高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和课件.ppt

6 3等比数列及其前n项和 第六章数列 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 等比数列的定义一般地 如果一个数列 那么这个数列叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的 通常用字母表示 q 0 2 等比数列的通项公式设等比数列 an 的首项为a1 公比为q 则它的通项an 知识梳理 从第2项起 每一项与它的前一项的比都等于同一 个常数 公比 q a1 qn 1 a1 0 q 0 3 等比中项如果在a与b中插入一个数g 使得a g b成等比数列 那么根据等比数列的定义 g 称g为a b的等比中项 g2 ab 4 等比数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am n m n 2 若 an 为等比数列 且k l m n k l m n n 则 3 若 an bn 项数相同 是等比数列 则 an 0 an bn 仍是等比数列 qn m ak al am an 5 等比数列的前n项和公式等比数列 an 的公比为q q 0 其前n项和为sn 当q 1时 sn na1 6 等比数列前n项和的性质公比不为 1的等比数列 an 的前n项和为sn 则sn s2n sn s3n s2n仍成等比数列 其公比为 qn 等比数列 an 的单调性 知识拓展 4 当q 0时 an 为摆动数列 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 满足an 1 qan n n q为常数 的数列 an 为等比数列 2 g为a b的等比中项 g2 ab 3 如果数列 an 为等比数列 bn a2n 1 a2n 则数列 bn 也是等比数列 基础自测 1 2 3 4 5 6 4 如果数列 an 为等比数列 则数列 lnan 是等差数列 5 数列 an 的通项公式是an an 则其前n项和为sn 6 数列 an 为等比数列 则s4 s8 s4 s12 s8成等比数列 1 2 3 4 5 6 题组二教材改编2 p51例3 已知 an 是等比数列 a2 2 a5 则公比q 答案 解析 1 2 3 4 5 6 3 p54a组t8 在9与243中间插入两个数 使它们同这两个数成等比数列 则这两个数为 答案 1 2 3 4 5 6 解析设该数列的公比为q 由题意知 243 9 q3 q3 27 q 3 插入的两个数分别为9 3 27 27 3 81 解析 27 81 题组三易错自纠4 若1 a1 a2 4成等差数列 1 b1 b2 b3 4成等比数列 则的值为 答案 1 2 3 4 5 6 解析 解析 1 a1 a2 4成等差数列 3 a2 a1 4 1 a2 a1 1 又 1 b1 b2 b3 4成等比数列 5 设sn为等比数列 an 的前n项和 8a2 a5 0 则 解析 答案 1 2 3 4 5 6 解析设等比数列 an 的公比为q 8a2 a5 0 8a1q a1q4 0 q3 8 0 q 2 11 6 一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1kb 然后每3分钟自身复制一次 复制后所占内存是原来的2倍 那么开机 分钟 该病毒占据内存64mb 1mb 210kb 解析 答案 1 2 3 4 5 6 解析由题意可知 病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列 an 且a1 2 q 2 an 2n 则2n 64 210 216 n 16 即病毒共复制了16次 所需时间为16 3 48 分钟 48 题型分类深度剖析 解析 答案 题型一等比数列基本量的运算 自主演练 解得a4 2 设等比数列 an 的公比为q 解析 答案 2n 1 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题 数列中有五个量a1 n q an sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 可迎刃而解 典例 2018 潍坊质检 设数列 an 的前n项和为sn 已知a1 1 sn 1 4an 2 1 设bn an 1 2an 证明 数列 bn 是等比数列 题型二等比数列的判定与证明 师生共研 证明 证明由a1 1及sn 1 4an 2 得a1 a2 s2 4a1 2 a2 5 b1 a2 2a1 3 由 得an 1 4an 4an 1 n 2 an 1 2an 2 an 2an 1 n 2 bn an 1 2an bn 2bn 1 n 2 故 bn 是首项b1 3 公比为2的等比数列 解答 2 求数列 an 的通项公式 解由 1 知bn an 1 2an 3 2n 1 故an 3n 1 2n 2 若将本例中 sn 1 4an 2 改为 sn 1 2sn n 1 其他不变 求数列 an 的通项公式 解答 解由已知得n 2时 sn 2sn 1 n sn 1 sn 2sn 2sn 1 1 an 1 2an 1 an 1 1 2 an 1 n 2 又a1 1 s2 a1 a2 2a1 2 即a2 1 2 a1 1 当n 1时 式也成立 故 an 1 是以2为首项 以2为公比的等比数列 an 1 2 2n 1 2n an 2n 1 1 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法 其他方法只用于选择题 填空题中的判定 若证明某数列不是等比数列 则只要证明存在连续三项不成等比数列即可 2 利用递推关系时要注意对n 1时的情况进行验证 跟踪训练 2016 全国 已知数列 an 的前n项和sn 1 an 其中 0 1 证明 an 是等比数列 并求其通项公式 证明 证明由题意得a1 s1 1 a1 由sn 1 an sn 1 1 an 1 得an 1 an 1 an 即an 1 1 an 由a1 0 0得an 0 解答 解得 1 1 2017 郑州三模 已知等比数列 an 且a6 a8 4 则a8 a4 2a6 a8 的值为a 2b 4c 8d 16 题型三等比数列性质的应用 自主演练 解析 答案 2 2017 云南省十一校跨区调研 已知数列 an 是等比数列 sn为其前n项和 若a1 a2 a3 4 a4 a5 a6 8 则s12等于a 40b 60c 32d 50 解析由等比数列的性质可知 数列s3 s6 s3 s9 s6 s12 s9是等比数列 即数列4 8 s9 s6 s12 s9是等比数列 因此s12 4 8 16 32 60 故选b 解析 答案 等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类 1 通项公式的变形 2 等比中项的变形 3 前n项和公式的变形 根据题目条件 认真分析 发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口 典例 12分 已知首项为的等比数列 an 的前n项和为sn n n 且 2s2 s3 4s4成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 分类讨论思想在等比数列中的应用 思想方法 思想方法指导 思想方法指导 1 利用等差数列的性质求出等比数列的公比 写出通项公式 2 求出前n项和 根据函数的单调性证明 规范解答 规范解答 1 解设等比数列 an 的公比为q 因为 2s2 s3 4s4成等差数列 所以s3 2s2 4s4 s3 即s4 s3 s2 s4 课时作业 1 2017 福建漳州八校联考 等比数列 an 的前n项和为sn 若s3 2 s6 18 则等于a 3b 5c 31d 33 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 解析设等比数列 an 的公比为q 则由已知得q 1 2 2017 武汉市武昌区调研 设公比为q q 0 的等比数列 an 的前n项和为sn 若s2 3a2 2 s4 3a4 2 则a1等于 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由s2 3a2 2 s4 3a4 2 得a3 a4 3a4 3a2 解得a1 1 故选b 3 2017 张掖市一诊 已知等比数列 an 中 a3 2 a4a6 16 则的值为a 2b 4c 8d 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 2017 山西太原三模 已知数列 an 的前n项和为sn 点 n sn 3 n n 在函数y 3 2x的图象上 等比数列 bn 满足bn bn 1 an n n 其前n项和为tn 则下列结论正确的是a sn 2tnb tn 2bn 1c tn and tn bn 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题意可得sn 3 3 2n sn 3 2n 3 由等比数列前n项和的特点可得数列 an 是首项为3 公比为2的等比数列 数列的通项公式an 3 2n 1 设bn b1qn 1 则b1qn 1 b1qn 3 2n 1 当n 1时 b1 b1q 3 当n 2时 b1q b1q2 6 解得b1 1 q 2 数列 bn 的通项公式bn 2n 1 由等比数列求和公式有 tn 2n 1 观察所给的选项 sn 3tn tn 2bn 1 tn an tn bn 1 5 2017 广元模拟 等比数列 an 的各项均为正数 且a5a6 a4a7 18 则log3a1 log3a2 log3a10等于a 5b 9c log345d 10 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由等比数列的性质知a5a6 a4a7 又a5a6 a4a7 18 所以a5a6 9 则原式 log3 a1a2 a10 log3 a5a6 5 10 6 2018 长春质检 中国古代数学著作 算法统宗 中有这样一个问题 三百七十八里关 初行健步不为难 次日脚痛减一半 六朝才得到其关 要见次日行里数 请公仔细算相还 其意思为 有一个人走378里路 第一天健步行走 从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半 走了6天后到达目的地 请问第二天走了a 192里b 96里c 48里d 24里 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即第二天走了96里 故选b 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 已知 an 是各项都为正数的等比数列 其前n项和为sn 且s2 3 s4 15 则a3 4 解析s4 s2 a3 a4 12 s2 a1 a2 3 a3 a4 a3 1 q 3a3 12 a3 4 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 在各项均为正数的等比数列 an 中 若a2 1 a8 a6 2a4 则a6的值是 4 解析因为a8 a2q6 a6 a2q4 a4 a2q2 所以由a8 a6 2a4 得a2q6 a2q4 2a2q2 消去a2q2 得到关于q2的一元二次方程 q2 2 q2 2 0 解得q2 2 q2 1 舍去 a6 a2q4 1 22 4 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 已知数列 an 是递增的等比数列 a1 a4 9 a2a3 8 则数列 an 的前n项和为 2n 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 已知数列 an 的前n项和为sn 且满足an sn 1 n n 则通项an 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 an sn 1 an 1 sn 1 1 n 2 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 2016 全国 已知各项都为正数的数列 an 满足a1 1 2an 1 1 an 2an 1 0 1 求a2 a3 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 求 an 的通项公式 2an 1 an 1 an an 1 因为 an 的各项都为正数 所以an 1 0 12 已知数列 an 中 a1 1 an an 1 记t2n为 an 的前2n项的和 bn a2n a2n 1 n n 1 判断数列 bn 是否为等比数列 并求出bn 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 bn a2n a2n 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 求t2n t2n a1 a3 a2n 1 a2 a4 a2n 13 2017 新乡三模 若数列 an 1 an 是等比数列 且a1 1 a2 2 a3 5 则an 技能提升练 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 a2 a1 1 a3 a2 3 q 3 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14 2018 徐州质检 设数列 an 的前n项和为sn 且a1 1 an an 1 n 1 2 3 则s2n 3 解析由题意 得s2n 3 a1 a2 a3 a4 a5 a2n 2 a2n 3 15 已知等比数列 an 的各项均为正数且公比大于1 前n项积为