高中数学竞赛资料-数论部分 (1).doc

初等数论简介绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。1 请看下面的例子：（1） 证明：对于同样的整数x和y，表达式2x+3y和9x+5y能同时被整除。(1894年首届匈牙利 数学竞赛第一题)（2） 设，证明是168的倍数。 具有什么性质的自然数，能使能整除？（1956年上海首届数学竞赛第一题）（3） 证明：对于任何正整数都是整数，且用3除时余2。（1956年北京、天津市首届数学竞赛第一题）（4） 证明：对任何自然数，分数不可约简。（1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题）（5） 令和分别表示正整数的最大公因数和最小公倍数，试证：（1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题）这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。2.再看以下统计数字：（1）世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛，从18941974年的222个试题中，数论题有41题，占。（2）世界上规模最大、规格最高的IMO（国际数学奥林匹克竞赛）的前20届120道试题中有数论13题，占10.8% 。这说明：数论题在命题者心目中总是占有一定的分量。如果将有一定“数论味”的计数型题目统计在内，那么比例还会高很多。3.请看近年来国内外重大竞赛中出现的数论题：(1)方程的整数解的个数是（ ）A、 0 B、1 C、3 D、无穷多 （2007全国初中联赛5）（2）已知都是正整数，试问关于的方程是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。 （2007全国初中联赛12）（3）是否存在正整数，使得？ 设是给定的正整数，是否存在正整数，使得？ （2007全国初中联赛14）（4）关于的方程的整数解得组数为（ ）A、2 B、3 C、4 D、无穷多 （2009全国初中联赛5）（5）已知是满足条件的五个不同的整数，若是关于的方程的整数根，则的值为 （2009全国初中联赛8） （6）已知正整数满足，且，求满足条件的所有可能的正整数的和。 （2009全国初中联赛12）（7）个正整数满足如下条件：；且中任意个不同的数的算术平均数都是正数，求的最大值。 （2009全国初中联赛14）(8)在一列数中，已知，且当时，（取整符号表示不超过实数a的最大整数，例如）则等于（ ）A、 1 B 、 2 C、 3 D、 4 （2010全国初中联赛4）（9）求满足的所有素数P和正整数m。 （2010全国初中联赛13）（10）从这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？ （2010全国初中联赛14）（11）设四位数满足，则这样的四位数的个数为 （2011全国初中联赛10）（12）已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求a+b+c的值 （2011全国初中联赛11）（13）若从中任取5个两两互素的不同的整数其中总有一个整数是素数，求n的最大值。 （2011全国初中联赛13）（14）把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：，例如，那么= （2007福建省高一数学竞赛12）（15）求最小的正整数n，使得集合的每一个n元子集中都有2个元素（可以相同），它们的和是2的幂。 （2007福建省高一数学竞赛14）（16）两条直角边长分别是整数a和b(其中b1）是素数（N*1）定理二：素数有无限多个。定理三：若N*是合数，P（P1）是N*的最小正因数，则以上的例子和定理分别刻画了素数的某些分布特征和判断素数的方法。定理四：若，P是素数，则P整除某个定理五：（唯一分解定理）每个大于1的整数，都可唯一地分解成素因数（不计因数的顺序）的积。推论：任一大于1的整数可以唯一分解成这里是相异的素数，是正整数。有时为了表述方便，允许，上式称为的标准分解式。例2、设是素数，求证：是2的非负整数次幂。定理六：若得标准分解式为，则，。这里， ，、例3、求证定理七：若的标准分解式为，则的一切正因数的个数，的一切正因数的和为。例4、证明形如的素数有无限个。哥德巴赫于1742年在和欧拉的通信中提出的猜想：1 每个大于5的偶数都是两个奇素数之和2 每个大于8的奇数都是三个奇素数之和1973年5月中国科学杂志刊出陈景润研究G氐猜想的结果：“任一充分大的偶数是一个素数和另一个素数的和，后者或为素数，或仅另两个素数的乘积。”此定理被简称为“1+2”当然离“1+1”还有一段距离，不过这已经是当今最优成果了。习题：1、 设是异于3的奇素数，求证2、 设是素数，且，求证3、 设整数都大于1，证明4、 求证：5、 设都是大于1，是素数，求证：，且是素数6、 从1到100这100个自然数中，任意选出51个数，求证其中至少有两个数，它们中的一个是另一个的倍数。7、 设，证明8、 证明：形如的素数有无限多个。9、 设，证明：在与之间至少有一个素数。10、设是表示由小到大排列的第个素数，证明同余定义 给定正整数m，如果用它除任意两个整数a,b，所得余数相同，就说a,b对于模m同余，记作。若所得余数不同，就说a,b对于模m不同余，记作。定理与性质 例1 正整数a能被9整除的充要条件是a的各个数码之和能被9整除。例2 设，求证：。例3 求正整数a能被7正处的充要条件。例4 设的各个数码之和为a，a的各个数码之和为b，求b的各个数码之和为c。例5 一环形公路上有几个汽车站，海拔高度只有5米和10米两种，若相邻两站的海拔高度相等，则称连接它们的公路是水平的；如果两相邻汽车站海拔高度不等，则称相连公路是有坡的。有一旅行者坐汽车环行东路一周，发现水平公路的段数与有坡公路的段数相等，求证4整除n 。例6 设，问：怎样的n使得。例7 求证：任何整数都不能满足方程。习题1. 设，求证：。2. 设，求证：。3. 设ABCDE是按逆时针方向排列的五角棋盘，从A沿逆时针方向移动棋子，第K次移动K步，证明无论移动多少次，C、E处永远不可能停留棋子。4. 设，P是素数，求证。5. 证明。6. 设，求证。7. 已知，求证n不能表为3个立方数的和。8. 已知，求证n不能表为3个平方数的和。9求出一个整数能被101（或37）整除的充要条件。10求下列各数的末两位数：和。11记，且，求a。12已知，求a、b、c。补充题：1. （1）有几个住鞥书，其积为n，其和为零。求证4 | n 。（2）设4 | n，求证：可以找出几个整数，使其积为n，其和为零。（十八届全苏中学生竞赛）2. 设a，b，c是三个互不相等的正整数，求证：在，三个数中，至少有一个数能被10整除。（86. 全国初中联赛，二试，四）3. 把19,20，79,80诸数连写成数A=1920217980，试证1980 | A。（全苏14届 1980.8.1）4. 试求所有能被11整除的三位数，且除得之商等于被除数中各数字的平方和。（二届IMO 1960）不定方程若方程或方程组中未知数的个数多于方程的个数，它们的解又限制为正整数、整数、有理数或其它类别的数，则称此方程或方程组为不定方程。不定方程常联系到一些有趣的问题。竞赛中也时有所见。例1 在等式中还原数学x, y, z。（1987年全俄中学生竞赛题）例2 解方程。（1978年广东省中学数学竞赛题）例3 求方程满足条件：的整数解。（1979年湖南省中学数学竞赛题）数论函数定义1 设x为任一实数，表示不超过x的最大整数。函数称数论函数，也称高斯函数、阶梯函数等。数论问题是竞赛中的热门课题，而则是热门中的热门。由定义，显然有；。定义2 称为x的小数部分，显然。例1 计算。例2 求。例3 解方程。例4 已知方程，求所有根的和。（1987年初中联考）习题1. 。2. 。3. 。（英斯科第20届奥林匹克数学竞赛题）有时也常令通过对的讨论来解题。例5 方程的实数解的个数是（ ）。（1985美国数学竞赛题）(A) 0 ;(B) 1 ;(C) 2 ;(D) 3 ;(E) 4 .例6 记表示不超过x的最大整数，设n是自然数，且，那么（ ）。（1986年全国初中联考）（A）I 0 ; （B）I N ; (B) M=N ; (C) MN ; (D) 以上答案都不对2设，那么的值是 3 找出一个实数x，满足； 证明，满足上述等式的x都不是有理数。4 设，计算和。（1968第十届IMO）5 设a , b为互素的正整数，求证：。6 求所有自然数n , 使得，这里表示不超过的最大整数，N是自然数集。（1991年中国数学奥林匹克）不定方程 若方程或方程组中未知数的个数多于方程的个数，它们的解又限制为正整数、整数、有理数或其它类别的数，则称此方程或方程组为不定方程。不定方程联系到一些有趣的问题。竞赛中也时有所见。例1在等式中还原数字x,y,z.(1987全俄中学生竞赛题)例2解方程：例3求方程满足条件：的整数解。（1979年湖南省中学数学竞赛题）线性不定方程 定理1 设，则线性不定方程有整数解的充要条件是。在有整数解的情形下，如果，是一组整数解，那么该方程的一切整数解（简称通解）可以写成例 4 求方程的整数解。例5 今有物，不知其数（百个以下）。三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问物几何？（该题目出自1600年前的孙子算经） “韩信点兵”或“秦王暗点兵”的歌诀：“三岁孩儿七十稀，五留廿一事尤奇，七度上元重相会，寒食清明便可知。”注：该诀出自宋朝周密，“上元”指15，“寒食清明”指105，每年冬至至次年清明正好105天。“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。”注：该诀出自明朝程大位算法统宗。定理2 勾股不定方程满足，的一切整数解可表示为，这里，中一个为奇数，另一个为偶数。例6 设，证明方程有正整数解。例7 证明不定方程没有正整数解。费马猜想：整数时，方程 无正整数解是数论中的一个著名的难题。1760年欧拉证明了n = 3 的情形。1828年勒让德余狄里赫勒各自证明了n = 5的情形。1840年拉梅证明n = 7的情形。库莫尔于1844年首创“理想数论”，并利用这个工具一举证明了n是小于100的奇素数但除去n=37,59,67的情形.1892年米利曼诺夫证明了n=3