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简单的排列组合练习题及答案 一、排列与组合 1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？ 2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？ 3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是 A.男同学2人，女同学6人 B.男同学3人，女同学5人 C. 男同学5人，女同学3人D. 男同学6人，女同学2人 4.一条铁路原有m个车站，为了适应客运需要新增加n个车站，则客运车票增加了58种，那么原有的车站有 A.12个 B.13个 C.14个 D.15个 5用0，1，2，3，4，5这六个数字， 可以组成多少个数字不重复的三位数？ 可以组成多少个数字允许重复的三位数？ 可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？ 可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？ 可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？ 二、注意附加条件 1.6人排成一列 甲乙必须站两端，有多少种不同排法？ 甲乙必须站两端，丙站中间，有多少种不同排法？ 2.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数？ 3.由数字1，2，3，4，5，6，7所组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列起来，第379个数是 A.3761 B.4175C.5132D.6157 4. 设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有 A.30种 B.31种 C.32种 D.36种 5.从编号为1，2，?，10,11的11个球中取5个，使这5个球中既有编号为偶数的球又有编号为奇数的球，且它们的编号之和为奇数，其取法总数是 A.230种 B.236种C.455种 D.2640种 6.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有 A.240种 B.180种C.120种 D.60种 7. 用0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列起来，第71个数是。 三、间接与直接 1.有4名女同学，6名男同学，现选3名同学参加某一比赛，至少有1名女同学，由多少种不同选法？ 2.名男生4名女生排成一行，女生不全相邻的排法有多少种？ 3.已知集合A和B各12个元素，A?B含有4个元素，试求同时满足下列两个条件的集合C的个数：C?且C中含有三个元素；C?A?,?表示空集。 4. 从5门不同的文科学科和4门不同的理科学科中任选4门，组成一个综合高考科目组，若要求这组科目中文理科都有，则不同的选法的种数 A.60种B.80种 C.120种D.140种 5.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点不同取法有多少种？ 6. 以正方体的8个顶点为顶点的四棱锥有多少个？ 7. 对正方体的8个顶点两两连线，其中能成异面直线的有多少对？ 四、分类与分步 1.求下列集合的元素个数 M?|x,y?N,x?y?6； H?|x,y?N,1?x?4,1?y?5 2.一个文艺团队有9名成员，有7人会唱歌，5人会跳舞，现派2人参加演出，其中1名会唱歌，1名会跳舞，有多少种不同选派方法？ 3.已知直线l1/l2，在l1上取3个点，在l2上取4个点，每两个点连成直线，那么这些直线在l1和l2之间的交点最多 有 A. 18个 B.20个 C.24个 D.36个 4.名翻译人员中，6人懂英语，4人懂日语，从中选拔5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，2人担任日语翻译，选拔的方法有 种。 5.某博物馆要在20天内接待8所学校的学生参观，每天只安排一所学校，其中一所人数较多的学校要连续参观3天，其余学校只参观1天，则在这20天内不同的安排方法为 A.7C3 20A17种 B.A8 20种C.7C1 18A17种 D.A18 18种 6. 从10种不同的作物种子选出6种放入6个不同的瓶子展出，如果甲乙两种种子不许放第一号瓶内，那么不同的放法共有 A.24C10A8种 B.5C1 9A9种C.5C1 8A9种 D.5C1 9A8种 7. 在画廊要展出1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，要求排成一排，并且同一种的画摆放在一起，还要求水彩画不能摆两端，那么不同的陈列方式有 A.5A1 4A5种 B.245A3A4A5种C.45A1 4A4A5种D.45A2 2A4A5种 8. 把一个圆周24等分，过其中任意3个分点，可以连成圆的内接三角形，其中直角三角形的个数是 A.12 B.13 C.264 9. 有三张纸片，正、反面分别写着数字1、2、3和4、5、，将这三张纸片上的数字排成三位数，共能组不同三位数的个数是 A. B.3C.48D.64 10.在120共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种? 11. 如下图,共有多少个不同的三角形? 解:所有不同的三角形可分为三类： 第一类:其中有两条边是原五边形的边,这样的三角形共有5个 第二类:其中有且只有一条边是原五边形的边,这样的三角形共有54=20个 第三类:没有一条边是原五边形的边,即由五条对角线围成的三角形,共有5+5=10个 由分类计数原理得,不同的三角形共有5+20+10=35个. 12.从5部不同的影片中选出4部，在3个影院放映，每个影院至少放映一部，每部影片只放映一场，共有 种不同的放映方法。 五、元素与位置位置分析 1.7人争夺5项冠军，结果有多少种情况？ 2.5600有多少个正约数?有多少个奇约数? 解:75600的约数就是能整除75600的整数,所以本题就是分别求能整除75600的整数和奇约数的个数. 由于5600=2433527 ljkl5600的每个约数都可以写成2?3?5?7的形式,其中0?i?4,0?j?3,0?k?2,0?l?1 于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5种取法,j有4种取法,k有3种取法,l有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5432=120个. jkl奇约数中步不含有2的因数,因此75600的每个奇约数都可以写成3?5?7的形式,同上奇 约数的个数为432=24个. 3.名医生和4名护士被分配到两所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同分配方法有多少种？ 4有四位同学参加三项不同的比赛， 每位同学必须参加一项竞赛，有多少种不同的结果？ 每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同的结果？ 解：每位学生有三种选择，四位学生共有参赛方法：3?3?3?3?81种； 每项竞赛被选择的方法有四种，三项竞赛共有参赛方法：4?4?4?64种. 六、染色问题 1.如图一,要给,四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为 图一 图二 图三 若变为图二,图三呢? 2. 某班宣传小组一期国庆专刊，现有红、 黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用， 要求在黑板中A、B、C、D每一 部分只写一种颜色，相邻两块颜色不同， 则不同颜色粉笔书写的方法共有 种。 七、消序 1. 有4名男生，3名女生。现将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法？ 2. 书架上有6本书，现再放入3本书，要求不改变原来6本书前后的相对顺序，有多少种不同排法？ 八、分组分配 1.某校高中一年级有6个班，分派3名教师任教，每名教师任教二个班，不同的安排方法有多少种？ 2. 高三级8个班，分派4名数学老师任教，每位教师任教2个班，则不同安排方法有多少种？ 3.本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人一本、二本、三本的不同分法有多少种？ 4.8项工程，甲承包三项，乙承包一项，丙、丁各承包二项，不同的承包方案有种 排列组合练习题 1、三个同学必须从四种不同的选修课中选一种自己想学的课程，共有种不同 的选法。 2、8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有种。 3、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第 一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_种。 4、从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要 求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有。 5、有8本不同的书，从中取出6本，奖给5位数学优胜者，规定第一名得2 本，其它每人一本，则共有种不同的奖法。 6、有3位老师、4名学生排成一排照相，其中老师必须在一起的排法共有种。、有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列 放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有_种。 8、五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排，任两台电视机不靠在一起，有 种陈列方法。 9、有6名同学站成一排：甲、乙、丙不相邻有种不同的排法。 10、五个人排成一排，要求甲、乙不相邻，且甲、丙也不相邻的不同排法的种数是11、6名男生6名女生排成一排，要求男女相间的排法有 种。 12、4名男生和3名女生排成一排，要求男女相间的排法有种。 13、有4男4女排成一排，要求女的互不相邻有种排法；要求男女相间有 种排法。 14、一排有8个座位，3人去坐，要求每人左右两边都有空位的坐法有 种。 15、三个人坐在一排7个座位上，若3个人中间没有空位，有种坐法。若 4个空位中恰有3个空位连在一起，有种坐法。 16、由1、2、3、4、5组成一个无重复数字的5位数，其中2、3必须排在一起，4、5不能 排在一起， 则不同的5位数共有 个。 17、有4名学生和3位老师排成一排照相，规定两端不排老师且老师顺序固定不变，那 么不同的排法有 种。 18、从6名短跑运动员中选4人参加4?100米的接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙 不能跑第四棒，共有种参赛方案。 19、现有6名同学站成一排：甲不站排头也不站排尾有 种不同的排法 甲不 站排头，且乙不站排尾有 种不同的排法 20、有2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间有三名学生，这样的排法共有种。1、以正方体的顶点为顶点的四面体共有个。 22、由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字，十 位数字小于百位数字，则这样的数共有 个。 23、A，B，C，D，E五人站一排，B必须站A右边，则不同的排法有 种。4、晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又加了2个节目，若将这个节目插入 原节目单中，则不同的插法有 种。 25、书架上放有6本书，现在要再插入3本书，保持原有书的相对顺序不变，则不同的 放法有 种。 26、9个子高低不同的人排队照相，要求中间的最高，两旁依次从高到矮的排法共有 种。 27、书架上放有5本书，现在要再插入3本书，保持原有的相对顺序不变，有 种放法。 28、12名同学合影，站成了前排4人后排8人现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是 29、有五项工作，四个人来完成且每人至少做一项，共有种分配方法。 30、从编号为了1、2、?的九个球中任取4个球，使它们的编号之和为奇数，再把这四个球排成一排，共有 种不同的排法。 31、有四个编有1、2、3、4的四个不同的盒子，有编有1、2、3、4的四个不同的小球， 现把小球放入盒子里，小球全部放入盒子中有 种不同的放法。恰有一个盒子没放球有 种不同的放法。恰有两个盒子没放球有 种不同的放法。 32、从两个集合1,2,3,4和5,6,7中各取两个元素组成一个四位数，可以组成 个四位数。 33、用1、2、3、?9这九个数字，能组成由3个奇数数字、2个偶数数字的不重复的五位数有 个。 34、用0、1、2、3、4五个数字组成的无重复的五位数中，若按从小到大的顺序排列23140是第个数。 35、用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可以组成 个没有重复数字的三位 数？这些三位数的和是 36、用0、1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数，其中能被5整除的数有 个 能 被3整除的数有 个能被6整除的数有 个 37、某小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选的不同选法 有16种，则小组中的女生数为 。 38、从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲，乙电视机各一台，则不 同取法共有 种。 39、某车间有8名会车工或钳工的工人，其中6人会车工，5人会钳工，现从这些工人中 选出人分别干车工和钳工，问不同的选法有 种。 40、有11名翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另2人英语、日语都精 通。从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作。这样的分配名单共可开出 张 41、将12本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人各得4本有 种分法。平均分成 三堆，有 种分法。 42、6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，甲一本、乙二本、丙三本；有 种不同的 分法。一人一本、一人二本、一人三本；有 种不同的分法。甲一本、乙一本、丙四本；有 种不同的分法。一人一本、一人一本、一人四本；有 种不同的分法。每个人都有两本书，有 种不同的分法。 43、将数字1，2，3，4填入标号为1.2.3.4的四个方格，每格填一个数，则每个方格的 标号与所填数字均不相同的填法有 种。 44、将标号为1，2，10的10个球放入标号为1，2，10的10个盒子内，每个 盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有_种 45、将1,2,3填入33的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法， 则不同的填写方法共有种。 解排列组合的应用题要注意以下几点： 1仔细审题，判断是排列还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步。深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑。 3对限制条件较复杂的排列组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决。 4由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用不同的方法求解。看看结果是否相同，在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏和重复。 基本规律 1,一大一小交替出现,首先考虑隔项数列; ,由小到大再到小,必与指数有关; 3,注意观察是否平方/立方的变形;要求对以上前提篇的熟练运用 4,跳跃较大则考虑乘积/次方,跳跃较小则考虑差/二重差; ,尝试把各数间差,及二重差列出,寻找规律; ,尝试把各数变化成某平方式,看是否存在规律; 数算部分 以下都是最基础的，原本以为不用写上来。可是今天看到还是有人不会。所以加上。 一、立方和公式： a立方+b立方= a立方-b立方= 二、特殊数列前N项和 1+2+3+4+5+6+n=n/+4+6+8+10+2n=n 1+3+5+7+=n平方 1平方+2平方+3平方+4平方+n平方=n/ 1立方+2立方+3立方+4立方+n立方=n/4 三、等差数列求和公式： Sn=n/ Sn=na1+nd/2 例1,六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ 甲不站两端； 甲、乙必须相邻； 甲、乙不相邻； 甲、乙之间间隔两人； 甲、乙站在两端； 甲不站左端，乙不站右端. 例2, 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？ 男运动员3名，女运动员2名； 至少有1名女运动员； 队长中至少有1人参加； 既要有队长，又要有女运动员. 例3,个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. 恰有1个盒不放球，共有几种放法？ 恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？ 恰有2个盒不放球，共有几种放法？ 1，从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 A，70 种 B，80种C，100 种 D，140 种 解析：分为2男1女，和1男2女两大类，共有 112 C52?C4?C5?C4 =70种， 解题策略：合理分类与准确分步的策略。 2，2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 A,种 B，12种 C，18种 D36种 解析：合理分类，通过分析分为小张和小王恰有1人入选，先从两人中选1人，然后把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有 113C2?C2?A3 种选法。 种方法。 小张和小赵都入选，首先安排这两个人，然后再剩余的3人中选2人排列有 2 A32?A2 共有24+12=36种选法。 解题策略：1，特殊元素优先安排的策略。 ，合理分类与准确分步的策略。 3，排列、组合混合问题先选后排的策略。 3，从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 A,4B, 1 C，180 D，162 解析：分为两大类：含有0，分步1，从另外两个偶数中选一个，个奇数中选两个，有 1 C2 种方法，2，从3 1C3 C32 种方法；3，给0安排一个位置，只能在个、十、百位上选，有种 方法；4，其他的3个数字进行全排列，有 A33 种排法，根据乘法原理共 113C2?C32?C3?A3 种方 法。不含0，分步，偶数必然是2，；奇数有列，共 C32 种不同的选法，然后把4个元素全排 A44 种排法，不含0 的排法有 + =180. 4 C32A4 种。根据加法原理把两部分加一块得 1134 C32A4C2?C32?C3?A3 解题策略：1，特殊元素优先安排的策略。 2，合理分类与准确分步的策略。 3，排列、组合混合问题先选后排的策略。 4，甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 A，150种B，180种 C，300种 D，345种 解析：4人中恰有1名女同学的情况分为两种，即这1名女同学或来自甲组，或来自乙组，则所有不同的选法共有 11211C5C3C6?C52C6C2 种选法。 解题策略：合理分类与准确分步的策略。 5，甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 A， B，1 C0 D3 解析：可以先让甲、乙任意选择两门，有 22C4?C4 种选择方法，然后再把两个人全不相同的 种选法，然后乙从剩余的两门选，有 情况去掉，两个人全不相同，可以让甲选两门有种不同的选法，全不相同的选法是 C42C22 C42C22 种方法，所以至少有一门不相同的选法为 22 C4?C4 C42C22 =30种不同的选法。 解题策略：正难则反，等价转化的策略。 6，用0 到这10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A3B，328C，360 D，648 解析： CCC第一类个位是零，共A92 种不同的排法。 第二类个位不是零，共 111 C4?C8?C8 种不同的解法。 解题策略：合理分类与准确分步的策略. 7，从10名大学毕业生中选3?a href=“/fanwen/shuoshuodaquan/” target=“_blank” class=“keylink”说未宄恚蚣住?至少有1人入选，而丙 没有入选的不同选法的总数为 A，85B，5 C，49D，2解析：合理分类，甲乙全被选中，有同的选法，共 2112C2?C7C2?C7 21 C2?C7 种 选 法，甲乙有一个被选中，有 12 C2?C7 种不 +=49种不同的选法。 解题策略： 特殊元素优先安排的策略， 合理分类与准确分步的策略. 8，将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为 A，1B，2C，30 D， 30 将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有 C42 种不同的分法，然后三组进行全排列共 A33 种不同的方法；然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉，共 A33 种不同的排法。所以总 的排法为 C42A33 A33 =30种不同的排法。 注意: 这里有一个分组的问题，即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题。 这里分为有序分组和无序分组，有兴趣的同学可以继续研究 ，这里不再详述。 解题策略： 1正难则反、等价转化的策略相邻问题捆绑处理的策略 3排列、组合混合问题先选后排的策略； 9，3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 A，360B，288C，216D，96 解析：分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则，先考虑女生的问题，先从3个女生中选两位，有 C32 种方法，然后再考虑顺序，即先选后排，有 A22 种方法；这样选出 两名女生后，再考虑男生的问题，先把三个男生任意排列，有 A32 中不同的排法， 然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成两个元素插入4个位置中。有的排法，共有 甲可能站左端，也可能是右端，有 1C2 A42 种不同 A22C32A33A42 种不同的排法。然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉。 种不同的方法，然后其他两个男生排列有 A22 种排法， 最后把女生在剩余的三个位置中排列，有法， 故总的排法为 A32 种不同的排法。