高中数学 第二章 数列 2.3.1 等比数列（一）课件 新人教B版必修5.ppt

第二章 数列 2 3等比数列2 3 1等比数列 一 学习目标 1 通过实例 理解等比数列的概念并学会简单应用 2 掌握等比中项的概念并会应用 3 掌握等比数列的通项公式了解其推导过程 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 下列判断正确的是 1 从第2项起 每一项与它前一项的差等同一个常数的数列是等差数列 2 从第2项起 每一项与它前一项的比等同一个常数的数列是等差数列 3 等差数列的公差d可正可负 且可以为零 4 在等差数列中 an am n m d n m n 1 3 4 预习导引 1 等比数列的概念如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的都等于 那么这个数列叫做等比数列 2 等比中项如果三个数a g b组成等比数列 则g叫做a与b的 根据定义得g2 ab g 只有同号的两个数才有等比中项 等比中项有两个 它们这一点与等差数列不同 互为相反数 比 同一个 常数q q 0 等比中项 3 等比数列的通项公式等比数列 an 的通项公式为 其中a1与均不为0 q an a1qn 1 要点一等比数列通项公式的基本量的求解例1在等比数列 an 中 1 a4 2 a7 8 求an 32 n 1 1 即26 n 20 n 6 方法二 a3 a6 q a2 a5 q 由a1q a1q4 18 知a1 32 由an a1qn 1 1 知n 6 2 a2 a5 18 a3 a6 9 an 1 求n 3 a3 2 a2 a4 求an 规律方法a1和q是等比数列的基本量 只要求出这两个基本量 其他量便可迎刃而解 此类问题求解的通法是根据条件 建立关于a1和q的方程 组 求出a1和q 当q 时 a1 16 当q 2时 a1 1 an 16 n 1或an 2n 1 2 在等比数列 an 中 已知a5 a1 15 a4 a2 6 求an 要点二等比中项的应用例2在等差数列 an 中 公差d 0 且a1 a3 a9成等比数列 则等于多少 解由题意知a3是a1和a9的等比中项 a a1a9 a1 2d 2 a1 a1 8d 得a1 d 规律方法由等比中项的定义可知 g2 ab g 这表明只有同号的两项才有等比中项 并且这两项的等比中项有两个 它们互为相反数 反之 若g2 ab 则 即a g b成等比数列 所以a g b成等比数列 g2 ab ab 0 要点三等比数列的判定例3数列 an 满足a1 1 且an 3an 1 2n 3 n 2 3 1 求a2 a3 并证明数列 an n 是等比数列 解a2 3a1 2 2 3 4 a3 3a2 2 3 3 15 下面证明 an n 是等比数列 又a1 1 2 an n 是以 2为首项 以3为公比的等比数列 2 求an 解由 1 知an n 2 3n 1 an n 2 3n 1 规律方法判断一个数列是否是等比数列的常用方法有 1 定义法 q q为常数且不为零 an 为等比数列 2 等比中项法 anan 2 n n 且an 0 an 为等比数列 3 通项公式法 an a1qn 1 a1 0且q 0 an 为等比数列 跟踪演练3已知数列 an 的前n项和sn 2an 1 求证 an 是等比数列 并求出通项公式 解 sn 2an 1 sn 1 2an 1 1 an 1 sn 1 sn 2an 1 1 2an 1 2an 1 2an an 1 2an 又 s1 2a1 1 a1 a1 1 0 又由an 1 2an知an 0 2 an 是等比数列 an 1 2n 1 2n 1 要点四由递推公式构造等比数列求通项例4已知数列 an 的前n项和为sn 数列 bn 中 b1 a1 bn an an 1 n 2 且an sn n 1 设cn an 1 求证 cn 是等比数列 证明 an sn n an 1 sn 1 n 1 得an 1 an an 1 1 2an 1 an 1 2 an 1 1 an 1 首项c1 a1 1 又a1 a1 1 2 求数列 bn 的通项公式 规律方法 1 已知数列的前n项和 或前n项和与通项的关系求通项 常用an与sn的关系求解 2 由递推关系an 1 aan b a b为常数 且a 0 a 1 求an时 由待定系数法设an 1 a an 可得 这样就构造了等比数列 an 1 在等比数列 an 中 a1 8 a4 64 则a3等于 a 16b 16或 16c 32d 32或 32解析由a4 a1q3 得q3 8 即q 2 所以a3 a1q2 8 4 32 c 1 2 3 4 5 2 若等比数列的首项为4 末项为128 公比为2 则这个数列的项数为 a 4b 6c 5d 32解析由等比数列的通项公式 得128 4 2n 1 2n 1 32 所以n 6 b 1 2 3 4 5 3 已知等比数列 an 满足a1 a2 3 a2 a3 6 则a7等于 a 64b 81c 128d 243解析 an 为等比数列 q 2 又a1 a2 3 a1 1 故a7 1 26 64 a 1 2 3 4 5 4 45和80的等比中项为 解析设45和80的等比中项为g 则g2 45 80 g 60 1 2 3 4 5 60或60 5 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18 求它的第1项与第2项 解设这个等比数列的第1项是a1 公比是q 那么 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 课堂小结1 等比数列定义的理解 1 由于等比数列的每一项都可能作分母 故每一项均不能为零 因此q也不可能为零 2 均为同一常数 由此体现了公比的意义 同时应注意分子 分母次序不能颠倒 3 如果一个数列不是从第2项起 而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数 那么这个数列不是等比数列 2 等比中项的理解 1 当a b同号时 a b的等比中项有两个 当a b异号时 没有等比中项 2 在一个等比数列中 从第2项起 每一项 有穷数列的末项除外 都是它的前一项与后一项的等比中项 3 a