圆锥曲线复习策略.doc

1、已知离心率为的椭圆的顶点恰好是双曲线的左右焦点，点是椭圆上不同于的任意一点，设直线的斜率分别为.（）求椭圆的标准方程；（）试判断的值是否与点的位置有关，并证明你的结论；（）当时，圆：被直线截得弦长为，求实数的值。解：（）双曲线的左右焦点为即的坐标分别为. 1分所以设椭圆的标准方程为,则,2分且,所以,从而, 4分所以椭圆的标准方程为. 5分()设则，即 6分. 8分所以的值与点的位置无关，恒为。 9分（）由圆：得，其圆心为，半径为， 10分由（）知当时，故直线的方程为即， 11分所以圆心为到直线的距离为，又由已知圆：被直线截得弦长为及垂径定理得圆心到直线的距离，所以， 即，解得或。 13分所以实数的值为或. 14分2、已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖(1)试求圆的方程.(2)若斜率为1的直线与圆C交于不同两点满足,求直线的方程.解:(1)由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部,且是直角三角形, 3分所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是, 所以圆的方程是. 7分 (2)设直线的方程是:. 8分 因为,所以圆心到直线的距离是, 10分即 11分解得:. 13分所以直线的方程是:14分3、在平面直角坐标系中，已知点，过点作抛物线的切线，其切点分别为、（其中）（）求与的值；（）若以点为圆心的圆与直线相切，求圆的面积；（）过原点作圆的两条互相垂直的弦，求四边形面积的最大值.解析：（）由可得， -1分直线与曲线相切，且过点，即， ，或， ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u-3分同理可得：，或 ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u-4分， ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u-5分（）由（）知，,，则直线的斜率，-6分直线的方程为：，又，即ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u-7分点到直线的距离即为圆的半径，即， - ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u-8分故圆的面积为 ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u-9分（）四边形的面积为不妨设圆心到直线的距离为，垂足为；圆心到直线的距离为，垂足为；则 ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u-10分由于四边形为矩形.且 -11分所以由基本不等式可得，当且仅当时等号成立. -14分4、已知动点到定点的距离与点到定直线：的距离之比为（1）求动点的轨迹的方程；（2）设、是直线上的两个点，点与点关于原点对称，若，求的最小值（1）解：设点，依题意，有 整理，得所以动点的轨迹的方程为 （2）解：点与点关于原点对称，点的坐标为 、是直线上的两个点，可设，（不妨设），即即由于，则， 当且仅当，时，等号成立故的最小值为5、已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u若右焦点到直线 的距离为3（1） 求椭圆的方程；（2） 设直线与椭圆相交于不同的两点当时，求的取值范围。，解得 4分故所求椭圆的方程为 5分ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u（2）设P为弦MN的中点，由 得 ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u直线与椭圆相交， 8分 从而ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u 又，则 即 10分把代入得 解得 12分 由得 解得 13分综上求得的取值范围是 14分6、已知椭圆的中心在坐标系的坐标原点，离心率为，一个焦点为求椭圆的方程；设是椭圆上一点，直线与轴相交于点，若，试求直线的方程依题意，设椭圆的方程为1分，3分，所以，5分，椭圆方程为6分设，因为，所以8分，所以，9分，10分，在椭圆上，所以11分，解得12分，直线的方程是14分7、已知椭圆：的面积为，且包含于平面区域内，向内随机投一点Q，点Q落在椭圆内的概率为（）试求椭圆的方程；（）若斜率为的直线与椭圆交于、两点，点为椭圆上一点，记直线的斜率为，直线的斜率为，试问：是否为定值？请证明你的结论O解：（）平面区域是一个矩形区域，如图所示 2分 依题意及几何概型，可得， 3分即 因为，所以， 5分所以，椭圆的方程为 6分O（）设直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程得： （1）代入（2）得：化简得：（3） 8分当时，即，也即，时，直线与椭圆有两交点， 由韦达定理得：， 10分所以， 则 13分所以，为定值。 14分8、设椭圆的左右焦点分别为、，是椭圆上的一点，坐标原点到直线的距离为（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的一点，,连接QN的直线交轴于点，若，求直线的斜率解：（1）由题设知由于，则有，所以点的坐标为 故所在直线方程为 所以坐标原点到直线的距离为又，所以 解得： 所求椭圆的方程为 -7分（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线斜率为直线的方程为，则有 设，由于、N、三点共线，且根据题意得,解得或 又在椭圆上，故或解得,综上，直线的斜率为或.-14分8、已知点(x, y) 在曲线C上，将此点的纵坐标变为原来的2倍,对应的横坐标不变,得到的点满足方程；定点M(2,1)，平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m0),直线与曲线C交于A、B两个不同点.(1)求曲线的方程；(2)求m的取值范围.解： (1)在曲线上任取一个动点P(x,y), 则点(x,2y)在圆上. 3分所以有. 整理得曲线C的方程为. 6分(2)直线平行于OM，且在y轴上的截距为m,又,直线的方程为. 9分由 , 得 10分直线与椭圆交于A、B两个不同点， 12分 解得.m的取值范围是. 14分9、（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为，且椭圆经过圆C：的圆心C。（1）求椭圆的方程；（2）设直线过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线的方程。解：（1）圆C方程化为：，圆心C1分设椭圆的方程为，则.2分所以所求的椭圆的方程是： .6分（2）由（1）得到椭圆的左右焦点分别是，在C内，故过没有圆C的切线.8分设的方程为.9分 点C到直线的距离为d,由.11分化简得：解得：13分故的方程为14分10、已知动圆过定点，且与定直线相切.（I）求动圆圆心的轨迹C的方程；（II）若是轨迹C的动弦，且过， 分别以、为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明:.解：（I）依题意，圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线上2分 因为抛物线焦点到准线距离等于4, 所以圆心的轨迹是.5分（II） .6分， ，8分抛物线方程为所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是， ，所以，11、已知