高考数学总复习 第八篇 立体几何 第7讲 立体几何中的向量方法(Ⅰ) 证明平行与垂直课件 理.ppt

2014年高考浙江会这样考 1 通过线线 线面 面面关系考查空间向量的坐标运算 2 利用空间向量解决直线 平面的平行与垂直问题 3 利用空间向量求空间距 第7讲立体几何中的向量方法 证明平行与垂直 非零向量 2 用向量证明空间中的平行关系 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 则l1 l2 或l1与l2重合 设直线l的方向向量为v 与平面 共面的两个不共线向量v1和v2 则l 或l 存在两个实数x y 使v 设直线l的方向向量为v 平面 的法向量为u 则l 或l v u 0 设平面 和 的法向量分别为u1 u2 则 v1 v2 xv1 yv2 v u u1 u2 3 用向量证明空间中的垂直关系 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 则l1 l2 v1 v2 设直线l的方向向量为v 平面 的法向量为u 则l 设平面 和 的法向量分别为u1和u2 则 v1 v2 0 v u u1 u2 u1 u2 0 助学 微博 一个复习指导用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路 一种是用向量表示几何量 利用向量的运算进行判断 另一种是用向量的坐标表示几何量 共分三步 1 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量 或坐标 表示问题中所涉及的点 线 面 把立体几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 研究点 线 面之间的位置关系 3 根据运算结果的几何意义来解释相关问题 答案c 2 人教a版教材习题改编 若平面 的法向量分别为n1 2 3 5 n2 3 1 4 则 a b c 相交但不垂直d 以上均不正确答案c 答案c 4 下列命题中 所有正确命题的序号为 若n1 n2分别是平面 的法向量 则n1 n2 若n1 n2分别是平面 的法向量 则 n1 n2 0 若n是平面 的法向量 a与 共面 则n a 0 若两个平面的法向量不垂直 则这两个平面一定不垂直 答案 5 如图所示 在空间直角坐标系中 有一棱长为a的正方体abcoa b c d a c的中点e与ab的中点f的距离为 考向一利用空间向量证明平行问题 例1 如图所示 在正方体abcda1b1c1d1中 m n分别是c1c b1c1的中点 求证 mn 平面a1bd 方法锦囊 法一是建立坐标系 通过坐标运算证明结论 法二和法三没有建系 直接通过向量的分解等运算进行证明 当然在法二和法三中也可通过建立坐标系 利用坐标运算来证明 训练1 如图所示 平面pad 平面abcd abcd为正方形 pad是直角三角形 且pa ad 2 e f g分别是线段pa pd cd的中点 求证 pb 平面efg 证明 平面pad 平面abcd且abcd为正方形 ab ap ad两两垂直 以a为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系a xyz 则a 0 0 0 b 2 0 0 c 2 2 0 d 0 2 0 p 0 0 2 e 0 0 1 f 0 1 1 g 1 2 0 考向二利用空间向量证明垂直问题 例2 2012 天津 如图 在四棱锥p abcd中 pa 平面abcd ac ad ab bc bac 45 pa ad 2 ac 1 1 证明 pc ad 2 求二面角a pc d的正弦值 3 设e为棱pa上的点 满足异面直线be与cd所成的角为30 求ae的长 审题视点 直接用向量法解决 即建系求点坐标 求向量坐标 用向量知识解决 方法锦囊 用向量法解答这类题要做到以下几点 建系要恰当 建系前必须证明图形中有从同一点出发的三条两两垂直的直线 如果图中没有现成的 就需进行垂直转化 求点的坐标及有关计算要准确无误 这就需要在平时加强训练 步骤书写要规范有序 训练2 如图所示 正三棱柱abca1b1c1的所有棱长都为2 d为cc1的中点 求证 ab1 平面a1bd 审题视点 由平面sac 平面abc sa sc ba bc 可知本题可以取ac中点o为坐标原点 分别以oa ob os所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 用向量法求解 解取ac的中点o 连接os ob sa sc ab bc ac so ac bo 平面sac 平面abc 平面sac 平面abc ac so 平面abc 又 bo 平面abc so bo 训练3 2013 江西六校联考 如图所示的多面体是由底面为abcd的长方体被截面aec1f所截而得到的 其中ab 4 bc 2 cc1 3 be 1 1 求bf的长 2 求点c到平面aec1f的距离 规范解答14利用空间向量解决立体几何中的折叠问题 命题研究 折叠问题是近几年高考的热点问题 通常是把某个图形按照给定的条件折叠 通过折叠前后图形变换的相互关系来命题 注重考查学生的实践能力与创新能力 处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系 弄清折叠前后哪些发生了变化 哪些没有发生变化 然后充分利用空间向量 化繁为简 有效降低题目难度 1 证明 aa1 bc 2 求aa1的长 3 求二面角abca1的余弦值 教你审题 本题中的垂直条件比较充分 三个设问中以定量运算为主 所以可以建立空间直角坐标系 运用空间向量知识求解 若用综合法求解 对大部分考生来说有一定难度 特别是第 3 问 计算量也同时增加 阅卷老师手记 求解翻折问题的关键有两点 1 画好两个图 翻折前的平面图和翻折后的立体图2 分析好两个关系 翻折前后哪些位置关系和度量关系发生了变化 哪些没有变 这些不变的和变化的量反映了折叠后的空间图形的结构特征 运用空间向量解决立体几何问题的解题步骤如下 第一步 建系 根据题中的几何图形的特征建立适当的空间直角坐标系 第二步 定坐标 确定点的坐标进而求出有关向量的坐标 第三步 向量运算 进行相关的空间向量的运算 第四步 翻译 将向量中的语言 翻译 成相应的立体几何中的语言 完成几何问题的证明 第五步 得结论 得出本题结论 经典考题训练 试一试1 如图所示 已知直三棱柱abca1b1c1中 abc为等腰直角三角形 bac 90 且ab aa1 d e f分别为b1a c1c bc的中点 求证 1 de 平面abc 2 b1f 平面aef 试一试2 如图所示 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 证明 1 ae cd 2 pd 平面abe 试一试3 2012 湖北 如图 1 acb 45 bc 3 过动点a作ad bc 垂足d在线段bc上且异于点b 连接ab 沿ad将 abd折起 使 bdc 90 如图 2 1 当bd的长为多少时 三棱锥abcd的体积最大 2 当三棱锥abcd的体积最大时 设点e m分别为棱bc ac的中点 试在棱cd上确定一点n 使得en bm 并求en与平面bmn所成角的大小