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鲁教版初二数学知识点第一章 生活中的轴对称1.1轴对称现象1.轴对称图形:(1)如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫轴对称图形。这条直线叫对称轴。(注意:对称轴是一条直线,不是线段,也不是射线)。(2)轴对称图形至少有一条对称轴,最多可达无数条。例:圆的对称轴是它的直径( ) 直径是线段,而对称轴是直线(应说圆的对称轴是过圆心的直线或直径所在的直线);角的对称轴是它的角平分线( ) 角平分线是射线而不是直线(应说角的对称轴是角平分线所在的直线);正方形的对角线是正方形的对称轴( ) 对角线也是线段而不是直线。2.轴对称: (1)对于两个图形，如果沿一条直线折叠后，它们能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。(成轴对称的两图形本身可以不是轴对称图形)。(2)轴对称图形与轴对称的关系:联系:都是沿一条直线折叠后能够互相重合;当把成轴对称的两个图形看成一个整体时,它是一个轴对称图形；区别:轴对称图形是一个图形,轴对称是两个图形之间的关系。1.2简单的轴对称图形有两边相等的三角形叫等腰三角形。1.三线合一定理:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称为“三线合一”,它们所在的直线就是等腰三角形的对称轴）。 注意:对于一般的等腰三角形,一定要说清哪边上的中线、高和哪个角的平分线;等边三角形有三组三线合一,任意一边上的中线和高及其所对的角的平分线。2.等角对等边,等边对等角:如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等; 如果一个三角形有两个边相等，那么它们所对的角也相等。3.角平分线定理:角平分线上的任意一点到角的两边的距离(垂线段)相等。4.中垂线定理(1)概念:既垂直又平分线段的直线叫垂直平分线,简称中垂线； (2)定理:垂直平分线上的任一点到线段两端点的距离(与端点的连线)相等。5. 30所对直角边等于斜边的一半；斜边上的中线等于斜边的一半。1.3探索轴对称的性质1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分；2.轴对称图形对应线段相等，对应角相等。1.4利用轴对称设计图案1.画点A关于直线L的对应点A: 1、过点A作对称轴L的垂线，垂足为B2、延长AB至A，使得B A=AB3、点A就是点A关于直线L的对应点2.画线段AB关于L的对应线段AB: 1、过点A作对称轴L的垂线A A，使CA=C A2、过点A作对称轴L的垂线B B，使DB=DB3、连接AB，AB即是关于直线L的对应线段。第二章 勾股定理2.1探索勾股定理勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，那么a2 +b2=c2 ,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。(一个直角三角形,以它的两直角边为边长所作的两正方形面积之和等于以它的斜边为边长所作的正方形的面积)注意:电视机有多少英寸,指的是电视屏幕对角线的长度。2.2勾股数1.勾股定理的逆定理:若三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2，则该三角形是直角三角形。在ABC中, a，b，c为三边长,其中 c为最大边,若a2 +b2=c2,则ABC为直角三角形；若a2 +b2c2 ,则ABC为锐角三角形；若a2 +b2c2 ,则ABC为钝角三角形。2.勾股数:满足a2 +b2=c2 的三个正整数(即能构成一个直角三角形三边的一组正整数)，称为勾股数(勾股数是正整数)。规律:一组能构成直角三角形的三边的数,同时扩大或缩小同一倍数(即同乘以或除以同一个正数),仍能够成直角三角形。一组勾股数的倍数不一定是勾股数,因为其倍数可能是小数,只有整数倍数才仍是勾股数。常用勾股数:3,4,5(三四五) 9,12,15(3,4,5的三倍) 5,12,13(5.12记一生) 8,15,17(八月十五在一起) 6,8,10(3,4,5的两倍) 7,24,25(企鹅是二百五)勾股数须知:连续的勾股数只有3,4,5 连续的偶数勾股数只有6,8,10第三章 实数3.1无理数有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。1.无理数的概念:无限不循环小数叫做无理数(两个条件:无限不循环)。练习：下列说法正确的是 （ ） （A）无限小数是无理数；（B）带根号的数是无理数；（C）无理数是开方开不尽的数；（D）无理数包括正无理数和负无理数2.无理数: (1)特定意义的数，如；(2)特定结构的数；如2.02002000200002(3)带有根号的数，但根号下的数字开不尽方，如3.分类:正无理数和负无理数。3.2平方根1.定义:如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）。2.表示方法: 正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根；另一个是，它们是一对互为相反数，合起来是3.开平方:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方(其中,a叫被开方数,且a为非负数)。开平方与乘方是互为逆运算。判断：（1） 2是4的平方根 （ ）（2） -2是4的平方根（ ）（3）4的平方根是2 （ ）（4）4的算术平方根是-2 （ ）（5）17的平方根是（ ）（6）-16的平方根是-4 （ ）小结: 一个正数有两个平方根,它们互为相反数； 0只有一个平方根,它是0本身； 负数没有平方根。3.3立方根1.定义: 如果一个数x的立方等于a，即x3=a, 那么这个数x叫做a的立方根(三次方根)。2.性质: 正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0。3.开立方: 求一个数a的立方根的运算，叫做开立方(其中,a叫被开方数)。4.平方根与立方根的联系与区别:(1)联系:0的平方根、立方根都有一个是0；平方根、立方根都是开方的结果。(2)区别:定义不同；个数不同；表示方法不同；被开方数的取值范围不同。3.4方根的估算1.估算无理数的方法是（1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真值所在范围；（2）根据问题中误差允许的范围，在真值的范围内取出近似值。2.“精确到”与“误差小于”意义不同。如精确到1m是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m，答案在真值左右1m都符合题意，答案不惟一。在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位。3.5用计算器开方3.6实数知识回顾:1、 统称有理数；2、 叫做无理数；3、有理数分为 小数和 小数；4、有理数包括 零 。1.实数:有理数和无理数统称为实数(正实数,0和负实数)。2.在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。3.每一个实数都可以用数轴上的点来表示,反过来,数轴上的每一点都表示一个实数,即实数和数轴上的点是一一对应的。例:a是一个实数,它的相反数是_,绝对值是_。如果a0,那么它的倒数是_。第四章 概率的初步认识4.1可能性的大小游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。任意掷一枚均匀的硬币，会出现两种可能的结果：正面朝上，反面朝上.这两种结果出现的可能性相同,都是12。4.2认识概率4.3简单的概率计算一般地，在试验中，如果各种结果发生的可能性都相同，那么一个事件A发生的概率P(A)=事件A可能发生的结果数所有等可能结果的总数必然事件发生的概率为1，记作P(必然事件)1；不可能事件的概率为0，记作P（不可能事件）0；如果A为不确定事件，那么P（A）在0和1之间。第五章 平面直角坐标系5.1确定位置引例:电影票、角、教室座位、经纬度在平面上确定物体的位置一般需要两个数据a 和b 记作（a ，b），a表示:排、行、经度、角度b表示:号、列、纬度、距离 生活中还有哪些确定位置的其他方法？(1)如果全班同学站成一列做早操，现在教师想找某个同学，是否还需要用2个数据呢？(2)多层电影院确定座位位置用两个数据够用吗？必须有三个数据（a，b，c），其中a表示层数，b表示排号，c表示座号，即“a层b排c号”。(3)确定小区中住户的位置必须有四个数据，分别为楼号a，单元号b，层数c和住户号d，即“a楼b单元c层d号。”(4)区域定位法：绘出所在区域代号如B3，D5等。排球比赛队员场上的位置等。 准确定位需几个独立数据？ (1)已知在某列或某行上,只需一个数据定位；(2)在一个平面内确定物体位置,需两个数据；(3)在空间中确定物体位置,需要三个独立数据。5.2平面直角坐标系1.平面直角坐标系:平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系。坐标原点(0,0),第一二三四象限,注意:坐标轴上的点不属于任何象限。2.坐标:在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反之，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示。这样的有序实数对叫做点的坐标。规律1:点P（x，y）在第一象限x0，y0；点P（x，y）在第二象限x0，y0；点P（x，y）在第三象限x0，y0；点P（x，y）在第四象限x0，y0。x轴上的点的纵坐标为0，表示为（x，0）,y轴上的点的横坐标为0，表示为（0，y)点P（x，y）到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,到原点的距离是 。例:到x轴的距离为2,到,y轴的距离为3的点有_个,它们是_。规律2:关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数；关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数。平行于x轴的直线上的点，其纵坐标相同，两点间的距离= ；平行于y轴的直线上的点，其横坐标相同，两点间的距离= ；一、三象限的角平分线上的点横坐标等于纵坐标，可记作：（m，m）；二、四象限的角平分线上的点横坐标与纵坐标互为相反数,可记作：（m，-m）。点拨:同一点在不同的平面直角坐标系中，其坐标不同；根据实际需要，可以建适当的平面直角坐标系。第六章 一次函数6.1函数常量:在变化过程中，保持不变取值的量叫常量。变量:在变化过程中，可以不断变化取值的量叫变量。函数:一般地，设在一个变化的过程中有两个变量x和y。如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，我们称y是x的函数。其中，x是自变量，y是因变量。6.2一次函数若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k不为零)的形式,则称y是x的一次函数。x为自变量,y为因变量。特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数(正比例函数是特殊的一次函数)。6.3一次函数的图像1.一次函数的性质:(1)当k0时,y随x的增大而增大；(2)当k0时,y随x的增大而减小；(3)函数图象经过定点（0，b）。2.正比例函数的性质:(1)当k0时,图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；(2)当k0时,图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；(3)函数图象经过定点（0，0）。3.作正比例函数图像:对于正比例函数y=kx,通常取两个点(0,0),(1,k),两点的连线就是其图象(两点确定一条直线),所以正比例函数的图象是一条直线。4.作一次函数图像:通常取直线与坐标轴的交点来画它的图象。在x轴上的交点(-bk,0),y轴上的交点(0,b)5.一次函数y=kx+b的图像的位置与k,b符号的关系:(1)k0,b0时，图象经过第一、二、三象限；(2)k0,b0时，图象经过第一、三、四象限；(3)k 0,b0时，图象经过第一、二、四象限；(4)k 0,b0时, 图像经过第二、三、四象限；(5)k0,b= 0时，图象经过第一、三象限；(6)kb,或ax0(或0(或0的解集, ,图像在x轴下方时对应的x的范围是不等式ax+baxbxb大大取大xaxbxaxbaxb比小大，比大小，中间找xb无解比小小，比大大，解不了（无解）第十二章 因式分解12.1分解因式1.概念：把一个多项式化成几个最简整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解,也叫分解因式。2.注意:(1)分解因式与整式的乘法是一种互逆关系； (2)分解因式的结果要以积的形式表示； (3)每个因式都是整式,且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；(4)必须分解到每个多项式不能再分解为止。12.2提公因式法1.公因式:多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。2.正确找出多项式各项公因式的关键是：(1)定系数:公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数(当系数是整数时)(2)定字母:字母取多项式各项中都含有的相同的字母。(3)定指数:相同字母的指数取各项中字母的最低次幂。3.提公因式法:如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。步骤:(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式:当各项系数都是整数时, 公因式的系数应取各项系数的最大公约数。注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式 (提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同) ；(3)把多项式化成两个因式乘积的形式。口诀:找准公因式,一次要提净；全家都搬走,留1把家守；提负要变号,变形看奇偶。注意:当多项式第一项系数是负数，通常先提出 “ ”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。12.3运用公式法1.公式法:若把乘法公式反过来, 就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。2.常用公式:平方差公式、完全平方公式、立方和公式、立方差公式3.注意:首先提取公因式，然后考虑用公式，最终必是连乘式。先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。补充:十字相乘法十字相乘