高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆及其标准方程（1）课件 新人教A版选修21.ppt

第二章 2 2椭圆 2 2 1椭圆及其标准方程 一 学习目标1 了解椭圆的实际背景 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程 椭圆标准方程的推导与化简过程 2 掌握椭圆的定义 标准方程及几何图形 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一椭圆的定义 给你两个图钉 一根无弹性的细绳 一张纸板 一支铅笔 如何画出一个椭圆 在纸板上固定两个图钉 绳子的两端固定在图钉上 绳长大于两图钉间的距离 笔尖贴近绳子 将绳子拉紧 移动笔尖即可画出椭圆 答案 思考2 在上述画椭圆过程中 笔尖移动需满足哪些条件 如果改变这些条件 笔尖运动时形成的轨迹是否还为椭圆 笔尖到两图钉的距离之和不变 等于绳长 绳长大于两图钉间的距离 若在移动过程中绳长发生变化 即到两定点的距离不是定值 则轨迹就不是椭圆 若绳长不大于两图钉间的距离 轨迹也不是椭圆 答案 梳理 1 我们把平面内与两个定点f1 f2的距离的和等于 大于 f1f2 的点的轨迹叫做 这两个定点叫做椭圆的 两焦点间的距离叫做椭圆的 2 椭圆的定义用集合语言叙述为 p m mf1 mf2 2a 2a f1f2 焦距 常数 椭圆 焦点 3 2a与 f1f2 的大小关系所确定的点的轨迹如下表 知识点二椭圆的标准方程 思考1 在椭圆的标准方程中a b c一定成立吗 不一定 只需a b a c即可 b c的大小关系不确定 答案 思考2 若两定点a b间的距离为6 动点p到两定点的距离之和为10 如何求出点p的轨迹方程 答案 梳理 1 椭圆标准方程的两种形式 c 0 0 c 2 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系 3 根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标 题型探究 类型一椭圆的定义解读 例1点p 3 0 是圆c x2 y2 6x 55 0内一定点 动圆m与已知圆相内切且过p点 判断圆心m的轨迹 解答 方程x2 y2 6x 55 0化标准形式为 x 3 2 y2 64 圆心为 3 0 半径r 8 因为动圆m与已知圆相内切且过p点 所以 mc mp r 8 根据椭圆的定义 动点m到两定点c p的距离之和为定值8 6 cp 所以动点m的轨迹是椭圆 引申探究若将本例中圆c的方程改为 x2 y2 6x 0且点p 3 0 为其外一定点 动圆m与已知圆c相外切且过p点 求动圆圆心m的轨迹方程 解答 设m x y 据题 圆c x 3 2 y2 9 圆心c 3 0 半径r 3 由 mc mp r 故 mc mp r 3 椭圆是在平面内定义的 所以 平面内 这一条件不能忽视 定义中到两定点的距离之和是常数 而不能是变量 常数 2a 必须大于两定点间的距离 否则轨迹不是椭圆 这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件 反思与感悟 跟踪训练1下列命题是真命题的是 将所有真命题的序号都填上 已知定点f1 1 0 f2 1 0 则满足 pf1 pf2 的点p的轨迹为椭圆 已知定点f1 2 0 f2 2 0 则满足 pf1 pf2 4的点p的轨迹为线段 到定点f1 3 0 f2 3 0 的距离相等的点的轨迹为椭圆 2 故点p的轨迹不存在 因为2a f1f2 4 所以点p的轨迹是线段f1f2 到定点f1 3 0 f2 3 0 的距离相等的点的轨迹是线段f1f2的垂直平分线 y轴 答案 解析 类型二求椭圆的标准方程 命题角度1用待定系数法求椭圆的标准方程 解答 由a b 0知不合题意 故舍去 方法二设椭圆的方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 所以所求椭圆的方程为5x2 4y2 1 引申探究 解答 1 若椭圆的焦点位置不确定 需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论 也可设椭圆方程为mx2 ny2 1 m n m 0 n 0 反思与感悟 跟踪训练2求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 椭圆的两个焦点坐标分别为f1 4 0 f2 4 0 椭圆上一点p到两焦点的距离之和等于10 据题2a 10 c 4 故b2 a2 c2 9 解答 2 椭圆过点 3 2 5 1 设椭圆的一般方程为ax2 by2 1 a 0 b 0 a b 解答 3 椭圆的焦点在x轴上 且经过点 2 0 和点 0 1 解答 命题角度2用定义法求椭圆的标准方程例3已知一动圆m与圆c1 x 3 2 y2 1外切 与圆c2 x 3 2 y2 81内切 试求动圆圆心m的轨迹方程 据题c1 3 0 r1 1 c2 3 0 r2 9 设m x y 半径为r 则 mc1 1 r mc2 9 r 故 mc1 mc2 10 据椭圆定义知 点m的轨迹是一个以c1 c2为焦点的椭圆 且a 5 c 3 故b2 a2 c2 16 解答 用定义法求椭圆标准方程的思路 先分析已知条件 看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义 若符合椭圆的定义 可以先定位 再确定a b的值 反思与感悟 解答 设椭圆的两个焦点分别为f1 f2 由 pf1 pf2 知 pf2垂直于长轴 又所求的椭圆的焦点可以在x轴上 也可以在y轴上 类型三椭圆中焦点三角形问题 例4 1 已知p是椭圆 1上的一点 f1 f2是椭圆的两个焦点 且 f1pf2 30 求 f1pf2的面积 解答 在 f1pf2中 由余弦定理得 f1f2 2 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 cos f1pf2 即4 pf1 pf2 2 2 pf1 pf2 2 pf1 pf2 cos30 pf2 2a pf1 2 f1pf2 120 解答 在椭圆中 当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时 这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形 这个三角形就是焦点三角形 这个三角形中一条边长等于焦距 另两条边长之和等于椭圆定义中的常数 在处理椭圆中的焦点三角形问题时 可结合椭圆的定义 mf1 mf2 2a及三角形中的有关定理和公式 如正弦定理 余弦定理 三角形面积公式等 来求解 反思与感悟 证明 在 pf1f2中 根据椭圆定义 得 pf1 pf2 2a 两边平方 得 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 4a2 根据余弦定理 得 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 cos 4c2 得 1 cos pf1 pf2 2b2 解答 从而 f1f2 2c 2 在 pf1f2中 由勾股定理可得 pf2 2 pf1 2 f1f2 2 即 pf2 2 pf1 2 4 又由椭圆定义知 pf1 pf2 2 2 4 所以 pf2 4 pf1 当堂训练 2 3 4 5 1 1 已知a 5 0 b 5 0 动点c满足 ac bc 10 则点c的轨迹是a 椭圆b 直线c 线段d 点 因为 ac bc 10 ab 所以点c的轨迹是线段ab 故选c 答案 解析 2 3 4 5 1 2 若方程3x2 ky2 1表示焦点在y轴上的椭圆 则k的可能取值为a 1b 3c 0d 2 答案 解析 2 3 4 5 1 答案 解析 由椭圆的定义 得 pf1 2a pf2 即 pf1 10 pf2 所以 pf1 pm 10 pm pf2 由三角形中 两边之差小于第三边 可知 当p m f2三点共线时 pm pf2 取得最大值 mf2 最小值 mf2 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 4 椭圆8x2 3y2 24的焦点坐标为 答案 解析 2 3 4 5 1 解答 同理得a2 4 b2 8 此时a2 b2 与焦点在y轴上矛盾 2 3 4 5 1 方法二设椭圆的一般方程为ax2 by2 1 a 0 b 0 a b 2 3 4 5 1 规律与方法 1 椭圆的定义式 pf1 pf2 2a 2a f1f2 在解题过程中将 pf1 pf2 看成一个整体 可简化运算 2 椭圆的定义中要求一动