轨迹方程的求解.doc

数海冲浪-轨迹方程的求法轨迹方程求法探究 求轨迹方程的方法有多种，常用的有直接法、定义法、代入法、参数法，向量法，待定系数法和交轨法一、直接法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法例1一动点与原点的边线的斜率等于这个动点与原点的距离，求此动点轨迹方程。解析：设P（x,y），则，都可表示出来，从而据题设可求得动点的轨迹方程。解：设动点P（x,y），则，据题意可得： 两边平方化简得： （xyo） 故所求得动点的轨迹方程为（xyo）变式： 已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。解：设点P的坐标为（x，y），则由题意可得。（1）当x3时，方程变为，化简得。（2）当x3时，方程变为，化简得。故所求的点P的轨迹方程是或。二、定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法 例2 已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，。动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求轨迹方程为。例3、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的）。解：如图， （*）点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15轨迹方程为点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！例4、ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹方程。分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。解：sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=2RsinA即 （*）点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）2a=6，2c=10a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为 （x3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）练习：1、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是 （ ）A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x解：C点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线 p=8开口向右，则方程为y2=16x，选C2、已知ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且，点B、C的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，则顶点A的轨迹方程是（ ）A、 B、 C、 D、2、D，且点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线，即y0，故选D。3、过原点的椭圆的一个焦点为F(1，0)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是 （ ）A、 B、C、 D、4、A设中心为(x，y)，则另一焦点为(2x-1，2y)，则原点到两焦点距离和为4得， 又ca,(x-1)2+y2)7、y2=x+2(x2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x，y)，则，即y2=x+2又弦中点在已知抛物线内P，即y22x，即x+223代入法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标（x0，y0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法 例3已知A（2，0），B，点C在直线上移动，求ABC重心G的轨迹方程。分析：重心G的运动是由点C在直线上运动引起的，因而设G（x,y），再用 表示出点C的坐标，就可以建立起点G的轨迹方程。解：设G（x,y）,C G是ABC的重心，且A（2，0），B， 即 又C 在直线上 ，即 化简得 A(2,0),B,共线的条件是， 即解方程组 得故方程中含有轨迹外的一个点，应删除。从而ABC重心G的轨迹方程是点评：本题中的动点C、G可分别称为主动点与从动点，为求从动点G的轨迹，应设出两个点坐标，在根据主动点有从动点存在的关系，建立两动点坐标之间的关系式。用从动点坐标表示出主动点坐标，代入主动点坐标满足的方程，得动点G的轨迹方程。四、参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法 例4A、B是抛物线上的两动点，且于P，求动点P的轨迹。解法一 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x0)直线AB的方程为x=my+a由OMAB，得m=由y2=4px及x=my+a，消去x,得y24pmy4pa=0所以y1y2=4pa, x1x2=所以，由OAOB，得x1x2 =y1y2所以故x=my+4p,用m=代入，得x2+y24px=0(x0)故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点 解法二 设OA的方程为，代入y2=4px得则OB的方程为，代入y2=4px得AB的方程为，过定点，由OMAB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外）故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点 解法三 设M(x,y) (x0)，OA的方程为，代入y2=4px得则OB的方程为，代入y2=4px得由OMAB，得M既在以OA为直径的圆 上，又在以OB为直径的圆 上（O点除外），+得 x2+y24px=0(x0)故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点 变式： 过原点作直线l和抛物线交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。解：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程，得。因为直线和抛物线相交，所以0，解得。设A（），B（），M（x，y），由韦达定理得。由消去k得。又，所以。点M的轨迹方程为。五、待定系数法例5求与双曲线有共同渐进线，且过点的双曲线的标准方程。解：双曲线方程可设为，将点的坐标代入得： 故所求双曲线的方程为变式： 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，求此双曲线方程。解：设双曲线方程为。将y=x1代入方程整理得。由韦达定理得。又有，联立方程组，解得。此双曲线的方程为。6交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法例6已知经过点P（4，0）的直线，经过Q（-1，2）的直线为，若，求与交点S的轨迹方程。分析：设、的斜率为、，则可由可求之。解：设动点S的坐标为（x,y），设、的斜率为、， 由有， 得： 当或时式有解。 S的轨迹方程为：学生巩固练习 1 已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是( )A 圆B 椭圆 C 双曲线的一支D 抛物线2 设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( )A B C D 3 ABC中，A为动点，B、C为定点，B(,0),C(,0)，且满足条件sinCsinB=sinA,则动点A的轨迹方程为_ 4 高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_ 5 已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，O切直线l于点A，又过B、C作O异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程 6 双曲线=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1QA1P，A2QA2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程 7 已知双曲线=1(m0,n0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q (1)求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；(2)当mn时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率 8 已知椭圆=1(ab0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R (1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；(2)设点R形成的曲线为C，直线l y=k(x+a)与曲线C相交于A、B两点，当AOB的面积取得最大值时，求k的值 参考答案 1 解析 |PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆 答案 A2 解析 设交点P(x,y）,A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0)A1、P1、P共线，A2、P2、P共线，解得x0=答案 C3 解析 由sinCsinB=sinA,得cb=a,应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为 答案 4 解析 设P(x,y），依题意有,化简得P点轨迹方程为4x2+4y285x+100=0 答案 4x2+4y285x+100=05 解 设过B、C异于l的两切线分别切O于D、E两点，两切线交于点P 由切线的性质知 |BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为=1(y0)6 解 设P(x0,y0）(xa),Q(x,y) A1(a,0),A2(a,0) 由条件而点P(x0,y0)在双曲线上，b2x02a2y02=a2b2 即b2(x2)a2()2=a2b2化简得Q点的轨迹方程为 a2x2b2y2=a4(xa) 7 解 (1)设P点的坐标为(x1,y1)，则Q点坐标为(x1,y1),又有A1(m,0),A2(m,0),则A1P的方程为 y=A2Q的方程为 y= 得 y2= 又因点P在双曲线上，故代入并整理得=1 此即为M的轨迹方程 (2)当mn时，M的轨迹方程是椭圆 ()当mn时，焦点坐标为(,0)，准线方程为x=,离心率e=；()当mn时，焦点坐标为(0,),准线方程为y=,离心率e= 8 解 (1)点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，F2PR=QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因为l为F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存