92 函数项级数.doc

9.2 函数项级数一、函数项级数的收敛域设函数列u(x)的每个函数都在数集A上有定义，将它们依次用加号连接起来，即，（1）就是数集A上的函数项级数。函数项级数（1）的前n项和 就是函数项级数（1）的n项部分和函数，简称部分和。 ，函数项级数（1）在处对应一个数项级数.(2)它的敛散性可用9.1关于数项级数敛散性的判别法判别。若级数（2）收敛，则称是函数项级数（1）的收敛点；若级数（2）发散，则称是函数项级数（1）的发散点。定义 函数项级数（1）在收敛点的集合，称为函数项级数(1)的收敛域。若收敛域是一个区间，则称此区间是函数项级数（1）的收敛区间。 显然，函数项级数（1）在收敛域的每个点都有和。于是，函数项级数（1）的和是定义在收敛域的的函数，设此函数是S（x）,即S(x)=S(x)或S（x）=,称S（x）是函数项级数（1）的收敛域的和函数。函数项级数(1)的和函数S（x）与它的n项部分和的差，记为R(x)，即R（x）=S(x)-S(x)=u(x)+u(x)+，称为函数项级数（1）的第n项余和。由（3）式知，对收敛域内任意x，有R(x)= S(x)-S（x）=0.例1 讨论函数项级数的收敛域. 解 函数项级数是几何级数，公比是x.当1时，函数项级数发散；当0, 0，NN(N取最小者)，N，有 =0，NN(N取最小者)，nN,有 =0，对区间I内不同的点x,各自存在相应的正整数N（取最小者），N，有 =N，有N,I,有0,NNN（通用），I,有 =， （9） 则称函数项级数在区间I一致收敛或一致收敛于和函数S（x）.不等式（9）可改写成 S（x）-S(x)N,任意一个部分和S的图像都位于这个带形区域之内，如果9.1若函数项级数在某个区间不存在通用的N，就是非一致收敛,现将一致收敛与非一致收敛列表对比如下: 函数项级数在区间I 一致收敛于S（x）0,NN,N ,I,有 0,NN,N ,I,有 例4 证明：函数项级数1） 在-1+,1-其中00,要使不等式 = =成立.从不等式.取N=.于是，0,N=N，nN，x-1+,1-,有N，x=1-（-1,1），有 =n (1-)1(因为（1-）=，所以nN,使n (1-)1).即函数项级数在（-1 ，1）非一致收敛. 请注意，这个函数项级数在（-1,1）非一致收敛，而在它的任意一个闭子区间-1+,1+(-1,1)都一致收敛.一般来说，若函数项级数在区间I上非一致收敛，而在I内任何一个闭子区间上都一致收敛，则称函数项级数在I内闭一致收敛三、一致收敛判别法讨论和函数的分析性质经常要判别函数项级数的一致收敛性.如果函数项级数的和函数或余和易于求得，判别它的一致收敛性可应用上述的一致收敛定义.有时虽然知道函数项级数在区间I收敛,但很难求得它的和函数或余和,这时要判别此函数项级数在区间I的一致收敛性就需要根据函数项级数自身的结构，找到判别一致收敛性的判别法.定理一(柯西一致收敛准则) 函数项级数在区间I一致收敛0,NN,N ,pN,xI,有 0,NN,N ,pN,xI,有.也有 0,NN,N ,pN,xI,有=0,NN,N ,pN,xI,有0, NN,nN,x=(0,+),有 u()=ne=ne1.于是,函数项级数在(0,+)上非一致收敛.定理1(M判别法) 有函数项级数,I是区间,若存在收敛的正项级数,N,xI,有 a,则函数项级数在区间I一致收敛.证明 已知正项级数收敛,根据柯西收敛准则(9.1定理1),即0,NN,N ,pN,有 a+ a+.+a.由已知条件, xI,有 +. a+ a+a0,pN,要使不等式 = =+ =+0, N,xA,有M,则称函数列u(x)在A一致有界.前面有判别变号级数条件收敛的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法,完全类似地有判别函数项级数一致收敛性的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法: 定理3(狄利克雷判别法) 若级数满足下面两个条件:1) 函数列a(x)对每个xI是单调的,且在区间I一致收敛于0;2) 函数项级数的部分和函数列B(x)在区间I一致有界.则函数列级数在区间I一致收敛.证明 已知函数列a(x)一致收敛于0，即0, NN,N, xI,有 0, N,xI,有 M.从而,有 = +2M. 根据阿贝尔变换的2)(8.3引理), xI,有2Ma(x).于是,0,NN,N ,pN,xI,有 2M,即函数项级数在区间I一致收敛.定理4(阿贝尔判别法) 若级数满足下面两个条件:1) 函数列a(x)队每个xI是单调的,且在区间I一致有界;2) 函数项级数在区间I一致收敛.则函数项级数在区间I一致收敛. 证明 不妨设函数列a(x)在区间I单调减少.已知它在区间I一致有界,即0,N,xI,有 M.有 Ma(x)a(x) a(x)-M.从而, xI,有 a(x)+Ma(x)+M a(x)+M0.又已知函数项级数在区间I一致收敛,即0，NN,N, xI,有 由阿贝尔变换的2)(8.3引理)即函数项级数在区间I一致收敛.已知函数项级数在区间I一致收敛(见练习题9.2(一)第四题);两个函数项级数在区间I都一致收敛,它们的”差”在区间I也一致收敛(见练习题9.2(一)第5题).因此,函数项级数= =-在区间I一致收敛.以上两个一致收敛的判别法(定理3于定理4)的条件互有强弱,与9.1的定理11与定理12非常