高考数学一轮复习 5.3 平面向量数量积与综合应用课件 文 新人教A版.pptVIP

5 3平面向量数量积与综合应用 一 两个向量的夹角 1 定义 已知两个非零向量a和b 作 a b 则 aob 叫做向量a与b的夹角 2 范围 向量夹角的范围是0 180 a与b同向时 夹角 0 a与b反向时 夹角 3 向量垂直 如果向量a与b的夹角是90 则a与b垂直 记作 a b 1 a b是两个非零向量 它们的夹角为 则数量 a b cos 叫做a与b的数量积 记作a b 即a b a b cos 规定0 a 0 当a b时 90 这时a b 0 2 a b的几何意义 a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影 b cos 的乘积 二 平面向量数量积的意义 2 若a b是非零向量 则a b a b 0且a b 0 a b 3 a a a 4 若a b是非零向量 则cos 5 a b a b 三 向量数量积的性质 1 如果e是单位向量 则a e e a a cos 2 分配律 a b c a c b c 3 r a b a b a b 四 数量积的运算律 1 交换律 a b b a 3 a 4 若a b是非零向量 则cos 五 数量积的坐标表示 设a a1 a2 b b1 b2 则 1 a b a1b1 a2b2 2 a b a1b1 a2b2 0 1 已知平面向量a 1 3 b 4 2 a b与a垂直 则 解析 a b 4 3 2 a b与a垂直 则 4 1 3 2 3 0 10 10 1 答案 1 2 平面向量a与b的夹角为120 a 2 0 b 1 则 a b 等于 a 3 b c 7 d 解析 由题意得 a 2 a b 答案 b 3 若平面向量b与向量a 1 2 的夹角是180 且 b 3 则b 解析 向量b与向量a 1 2 的夹角是180 向量b与向量a共线 向量b可以设为 2 3 3 反向 3 b 3 6 答案 3 6 题型1求两向量的夹角 例1已知 a 1 a b a b a b 求 1 a与b的夹角 2 a b与a b的夹角的余弦值 分析 1 由a b与a b的数量积可得出 a b 的关系 2 计算a b与a b的模 又 a 1 b 设a与b的夹角为 则cos 又 0 2 a b 2 a2 2a b b2 1 2 a b 解析 1 a b a b a 2 b 2 a b 2 a2 2a b b2 1 2 a b 设a b与a b的夹角为 则cos 点评 本题重在对基础知识及基本运算的考查 变式训练1已知向量a b满足 a 4 b 3 且 2a 3b 2a b 61 1 求a b的值 2 求向量a与b的夹角 2 设向量a与b的夹角为 则cos 又 0 可知向量a与b的夹角为60 解析 1 由 2a 3b 2a b 61 得4a2 4a b 3b2 61 又 a 4 b 3 可得a b 6 题型2两平面向量的平行垂直问题 例2设x y r 向量a x 1 b 1 y c 2 4 且a c b c 则 a b 等于 a b c 2 d 10 分析 先由向量垂直的充要条件求出x 向量平行的充要条件求出y 再由模的公式求模 解得y 2 所以a 2 1 b 1 2 所以a b 3 1 所以 a b 答案 b 解析 因为a c 所以a c 0 即2x 4 0 解得x 2 由b c 得 4 2y 点评 本题考查平面向量垂直与平行的充要条件 向量的坐标运算 向量的模等 变式训练2已知向量a 1 2 b 2 3 若向量c满足 c a b c a b 则c等于 a b c d 答案 d 解析 不妨设c m n 则a c 1 m 2 n a b 3 1 对于 c a b 则有3 1 m 2 2 n 又c a b 则有3m n 0 则有m n 故答案d 题型3向量与三角函数 例3已知向量a cos sin b cos sin 且x 1 求a b及 a b 2 若f x a b a b 求f x 的最大值和最小值 分析 利用数量积的坐标运算及性质即可求解 在求 a b 时注意x的范围 解析 1 a b coscos sinsin cos2x a b 2 cosx x cosx 0 a b 2cosx cosx 1 当cosx 时 f x 取得最小值 当cosx 1时取得最大值 1 点评 本题是向量知识结合三角函数知识及函数知识的一个综合题 考查学生的综合能力 2 f x cos2x 2cosx 2cos2x 2cosx 1 2 cosx 2 x 变式训练3已知a sin x 1 b cos x 0 0 又函数f x b a kb 是以为最小正周期的周期函数 1 求函数f x 的值域 2 若函数f x 的最大值为 则是否存在实数t 使得函数f x 的图像能由函数g x ta b的图像经过平移得到 若能 求出实数t 并说明如何平移 若不能 说明理由 f x b a kb sin x kcos x cos x sin xcos x kcos2 x sin2 x 1 cos2 x sin 2 x 其中tan f x 的最小正周期为 且 0 2 解析 1 a kb sin x kcos x 1 f x sin 4x 由 1 sin 4x 1 知f x 的值域为 2 由 得k 1 f x sin4x cos4x sin 4x 又a b sin2xcos2x sin4x 当t 时 g x sin4x 将g x 的图像向右平移个单位 再向下平移个单位 得到f x 的图像 故存在t 使g x 的图像向右平移个单位 再向下平移个单位后得到f x 的图像 1 在求夹角的过程中 当a b是非坐标形式时 求a与b的夹角 需求得a b及 a b 得出它们的关系 若已知a与b的坐标 则可直接利用公式cos 2 在求模的过程中 利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用 要掌握此类问题的处理办法 1 a 2 a2 a a 2 a b 2 a2 2a b b2 3 若a x y 则 a x1y2 x2y1 0 b 0 在证明垂直问题 常用向量垂直的充要条件 a b a b 0 x1x2 y1y2 0 4 要注意向量应用的综合性 即向量和其他数学内容的结合 如和函数 数列 三角 解析几何等结合 这类题目往往综合度要求比较高 3 在证明平行问题 常用向量平行的充要条件 a b a b 例 12分 设向量a 4cos sin b sin 4cos c cos 4sin 1 若a与b 2c垂直 求tan 的值 2 求 b c 的最大值 3 若tan tan 16 求证 a b 得a b 2c a b 2a c 0 即4sin 8cos 0 tan 2 4分 2 b c 2 b c 2 b2 c2 2b c sin2 16cos2 cos2 16sin2 2 sin cos 16sin cos 17 30sin cos 17 15sin2 最大值为32 所以 b c 的最大值为4 8分 解析 1 由a与b 2c垂直 即4cos 4cos sin sin 0 故a b 12分 答题流程 第一步 将向量间的关系转化为三角函数式 第二步 化简三角函数式 第三步 求三角函数式的值或分析三角函数式的性质 第四步 明确结论 3 由tan tan 16 得sin sin 16cos cos 第五步 反思回顾 查看关键点 易错点和规范解答 点评 1 本题是典型的向量与三角函数的综合题 题目难度中档 属高考的重点题型 2 本题体现了转化与化归的思想方法 根据向量关系 转化为三角函数的问题 利用三角函数解决 3 易错分析 在将向量关系转化为三角函数式时易出错 在第 3 问中 学生不知道要推出怎样的三角关系式才能说明a b 事实上是忽略了a b的条件 一 选择题 本大题共5小题 每小题6分 1 基础再现 已知向量a cos75 sin75 b cos15 sin15 那么 a b 的值是 a b c d 1 1 答案 d 解析 a b cos75 cos15 sin75 sin15 a b 2 基础再现 若两个非零向量a b满足 a b a b 2 a 则向量a b与a b的夹角是 a b c d 答案 c 解析 a b 2 a 可得a2 b2 2a b 4a2 a b 2 a 也可得a2 b2 2a b 4a2 于是有a b 0 b2 3a2 所以cos 所以向量a b与a b的夹角是 3 高度提升 已知向量a 2 3 b 5 1 若ma nb m 0 与a垂直 则等于 a 1 b 0 c 1 d 2 解析 ma nb 2m 5n 3m n 因为ma nb与a垂直 所以 2m 5n 2 3m n 3 0 解得 1 答案 c 4 高度提升 已知向量a 2 1 b 3 0 则a在b方向上的投影为 a 2 b c 2 d 解析 a在b方向上的投影为 a cos 2 答案 c 5 能力综合 设向量a b c满足a b c 0 a b c a b 若 a 1 则 a 2 b 2 c 2的值为 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 a b c 0 c a b a b c a b a b 0 即 a 2 b 2 0 a b 1 a b a b 0 c 2 a b 2 a 2 2a b b 2 1 0 1 2 a 2 b 2 c 2 4 答案 d 6 基础再现 与a 3 4 垂直的单位向量为 解析 设与a 3 4 垂直的单位向量为b x y 则有解得y 当y 时 x 当y 时 x 所以与a 3 4 垂直的单位向量为 或 答案 或 二 填空题 本大题共4小题 每小题7分 7 基础再现 abc的三边长分别为ab 7 bc 5 ca 6 则 的值为 解析 由余弦定理得 36 49 25 2 5 7 cosb 解得 cosb 有cos b 于是 7 5 19 答案 19 8 视角拓展 若向量e1与e2满足 e1 2 e2 2 e1 2e2 2 4 则e1与e2所夹的角为 解析 由 e1 2e2 2 4 可得 4 4e1 e2 4 有4 4 4 2 1 cos 4 得cos 则e1与e2所夹的角为 答案 9 高度提升 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 且向量m sin a b a2 b2 与向量n sin a b a2 b2 共线 若角c 120 则角a 解析 由已知得 利用余弦定理得 整理得 a2 b2 a2 b2 c2 0 则a b或a2 b2 c2 舍 则a b 30 答案 30 10 视角拓展 已知向量m cosa sina n 2 1 且m n 0 1 求tana的值 2 求函数f x cos2x tanasinx x r 的值域 三 解答题 本大题共3小题 每小题14分 因为x r 所以sinx 1 1 当sinx 时 f x 有最大值 当sinx 1时 f x 有最小值 3 故所求函数f x 的值域是 3 解析 1 由题意得m n 2cosa sina 0 因为cosa 0 所以tana 2 2 由 1 知tana 2得f x cos2x 2sinx 1 2sin2x 2sinx 2 sinx 2 11 高度提升 已知a 2 sinx 1 b 2 2 c sinx 3 1 d 1 k x r k r 1 若x 且a b c 求x的值 2 若x r 是否存在实数k 使 a d b c 若存在 求出k的取值范围 若不存在 请说明理由 解析 1 b c sinx 1 1 a b c 2 sinx sinx 1 sinx x x 2 a d 3 sinx 1 k b c sinx 1 1 若 a d b c 则 a d b c 0 即 3 sinx sinx 1 1 k 0 k sin2x 2sinx 4 sinx 1 2 5 x r sinx 1 1 k 5 1 故存在k 5 1 使 a d b c 12 能力综合 已知在平面直角坐标系xoy中 向量j 0 1 ofp的面积为2 且 t j 1 设4 t 4 求向量与的夹角为 的取值范围 2 设以原点o为中心 对称轴