高考数学大一轮总复习 第三章 三角函数、三角恒等变形、解三角形 3.7 解三角形应用举例课件 文 北师大版.ppt

第三章三角函数 三角恒等变形 解三角形 第七节解三角形应用举例 最新考纲能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 j基础知识自主学习 1 仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标视线在水平视线 时叫仰角 目标视线在水平视线 时叫俯角 如图 a 上方 下方 2 方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角 如b点的方位角为 如图 b 3 方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角 通常表达为北 南 偏东 西 度 4 坡角与坡度 c 1 坡角 坡面与水平面所成的二面角的度数 如图 角 为坡角 2 坡度 坡面的铅直高度与水平长度之比 如图 c i为坡度 坡度又称为坡比 解析错误 俯角是水平线与视线所成的角 2 方位角与方向角其实质是一样的 均是确定观察点与目标点之间的位置关系 解析正确 3 从a处望b处的仰角为 从b处望a处的俯角为 则 的关系为 180 解析错误 4 若点p在q的北偏东44 则q在p的东偏北46 解析错误 若p在q的北偏东44 则q在p的南偏西44 练一练 1 如图 设a b两点在河的两岸 一测量者在a的同侧 选定一点c 测出ac的距离为50m acb 45 cab 105 则a b两点的距离为 2 如图所示 已知两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离相等 灯塔a在观察站c的北偏东40 灯塔b在观察站c的南偏东60 则灯塔a位于灯塔b的 方向 北偏西10 3 一船自西向东航行 上午10时到达灯塔p的南偏西75 距塔68海里的m处 下午2时到达这座灯塔的东南方向的n处 则这只船航行的速度为 海里 小时 30 解析如图 在 abc中 abc 105 所以 acb 30 r热点命题深度剖析 例1 如图 要测量对岸a b两点之间的距离 选取相距km的c d两点 并测得 acb 75 bcd 45 adc 30 adb 45 求a b之间的距离 解 规律方法 求距离问题的注意事项 1 选定或确定要求解的三角形 即所求量所在的三角形 若其他量已知则直接解 若有未知量 则把未知量放在另一确定三角形中求解 2 确定用正弦定理还是余弦定理 如果都可用 就选择更便于计算的定理 变式训练1如图所示 从气球a上测得正前方的河流的两岸b c的俯角分别为75 30 此时气球的高是60m 则河流的宽度bc等于 解析如图 作ad bc 垂足为d 例2 2015 湖北卷 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到a处时测得公路北侧一山顶d在西偏北30 的方向上 行驶600m后到达b处 测得此山顶在西偏北75 的方向上 仰角为30 则此山的高度cd m 解析 如图所示 由已知得 bac 30 ab 600m ebc 75 cbd 30 规律方法 求解高度问题应注意 1 在测量高度时 要理解仰角 俯角的概念 仰角和俯角都是在同一铅垂面内 视线与水平线的夹角 2 准确理解题意 分清已知条件与所求 画出示意图 在实际问题中 可能会遇到空间与平面 地面 同时研究的问题 这时最好画两个图形 一个空间图形 一个平面图形 这样处理起来既清楚又不容易搞错 3 运用正 余弦定理 有序地解相关的三角形 逐步求解问题的答案 变式训练2如图 为测量山高mn 选择a和另一座山的山顶c为测量观测点 从a点测得m点的仰角 man 60 c点的仰角 cab 45 以及 mac 75 从c点测得 mca 60 已知山高bc 100m 则山高mn m 150 例3 某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在大海里航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位于港口o北偏西30 且与该港口相距20海里的a处 并正以30海里 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以v海里 小时的航行速度匀速行驶 经过t小时与轮船相遇 1 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 解法二 若相遇时小艇的航行距离最小 又轮船沿正东方向匀速行驶 则小艇航行方向为正北方向 设小艇与轮船在c处相遇 如图所示 2 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里 小时 试设计航行方案 即确定航行方向和航行速度的大小 使得小艇能以最短时间与轮船相遇 并说明理由 此时 在 oab中 有oa ob ab 20 故可设计航行方案如下 航行方向为北偏东30 航行速度为30海里 小时 这样 小艇能以最短时间与轮船相遇 规律方法 解决测量角度问题的注意事项 1 首先应明确方位角或方向角的含义 2 分析题意 分清已知与所求 再根据题意画出正确的示意图 这是最关键 最重要的一步 3 将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后 注意正 余弦定理的 联袂 使用 变式训练3如图所示 位于a处的信息中心获悉 在其正东方向相距40海里的b处有一艘渔船遇险 在原地等待营救 信息中心立即把消息告知在其南偏西30 相距20海里的c处的乙船 现乙船朝北偏东 的方向 即沿直线cb 前往b处救援 则cos 等于 s思想方法感悟提升 1个步骤 解三角形应用题的一般步骤 2种情形 解三角形应用题的两种情形 1 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解 2 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形 这时需作出这些三角形 先解够条件的三角形 然后逐步求解其他三角形 有时需设出未知量 从几个三角形中列出方程 组 解方程 组 得出