醇口香糖，10元钱三瓶，有8种口味 供你选择(其中有一种为草莓口味)，小明一看，只见一大堆瓶装口香糖堆在一起(假设各种口味的口香糖均超过3瓶，且每瓶价值均相同)(1)小明花10元钱买三瓶，请问小明共有多少种选择的可能性？(2)小明花10元钱买三瓶，售货员随便拿三瓶给小明，请列出有小明喜欢的草莓味口香糖瓶数X的分布列，并计算其数学期望解题突破(1)分三类情况讨论：8种口味均不一样；两瓶口味一样；三瓶口味一样(2)确定X的取值为0,1,2,3.分别计算各种取值的概率，写出分布列并计算其数学期望解(1)若8种口味均不一样，有C56种；若其中两瓶口味一样，有CC56种；若三瓶口味一样，有8种，所以小明共有56568120种选择，(4分)(2)X的取值为0,1,2,3.P(X0)；P(X1)；P(X2)；P(X3).(8分)所以X的分布列为X0123P其数学期望EX0123.(10分)【突破训练】 某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过，且他直到参加第二次考核才合格的概率为.(1)求小李第一次参加考核就合格的概率p1；(2)求小李参加考核的次数X的分布列和数学期望E(X) 解(1)由题意得(1p1)，p1或.p1，p1.(4分)(2)由(1)知小李4次考核每次合格的概率依次为，1，所以P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)1，(6分)所以X的分布列为X1234P(8分)E(X)1234.(10分)【抢分秘诀】 (1)要明确X的可能取值情况(2)利用概率的有关知识，正确计算X的各个取值的概率(3)求概率时要充分利用随机变量的概率、古典概型等知识(4)写分布列时要按规范，注意用分布列的性质验证【例1】 (2012高邮模拟)在各项均为正数的数列an中，数列的前n项和为Sn满足Sn.(1)求a1，a2，a3的值；(2)由(1)猜想出数列an的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想解题突破(1)由S1a1可求a11；同理可求a2，a3；(2)由a1，a2，a3的特征猜想数列an的通项公式，再用数学归纳法证明解(1)由S1得，a1，而an0，所以a11.由S2得，a2a210，所以a21.又由S3得，a2a310，所以a3.(3分)(2)猜想an(nN*)(4分)当n1时，a11，猜想成立；假设nk(k1)时猜想成立，即ak，则当nk1时，ak1Sk1Sk.即ak1，(6分)化简得a2 ak110，解得ak1，即nk1时猜想成立，(9分)综上，由、知an(nN*)(10分)【突破训练1】 在正项数列an中，对于一切的nN*均有aanan1成立，(1)证明：数列an中的任意一项都小于1；(2)探究an与的大小，并证明你的结论(1)证明由aanan1得an1ana在数列an中an0，an10，ana0，0an1故数列an中的任意一项都小于1.(4分)(2)解由(1)知0an1，那么a2a1a2，由此猜想：an(n2)(6分)下面用数学归纳法证明：当n2时，显然成立；当nk时(k2，kN*)时，假设猜想正确，即ak，那么ak1aka22，当nk1时，猜想也正确综上所述，对于一切nN*，都有an.(10分)【例2】 (江苏省2012届高三全真模拟一22)已知n的展开式中前三项的系数成等差数列(1)求n的值；(2)求展开式中系数最大的项解题突破(1)由展开式中前三项的系数成等差数列，建立方程求n的值(2)展开式中系数最大的项的系数应满足大于前一项的系数，还大于后一项的系数，由此建立关系式，确定r的值解(1)由题设，得CC2C，即n29n80，解得n8，或n1(舍去)(3分)(2)设第r1的系数最大，则(5分)即解得r2或r3.(8分)所以系数最大的项为T37x5，T47x.(10分)【突破训练2】 设数列an满足：a15，an12an3n1，已知存在常数p，q使数列anpnq为等比数列解方程an0.解由条件令an1p(n1)qk(anpnq)，则an1kan(kpp)nkqqp，故又a1pq2，an3n422n1，an2n3n4.(5分)计算知a15，a26，a35，a40，a513.故猜测n5时，an0，即2n3n4，下证：当n5成立；假设nk(k5)时成立，即2k3k4，那么当nk1时，2k12(3k4)6k83k73(k1)4，故当nk1时成立，由可知，命题成立故方程an0的解为n4.(10分)【抢分秘