高三数学总复习 （回顾+突破+巩固+提升作业） 第二节 参数方程课件 文.ppt

第二节参数方程 1 参数方程参数方程的概念一般地 在取定的坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标 x y 都是某个变数t的函数 并且对于t取的每一个允许值 由这个方程组所确定的点p x y 都在这条曲线上 那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程 联系x y之间关系的变数t叫作 简称 相对于参数方程 我们把直接用坐标 x y 表示的曲线方程f x y 0叫作曲线的普通方程 参变数 参数 2 直线 圆锥曲线的普通方程和参数方程 x0 tcos y0 tsin a rcos b rsin acos bsin 3 参数方程与普通方程普通方程与参数方程普通方程用 直接表示点的坐标之间的关系 参数方程是借助于 间接地反映点的坐标之间的关系 代数式 参数 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 曲线的参数方程中的参数都有实际意义 2 参数方程与普通方程互化后表示的曲线是一致的 3 圆的参数方程中的参数 与椭圆的参数方程中的参数 的几何意义相同 4 普通方程化为参数方程 参数方程的形式不唯一 解析 1 错误 曲线的参数方程中的参数 可以具有物理意义 可以具有几何意义 也可以没有明显的实际意义 2 错误 把普通方程化为参数方程后 很容易改变变量的取值范围 从而使得两种方程所表示的曲线不一致 3 错误 圆的参数方程中的参数 表示半径的旋转角 而椭圆的参数方程中的参数 表示对应的大圆或小圆半径的旋转角 即离心角 4 正确 用参数方程解决转迹问题 若选用的参数不同 那么所求得的曲线的参数方程的形式就不同 答案 1 2 3 4 考向1参数方程与普通方程的互化 典例1 已知参数方程 1 若t为常数 为参数 判断方程表示什么曲线 2 若 为常数 t为参数 方程表示什么曲线 思路点拨 将参数方程消去参数化为普通方程f x y 0 再判断曲线形状 规范解答 1 当t 1时 由 得由 得它表示中心在原点 长轴长为短轴长为焦点在x轴上的椭圆 当t 1时 y 0 x 2sin x 2 2 它表示在x轴上 2 2 的线段 2 当时 由 得由 得平方相减得即它表示中心在原点 实轴长为4 sin 虚轴长为4 cos 焦点在x轴上的双曲线 当 k k z 时 x 0 它表示y轴 当时 y 0 由于当t 0时 当t 0时 于是 x 2 方程y 0 x 2 表示x轴上以 2 0 和 2 0 为端点的向左和向右的两条射线 拓展提升 将参数方程化为普通方程时消参的常用方法 1 代入法 先由一个方程求出参数表达式 用直角坐标变量表示 再代入另一方程 2 利用代数或三角函数中的恒等式消参 变式训练 已知椭圆方程为写出参数方程 解析 即为所求参数方程 考向2圆的参数方程与应用 典例2 已知直线的极坐标方程为圆m的参数方程为 1 将直线的极坐标方程化为直角坐标方程 2 求圆m上的点到直线的距离的最小值 思路点拨 1 利用三角函数恒等式化简后得到直线的直角坐标方程 2 利用直线与圆的位置关系以及几何性质计算最小值 规范解答 1 sin cos 1 所以直线的直角坐标方程为x y 1 0 2 圆m的普通方程为x2 y 2 2 4 圆心m 0 2 到直线x y 1 0的距离所以直线与圆相离 圆m上的点到直线的距离的最小值为 拓展提升 直线与圆的位置关系 1 设圆的半径为r 圆心到直线的距离为d 直线与圆的普通方程联立所得的一元二次方程的根的判别式为 则 2 当直线与圆相离时 圆上的点到直线的距离的最大值为d r 最小值为d r 提醒 判断直线与圆的位置关系有几何法和解析法 即判别式法 两种 解题时要灵活选取不同的方法 变式训练 已知圆的方程为x2 y2 2x 6y 9 0 将它化为参数方程 解析 把x2 y2 2x 6y 9 0化为标准方程为 x 1 2 y 3 2 1 参数方程为 考向3极坐标方程与参数方程的综合题 典例3 2012 辽宁高考 在直角坐标系xoy中 圆c1 x2 y2 4 圆c2 x 2 2 y2 4 1 在以o为极点 x轴正半轴为极轴的极坐标系中 分别写出圆c1 c2的极坐标方程 并求出圆c1 c2的交点坐标 用极坐标表示 2 求出c1与c2的公共弦的参数方程 思路点拨 1 由公式求得极坐标方程 再将极坐标方程联立方程组求交点坐标 2 将两圆交点的极坐标化为直角坐标 再求公共弦的参数方程 规范解答 1 由公式得x2 y2 2 所以圆c1 x2 y2 4的极坐标方程为 2 圆c2 x 2 2 y2 4的极坐标方程为 4cos 解所以圆c1 c2的交点的极坐标为 2 由 1 知 圆c1 c2的交点的直角坐标为所以圆c1 c2的公共弦的参数方程为 拓展提升 圆与圆的位置关系以及应用 1 两圆的位置关系以及意义 两圆的半径分别为r r 且r r d为圆心距 2 若圆c1与圆c2外离 圆心距为d 两圆的半径分别为r1 r2 动点a在圆c1上 动点b在圆c2上 则a b之间距离的最小值为d r1 r2 最大值为d r1 r2 3 若两圆相交 则公共弦所在直线的方程可直接由两圆的直角坐标方程相减得到 变式训练 1 2012 湖南师大附中模拟 在极坐标系中 圆c1的方程为以极点为坐标原点 极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系 圆c2的参数方程为若圆c1与圆c2外切 求实数a的值 2 2012 湖北高考改编 在直角坐标系xoy中 以原点o为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知射线与曲线相交于a b两点 求线段ab的中点的直角坐标 解析 1 圆c1的方程化为即x2 y2 4x 4y 0 其圆心c1 2 2 半径圆c2的参数方程化为普通方程为 x 1 2 y 1 2 a2 其圆心c2 1 1 半径r2 a 因为两圆外切 所以 2 射线在直角坐标系下的直角坐标方程为y x x 0 将参数方程转化