高三数学第一轮简单线性规划及应用

高三数学第一轮复习简单线性规划及应用一、基础知识回顾1用二元一次不等式表示平面区域一般地，二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线当在坐标系中画不等式Ax+By+C0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线常用以下方法判定二元一次不等式表示平面区域的位置在直线Ax+By+C=0的某一侧取一个特殊点(x0, y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0表示直线的哪一侧的平面区域特殊地，当C0时，常把原点作为此特殊点2用二元一次不等式组表示平面区域不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，也就是各个不等式所表示平面区域的公共部分3关于线性规划的基本概念求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，称为线性规划问题，满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫可行域其几何表示就是约束条件所表示的平面区域，在线性约束条件下，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解称为该线性规划问题的最优解二、基础训练（ ）1、3x+ay-60)表示的平面区域是直线3x+ay-6=0 的点的集合A、左上方B、右上方C、左下方D、右下方（ ）2、线性目标函数z=2x-y在线性约束条件下，取最小值时的最优解是A、(1，1) B、(-1，1) C、(-1，-1) D、(1，-1)3、点(-2，t)，在直线2x-3y+6=0的上方，则t的取值范围是 。4、不等式组表示的平面区域内的整点共有 个。三、典型例题选讲例1已知线性约束条件(1)在直角坐标系xOy中，用平面图形表示出该约束条件的可行域；(2)求上述平面图形的面积例2设x、y、z满足x+y+z=1及不等式组求F=2x+6y+4z的最大值和最小值例3（1）设f (x)=ax2-c，并且-4f (1)-1，-1f (2)5，那么f (3)适合的条件是( )(A)-7f (3)26 (B)-4f (3)5 (C)-1f (3)20 (D)f (3)（2）已知a、b是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的两个实数根，x1(0, 1)，x2(1, 2)则的范围是( )(A) (B) (C) (D)例4某人有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？四、作业A组( )1实数x，y满足，则t=的取值范围是(A) (B) (C) (D)( )2已知点(3, 1)和(-4, 6)在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围(A)a24 (B)a=7或a=24 (C)-7a24 (D)-24a7( )3(x-2y+1)(x+y-3)0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为 (A) (B) (C)4 (D)( )5已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较( )(A)2枝玫瑰的价格高 (B)3枝康乃馨的价格高 (C)价格相同 (D)不确定( )6如果直线y=kx+1和圆x2+y2+kx+my-4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，则不等式组表示的平面区域的面积是(A) (B) (C)1 (D)2( )7如果函数y=ax2+bx+a的图象与x轴没有公共点，则点(a,b)在aOb平面上的区域(不包含边界)为baO(A)abO(B)baO(C)baO(D)( )8设全集U=(x, y)|xR, yR，A=(x, y)|2x-y+m0，B=(x, y)|x+y-n0，那么点P(2, 3)(AIB)的充要条件是(A)m-1或n5 (B)m-1且n5 (C)m-1或n5 (D)m-1且n5( )9已知点P(a, b)在不等式组确定的平面区域内，则点N(a+b, a-b)所在平面区域的面积为(A)1 (B)2 (C)4 (D)810若x、y满足，设y=kx，则k的取值范围是 11当x、y满足，(其中x, yN*, k为常数)，如果z=x+y的最大值为12，则k的取值范围是 12不等式|x-1|+|y-2|2表示的平面区域的面积为_。13某运输公司由7辆载重量为6吨的A型卡车和4辆载重量为10吨的B型卡车，有9名驾驶员在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360吨沥青的任务已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车6次每辆卡车每天往返的成本费为A型卡车160元，B型卡车252元每天派出A型卡车与B型卡车各多少辆，公司所花的成本费最低？14要把一批长为4000mm的条型钢材截成518mm和698mm两种毛坯(损耗不计)，应该怎样合理下料才能使材料利用率最高？例1解：(1)题设中线性约束条件的可行域在直角坐标系xOy中表示出来如右图，就是四边形ABCD(2)平面图形的面积为S=|AC|BD|=33=注：(1)线性约束条件通常由若干个二元一次不等式共同决定，线性约束条件的可行域在坐标系中对应的平面图形就是各个二元一次不等式所表示平面区域的公共部分(2)计算平面图形的面积应注意平面图形的特点，如本例中平面图形是梯形，也可用梯形的面积公式直接求对于较复杂的线性约束条件，其平面图形的边数较多，求面积时常用割补法yx2A1BCOt1=2xyt2=2xyy=1y=xx+y=111例2解：线性约束条件的可行域为右图中ABC的内部及其边界t为直线2xyt=0在y轴上的截距当(x，y)位于点C(1，1)时，t取得最大值，t取得最小值，tmin=1；当(x，y)位于点B(2，1)时，t取得最小值，t取得最大值，tmax=5yA1 x1BCDO例3解：x+y+z=1，z=1xy题中不等式组可化为并且F=2x+6y+4(1xy)=2x+2y+4先画出约束条件的可行域，如图由F=2x+2y+4，得y=x+当(x, y)为A(0,2)时，Fmax=20+22+4=8；当(x，y)为C(1,1)时，Fmin=21+21+4=4DABCyxOl例4已知f (x)=x2+ax+b，求证：|f (1)|、|f (2)|和|f (3)|中至少有一个不小于分析：本题实际上是证明线性约束条件，即是不相容的，因此，我们可以选择其中两个作为线性约束条件，另一个作为线性目标函数，通过求解所得范围与上述范围恰好没有公共值即可解：设|f (1)|且|f (2)|即在线性约束条件下，求f (3)=9+3a+b的范围作换元：x=a，y=b，得线性约束条件线性目标函数z=f (3)9=3x+y，可行域为平行四边形ABCD的内部区域作直线l：3x+y=0，并把直线l向左移动知：过点B的直线l1/l在y轴上的截距最大，即f (3)最大易求得B，但(x, y)不能是B，所以f (3)93(2)+=，故f (3)3(4)+=，故f (3)综上所述，得f (3)所以|f (3)|不成立故在|f (1)|和|f (2)|成立的条件下，不可能有|f (3)|f (1)|、|f (2)|和|f (3)|中至少有一个不小于注：本题如果用线性表示法做，可以更为快捷设f (3)9=x f (1)1+y f (2)4，即9a+b=x(a+b)+y(2a+b)比较系数，得，解之得f (3)9=7 f (1)1+8 f (2)4，即7f (1)8f (2)+f (3)=16但在条件|f (1)|、|f (2)|和|f (3)|同时成立时，有16=|7f (1)8f (2)+f (3)|7+8+=16，此为矛盾，表明|f (1)|、|f (2)|和|f (3)|t0时，直线4x+3y=t在直线l1的右上方，将离开可行域；当0t24，b1124-1222=02x3y，故应选(A)6直线y=kx+1和x+y=0垂直，k=1又圆心必在直线x+y=0上，得m=-1DyxABCOx=7y=4x+y=94x+5y=30l容易求得区域的面积为，故选(A)7.(D) 8.(C) 9.(D) 10. 11.(-21, -2012设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，则应在下面的约束条件下，即求z=160x+252y的最小值，并且最优解应为整数.作出约束条件的可行域ABCD可行域内只有(7,1)，(7,2)，(6,2)，(6,3)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(4,3)，(4,4)，(3,4)这10整点，经计算比较知点(5,2)是最优解，最低费用是：z=1605+2522=1304(元)，此时x=5，y=213设截成518mm长度的为x根，698mm的为y根，依题意，有yxO问题转化为在不等式组所确定的区域内，寻求适合的整数解仔细观察区域内坐标为整数的格点，易知最靠近直线518x+698y=4000的点为(5,2)即解为：x=5，y=214设应分别生产A、B产品各xkg、ykg，利润z万元，A(20,24)xOyBCD则有，利润目标函数z=7x+12y易知A(20,24)为最优解，此时zmax=428例2在线性约束条件下，求t=2x