2020届邯郸市一模数学(理) 试卷

邯郸市2020年空中课堂高三备考检测理科数学同学们，在举国防控疫情期间，我们全民动员，同舟共济、共克时艰，显示了中华民族的伟大拼搏精神。作为高三学生，我们宅家备考，学会了人生的必修课自律。岁月不蹉跎，未来才可期！努力充实丰盈自己，才能赢得胜利！本试卷分第I卷和第卷两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。注意事项：1答题前，务必先将自己的姓名、考号填写在答题卡上。2答题时使用0.5毫米黑色签字笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。4保持卡面清洁，不折叠，不破损。 第卷（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设复数，则在复平面内对应的点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2已知集合，则A B C D3的展开式第三项为A B C D4函数的部分图象大致为 A. B. C. D.5设变量，满足约束条件则的最小值为A2 B C4 D 6公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算数和几何的纽带.图为五角形数的前4个，则第10个五角形数为A120 B145C270D2857若双曲线的一条渐近线与函数的图象相切，则该双曲线离心率为A B C2 D 8已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，则当时，的最小值为A0 B C D9设，为正数，且，则的最小值为A B C D10已知为抛物线的焦点.过点的直线交抛物线于两点，交准线于点.若，则为A B C D11已知点在函数的图象上，且给出关于的如下命题的最小正周期为10 的对称轴为 方程有3个实数根其中真命题的个数是A4 B3 C2 D112已知三棱柱各棱长均为2，平面，有一个过点且平行于平面的平面，则该三棱柱在平面内的正投影面积是A B C D第卷（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知是首项为的等比数列，若成等差数列，则_. 14执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则可输入的所有值组成的集合为_. 15若三点满足，且对任意都有，则的最小值为_.16近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单某外卖小哥每天来往于个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，其中），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的个外卖店取单设事件第次取单恰好是从1号店取单，是事件发生的概率，显然，则= ，与的关系式为 （）三、解答题：共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）的内角的对边分别是，.（1）求；（2）若成等差数列，求的面积.18（12分）如图，在四棱锥中，底面，点为的中点.平面交侧棱于点，四边形为平行四边形.（1）求证：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值. 19（12分）中华猕猴桃果树喜湿怕旱，喜水怕涝，在我国种植范围较广.某地一生态农业公司建立了一个大型猕猴桃种植基地，该地区雨量充沛，阳光与温度条件也对果树的成长十分有利，但干旱或雨量过大也会造成损失.公司管理人员依据往年猕猴桃生长期30个周降雨量（单位：）的数据，得到如下茎叶图（表中的周降雨量为一周内降雨量的总和）.另外，猕猴桃果树发生灾害与周降雨量的关系如下表所示. 周降雨量（单位：）猕猴桃灾害等级轻灾正常轻灾重灾根据上述信息，解答如下问题.（1）根据茎叶图中所给的数据，写出周降雨量的中位数和众数；（2）以收集数据的频率作为概率.估计该地区在今年发生重灾、轻灾以及无灾害的概率；若无灾害影响，每亩果树获利6000元；若受轻灾害影响，则每亩损失5400元；若受重灾害影响则每亩损失10800元为保护猕猴桃产业的发展，该地区农业部门有如下三种防控方案；方案1：防控到轻灾害，每亩防控费用400元.方案2：防控到重灾害，每亩防控费用1080元.方案3：不采取防控措施.问：如从获利角度考虑，哪种方案比较好？说明理由.20（12分）已知椭圆过点且离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上存在三个不同的点，满足，求弦长的取值范围21（12分）已知函数（1）当时，判断的单调性；（2）求证：（二）选考题：共10 分。请考生从第22、23 题中任选一题做答。并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。22 选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，点是曲线：（为参数）上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将线段顺时针旋转得到，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线，的极坐标方程；（2）在极坐标系中，点的坐标为，射线与曲线分别交于两点，求的面积.23 选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数.（1）当时，求的解集；（2）若在上恒成立，求的取值范围.邯郸市2020年空中课堂高三备考检测理科数学 参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设复数，则在复平面内对应的点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限1答案：B解析：，所以在复平面内对应的点位于第二象限2已知集合，则A B C D2答案：B解析：3的展开式第三项为A B C D3答案：C解析：4函数的部分图象大致为 A. B. C. D.4答案: A解析:因为，所以为奇函数，排除，当时，排除，故选.5设变量，满足约束条件则的最小值为A2 B C4 D 5答案：D解析：画出可行域，可发现的最小值是到距离的平方.6公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算数和几何的纽带.图为五角形数的前4个，则第10个五角形数为A120 B145C270D2856答案：B解析：记第个五角形数为，由题意知：易知，由累加法得，所以.7若双曲线的一条渐近线与函数的图象相切，则该双曲线离心率为A B C2 D 7答案：A解析：因为双曲线的渐近线过原点，且方程为函数图象也过原点，结合图形可知切点就是，8已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，则当时，的最小值为A0 B C D8答案：A 解析：关于对称 的周期为时最小值即为时最小值 ，选A9设，为正数，且，则的最小值为A B C D9答案：D解析:当时，,因为，当且仅当，即时取等号，则10已知为抛物线的焦点.过点的直线交抛物线于两点，交准线于点.若，则为A B C D10答案: C解析:过做准线的垂线，垂足为轴与准线交点为，设，则，因为，.11已知点在函数的图象上，且给出关于的如下命题的最小正周期为10 的对称轴为 方程有3个实数根其中真命题的个数是A4 B3 C2 D1 11答案：C 解析： ， ，所以为假命题 对称轴为，所以为真命题，所以为假命题方程有个根，所以为真命题选C 12已知三棱柱各棱长均为2，平面，有一个过点且平行于平面的平面，则该三棱柱在平面内的正投影面积是A B C D12答案：A解析：投影面平移不影响正投影的形状和大小，所以我们就以平面为投影面，然后构造四棱柱，得到投影为五边形，通过计算可得正投影的面积为.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知是首项为的等比数列，若成等差数列，则_. 13答案：解析：14执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则可输入的所有值组成的集合为_. 14答案：解析：（1）当时，得（2）当时得，所以答案为15若三点满足，且对任意都有，则的最小值为_.15答案：解析：因为对任意都有，故点C到AB所在直线的距离为2设AB中点为M，则当且仅当时等号成立16近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单某外卖小哥每天来往于个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，其中），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的个外卖店取单设事件第次取单恰好是从1号店取单，是事件发生的概率，显然，则= ，与的关系式为 （）16答案：；解析：第2次取单恰好是从1号店取单，由于每天第1次取单都是从1号店开始，根据题意，第2次不可能从1号店取单，所以，因此三、解答题：共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）的内角的对边分别是，.（1）求；（2）若成等差数列，求的面积.17解： 18（12分）如图，在四棱锥中，底面，点为的中点.平面交侧棱于点，四边形为平行四边形.（1）求证：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.18解：（1）证明：四边形为平行四边形.，又，又 点E为PC的中点1分在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD =2可得连接BD，易得3分又PC底面ABCD，BD平面ABCDBD平面PBC4分BD平面PBD，平面PBD平面PBC5分（2）由（1）知CD=2，在直角梯形中可得DCB=又PC底面ABCD以C为原点，CD为x轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示6分则设BD平面PBC平面PBC的法向量可取7分设平面ABP法向量为由 得可取8分h=29分， 10分PD与平面PAB所成角的正弦值为.12分19（12分）中华猕猴桃果树喜湿怕旱，喜水怕涝，在我国种植范围较广.某地一生态农业公司建立了一个大型猕猴桃种植基地，该地区雨量充沛，阳光与温度条件也对果树的成长十分有利，但干旱或雨量过大也会造成损失.公司管理人员依据往年猕猴桃生长期30个周降雨量（单位：）的数据，得到如下茎叶图（表中的周降雨量为一周内降雨量的总和）.另外，猕猴桃果树发生灾害与周降雨量的关系如下表所示. 周降雨量（单位：）猕猴桃灾害等级轻灾正常轻灾重灾根据上述信息，解答如下问题.（1）根据茎叶图中所给的数据，写出周降雨量的中位数和众数；（2）以收集数据的频率作为概率.估计该地区在今年发生重灾、轻灾以及无灾害的概率；若无灾害影响，每亩果树获利6000元；若受轻灾害影响，则每亩损失5400元；若受重灾害影响则每亩损失10800元为保护猕猴桃产业的发展，该地区农业部门有如下三种防控方案；方案1：防控到轻灾害，每亩防控费用400元.方案2：防控到重灾害，每亩防控费用1080元.方案3：不采取防控措施.问：如从获利角度考虑，哪种方案比较好？说明理由.19解：（1）根据茎叶图，可得中位数为12.5，众数为10 .4分（2）根据图中的数据，可得该地区周降雨量（单位：）的概率：，因此估计该地在今年发生重、轻害的概率分别为和 ，无灾害概率为6分 方案1：设每亩的获利为（元），则的可能取值为6000，-10800，则的分布列如下：6000-10800则(元)，则每亩净利润为（元）；方案2：设每亩的获利为（元），则的可能取值为6000元，于是，净利润为（元）；方案3：设每亩的获利为（元），则的可能取值为6000，-5400，-10800，则的分布列如下：6000-5400-10800则(元)，于是每亩亏损为（元）；由此得出，方案一的获利最多，所以选择方案一比较好.12分20（12分）已知椭圆过点且离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上存在三个不同的点,满足,求弦长的取值范围.20解：（1）由题意知，又因为，解得.则椭圆标准方程为. 4分（2）因为，则由向量加法的意义知四边形为平行四边形.设直线过两点，若直线垂直于轴，易得：或者，此时. 5分 若直线不垂直于轴，设，将直线代入的方程得故， 7分 因为，所以，则，即.因为在椭圆上，有，化简得. 9分 验证，.所以所以.10分 因为，则，即，得.综上可得，弦长的取值范围为 12分 21（12分）已知函数（1）当时，判断的单调性；（2）求证：21解：（1）当时，令，则在上为减函数，且所以，当时， ，单调递增；当时， ，单调递减.故递增区间为；递减区间为 4分（2），只需证 即 6分易证成立. 8分记，则令，得并且，当时，单调递增；当时，单调递减所以， 即，命题得证. 12分（二）选考题：共10 分。请考生从第22、23 题中任选一题做答。并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。22 选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，点是曲线：（为参数）上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将线段顺时针旋转得到，设点的轨迹为曲线（1）求曲线，的极坐标方程；（2）在极坐标系中，点的坐标为，射线与曲线分别交于两点，求的面积22解：（1）由题意可得的直角坐标