集合、函数与导数测试题及详解答案.doc

专题一集合、函数与导数测试题1设集合U1,2,3,4,5,6，集合M1,3，N2,3,4，则(UM)(UN)()A3B4,6C5,6 D3,62已知全集IR，若函数f(x)x23x2，集合Mx|f(x)0，Nx|f(x)15幂函数f(x)xn(n1,2,3，1)具有如下性质：f2(1)f2(1)2f(1)f(1)1，则函数f(x)()A是奇函数B是偶函数C既是奇函数，又是偶函数D既不是奇函数，又不是偶函数6(2012潍坊模拟)已知函数f(x)x32bx2cx1有两个极值点x1、x2，且x12，1，x21,2，则f(1)的取值范围是()A. B.C3,12 D.7设集合I是全集，AI，BI，则“ABI”是“BIA”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8若曲线xya(a0)，则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是()A2a2 Ba C2|a| D|a|9(2012天津模拟)定义在R上的函数f(x)满足(x1)f(x)0，且yf(x1)为偶函数，当|x11|f(2x2) Bf(2x1)f(2x2)Cf(2x1)f(2x2) Df(2x1)f(2x2)10如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着ABCM运动时，以点P经过的路程x为自变量，三角形APM的面积函数的图象的形状大致是() 11已知函数f(x)在1，)上为减函数，则实数a的取值范围是()A0a B01.其中所有真命题的序号是()A BC D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上13已知函数f(x)则ff(2 012)_.14已知函数f(x)lnsinx，则关于a的不等式f(a2)f(a24)0)(1)求f(x)在0，)内的最小值；(2)设曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为yx，求a，b的值18设f(x)是定义在1,1上的奇函数，且当1x0时，f(x)2x35ax24a2xb.(1)求函数f(x)的解析式；(2)当1a3时，求函数f(x)在(0,1上的最大值g(a)19 (2012广东)设a0，BxR|2x23(1a)x6a0，DAB.(1)求集合D(用区间表示)；(2)求函数f(x)2x33(1a)x26ax在D内的极值点20 (2012辽宁)设f(x)ln(x1)axb(a，bR，a，b为常数)，曲线yf(x)与直线yx在(0,0)点相切(1)求a，b的值；(2)证明：当0x2时，f(x).21 (2012福建)已知函数f(x)exax2ex，aR.(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；(2)试确定a的取值范围，使得曲线yf(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P?w。w-w*k&s%5￥u专题一集合、函数与导数测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合U1,2,3,4,5,6，集合M1,3，N2,3,4，则(UM)(UN)()A3B4,6C5,6 D3,6解析UM2,4,5,6，UN1,5,6，(UM)(UN)5,6，故选C.答案C2已知全集IR，若函数f(x)x23x2，集合Mx|f(x)0，Nx|f(x)0，则MIN()A. B.C. D.解析由f(x)0解得1x2，故M1,2；f(x)0，即2x30，即x1解析命题p：“x1,2，x2a0”，ax2在1,2上恒成立，a1，綈p为a1.命题q：“xR，x22ax2a0”，方程有解，4a24(2a)0，a2a20，a1或a2.若命题“綈p且q”是真命题，则a1，故选D.答案D5(2012山东肥城模拟)幂函数f(x)xn(n1,2,3，1)具有如下性质：f2(1)f2(1)2f(1)f(1)1，则函数f(x)()A是奇函数B是偶函数C既是奇函数，又是偶函数D既不是奇函数，又不是偶函数解析由f2(1)f2(1)2f(1)f(1)1n2，f(x)x2为偶函数，所以选B.答案B6(2012潍坊模拟)已知函数f(x)x32bx2cx1有两个极值点x1、x2，且x12，1，x21,2，则f(1)的取值范围是()A. B.C3,12 D.解析f(x)3x24bxc，由题意，得f(1)2bc，当直线z2bc过A时f(1)取最小值3，当直线过B时取最大值12，故选C.答案C7设集合I是全集，AI，BI，则“ABI”是“BIA”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析由BIAABI，而ABIBIA，故“ABI”是“BIA”的必要不充分条件答案B8若曲线xya(a0)，则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是()A2a2 Ba2C2|a| D|a|解析设切点坐标为(x0，y0)，曲线方程即y，y，故切线斜率为，切线方程为y(xx0)令y0，得x2x0，即切线与x轴的交点A的坐标为(2x0,0)；令x0，得y，即切线与y轴的交点B的坐标为(0，)故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为|2x0|2|a|.答案C9(2012天津模拟)定义在R上的函数f(x)满足(x1)f(x)0，且yf(x1)为偶函数，当|x11|f(2x2) Bf(2x1)f(2x2)Cf(2x1)f(2x2) Df(2x1)f(2x2)解析由(x1)f(x)0或得函数f(x)在区间(，1上为增函数，在区间1，)上为减函数又由yf(x1)为偶函数，得函数f(x)的图象关于直线x1对称由|x11|x21|(x1x2)(x1x22)1.此时，当x11，则f(x1)f(x2)，即f(2x1)f(2x2)；当x11，又x22x1f(2x1)f(x2)，即f(2x1)f(2x2)同理，当时，也有上述结论答案A10如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着ABCM运动时，以点P经过的路程x为自变量，三角形APM的面积函数的图象的形状大致是() 解析y选A.答案A11已知函数f(x)在1，)上为减函数，则实数a的取值范围是()A0a B01.其中所有真命题的序号是()A BC D解析函数ycos(x)cos(x)cos2x，相邻两个对称中心的距离为d，故不正确；函数y的图象对称中心应为(1,1)，故不正确；正确；正确答案B二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上13已知函数f(x)则ff(2 012)_.解析ff(2 012)ff(2 010)ff(2 008)ff(2 006)ff(0)f(2)2240.答案014已知函数f(x)lnsinx，则关于a的不等式f(a2)f(a24)0的解集是_解析已知f(x)lnsinx是奇函数，又f(x)lnsinxlnsinxln(1)sinx，因此f(x)在(1,1)上单调递增，故f(x)是(1,1)上的增函数由已知得f(a2)f(a24)，即f(a2)f(4a2)故a0恒成立，m2，令g(x)2，则当1时，函数g(x)取得最大值1，故m1.答案1，)16(2011扬州模拟)若函数f(x)x3a2x满足：对于任意的x1，x20,1都有|f(x1)f(x2)|1恒成立，则a的取值范围是_解析问题等价于在0,1内f(x)maxf(x)min1恒成立f(x)x2a2，函数f(x)x3a2x的极小值点是x|a|，若|a|1，则函数f(x)在0,1上单调递减，故只要f(0)f(1)1即可，即a2，即1|a|；若|a|1，此时f(x)minf(|a|)|a|3a2|a|a2|a|，由于f(0)0，f(1)a2，故当|a|时，f(x)maxf(1)，此时只要a2a2|a|1即可，即a2，由于|a|，故|a|110，故此式成立；当|a|1时，此时f(x)maxf(0)，故只要a2|a|1即可，此式显然成立故a的取值范围是.答案三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)(2011广东惠州模拟)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：yx3x8(0x120)已知甲、乙两地相距100千米(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解(1)当x40时，汽车从甲地到乙地行驶了2.5小时，要耗油2.517.5(升)答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)x2(0x120)，h(x)(0x120)令h(x)0，得x80.当x(0,80)时，h(x)0，h(x)是增函数当x80时，h(x)取得极小值h(80)11.25.h(x)在(0,120上只有一个极值，它是最小值答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少为11.25升18(本小题满分12分)(2012安徽)设函数f(x)aexb(a0)(1)求f(x)在0，)内的最小值；(2)设曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为yx，求a，b的值解(1)f(x)aex.当f(x)0，即xlna时，f(x)在(lna，)上递增；当f(x)0，即xlna时，f(x)在(，lna)上递减当0a0，f(x)在(0，lna)上递减，在(lna，)上递增，从而f(x)在0，)上的最小值为f(lna)2b；当a1时，lna0，f(x)在0，)上递增，从而f(x)在0，)上的最小值为f(0)ab.(2)依题意f(2)ae2，解得ae22或ae2(舍去)所以a，代入原函数可得2b3，即b.故a，b.19(本小题满分12分)设f(x)是定义在1,1上的奇函数，且当1x0时，f(x)2x35ax24a2xb.(1)求函数f(x)的解析式；(2)当1a3时，求函数f(x)在(0,1上的最大值g(a)解(1)当0x1时，1x0，则f(x)f(x)2x35ax24a2xb.当x0时，f(0)f(0)，f(0)0.f(x)(2)当0x1时，f(x)6x210ax4a22(3x2a)(xa)6(x)(xa)当1，即1a0，当x时，f(x)0，f(x)在上单调递增，在上单调递减，g(a)fa3b.当12，即a3时，f(x)0，f(x)在(0,1上单调递增g(a)f(1)4a25a2b，g(a).20(本小题满分12分)(2012广东)设a0，BxR|2x23(1a)x6a0，DAB.(1)求集合D(用区间表示)；(2)求函数f(x)2x33(1a)x26ax在D内的极值点解(1)在集合B中，9(1a)248a9(a3)，而a0时，得a3，即a时，由2x23(1a)x6a0，解得x1，x2，若x10，即1a ，得a0，若x20，即(1a) 0，无解，当a0时，x10x2，B(，x1)(x2，)，DAB(x2，)，当a0时，0x1x2，B(，0)(x2，)，DAB(x2，)当0a时，0x1x2，B(，x1)(x2，)，DAB(0，x1)(x2，)，当0时，即a时，由x22x10，得x1，这时B(，1)(1，)，DAB(0,1)(1，)，当0时，即a1时，BR，DAB(0，)，综上所述：当a0时，D(x2，)；当0a时，D(0，x1)(x2，)；当a时，D(0,1)(1，)；当a1时，D(0，)其中x1，x2；(2)f(x)6x26(1a)x6a6(x1)(xa)，a1，令f(x)0得xa或x1，当x1时，f(x)0，f(x)单调递增，当ax1时，f(x)0，即x21，此时f(x)在D(x2，)上无极值点；当0a时，D(0，x1)(x2，)，x1，x2，比较得0ax11x2，此时f(x)在D(0，x1)(x2，) 上只存在一个极大值点xa；当a时，f(x)在D(0,1)(1，)上只存在一个极大值点x；当a1时，f(x)在D(0，)上存在一个极大值点xa和极小值点x1；综上所述，当a0时，f(x)在D上无极值点；当0a时，f(x)在D上存在一个极大值点xa；当a1时，f(x)在D上存在一个极大值点xa和极小值点x1.21(本小题满分12分)(2012辽宁)设f(x)ln(x1)axb(a，bR，a，b为常数)，曲线yf(x)与直线yx在(0,0)点相切(1)求a，b的值；(2)证明：当0x2时，f(x)0时，2x11x2，故1.记h(x)f(x)，则h(x)令g(x)(x6)3216(x1)，则当0x2时，g(x)3(x6)22160，因此g(x)在(0,2)内是递减函数，又由g(0)0，得g(x)0，所以h(x)0.因此h(x)在(0,2)内是递减函数，又h(0)0，得h(x)0.于是当0x2时，f(x)0时，2x11x2，故1.令k(x)ln(x1)x，则k(0)0，k(x)10，故k(x)0，即ln(x1)0时，f(x)x.记h(x)(x6)f(x)9x，则当0x2时，h(x)f(x)(x6)f(x)9x(x6)93x(x1)(x6)(2)18(x1)3x(x1)(x6)18(x1)(7x18)0.因此h(x)在(0,2)内单调递减，又h(0)0，所以h(x)0，即f(x).22(本小题满分14分)(2012福建)已知函数f(x)exax2ex，aR.(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；(2)试确定a的取值范围，使得曲线yf(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P?解(1)由于f(x)ex2axe，曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线斜率k2a0，所以a0，即f(x)exex.此时f(x)exe，由f(x)0得x1.当x(，1)时，有f(x)0.所以f(x)的单调递减区间为(，1)，单调递增区间为(1，)(2)设点P(x0，f(x0)，曲线yf(x)在点P处的切线方程为yf(x0)(xx0)f(x0)，令g(x)f(x)f(x0)(xx0)f(x0)，故曲线yf(x)在点P处的切线与曲线只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点因此g(x0)0，且g(x)f(x)f(x0)exe