高三数学导数的应用一单调性与极值例题解析人教_第1页
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高三数学导数的应用(一)单调性与极值例题解析一. 本周教学内容：导数的应用（一）单调性与极值1. 函数的单调性一般地，设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数，如果在某个区间内恒有，则为常数。 2. 函数的极值一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有，就称是函数的一个极大值，记作；如果对附近的所有的点，都有就称是函数的一个极小值，记作。极大值和极小值统称为极值。判别是极大（小）值的方法是：（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值。导数为0的点不一定是极值点，例如函数，处的导数是0，但非极值点。求可导函数的极值的步骤如下：（1）求导数（2）求出方程的根（3）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值，如果左右符号相同，那么这个根不是极值点。【典型例题】例1 确定函数在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数？解：令，解得或令，解得故函数在和为增函数，在为减函数例2 研究函数的单调性。解：当时，则函数在（，）上是增函数当时，则在（，）上是增函数当时，则在（，）和（，）上是增函数，在（，）上是减函数。例3 已知的单调区间。解：（1）当时，即，故在（0，）为减函数（2）当时， 由解得由解得故函数在（，1）是减函数，在（1，）上是增函数。其图象如下例4 已知（其中为常数）试求：（1）的极大值；（2）若的极大值为5，求的值；（3）曲线过原点的切线的方程。解：（1），对一元二次函数，它的判别式一元三次函数有极值的充要条件是有两相异实根，即，。当时，设的两根，列表如下：（，）（，）（，）+00+极大极小此函数当时取极大值极大值为 （2）令得 故当时，取极大值5（3）设切点P（，），曲线过P点的切线斜率为切线方程为：由切线过原点O（0，0），故 把代入切线方程，得切线方程为（答题时间：30分钟）一. 选择题：1. 设为的极值点，则（ ）A. B.不存在 C. 或不存在 D. 存在但可能不为02. 下列命题正确的是（ ）A. 极大值比极小值大B. 极小值不一定比极大值小 3. 三次函数当时有极大值4，当时有极小值0，且函数过原点，则该函数是（ ）A. B. C. D. 二. 填空题：4. 函数的极大值为正数，极小值为负数，则的取值范围是 。5. 若函数与的图象有3个交点，则的范围是 。参考答案一. 1. C 2. B
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