高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.1 柯西不等式课件 北师大版选修45.ppt_第1页
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第二章几个重要的不等式 1柯西不等式 1 认识柯西不等式的几种简单形式 理解它们的几何意义 2 会证明一般形式的柯西不等式 并能利用柯西不等式证明一些简单问题 1 简单形式的柯西不等式 1 定理1 二维形式的柯西不等式的代数形式 对任意实数a b c d 有 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 当向量 a b 与向量 c d 共线时 等号成立 2 简单形式的柯西不等式的向量形式 设 a b 与 c d 是平面上任意两个向量 则 当向量 a b 与向量 c d 共线时 等号成立 答案 b 答案 b 2 一般形式的柯西不等式 1 定理2 2 推论 三维形式的柯西不等式 做一做2 1 已知x y z r 且x y z 1 则x2 y2 z2的最小值是 答案 b 做一做2 2 设a 1 0 2 b x y z 若x2 y2 z2 16 则a b的最大值为 解析 由题知 a b x 2z 由柯西不等式知 12 02 2 2 x2 y2 z2 x 0 2z 2 当且仅当向量a与b共线时等号成立 题型一 题型二 题型三 题型一利用柯西不等式证明不等式 反思为了利用柯西不等式 将2x y平方 这一运算技巧是证明不等式的关键 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 分析 如何构造两组数 利用柯西不等式是关键 题型一 题型二 题型三 反思在本题中 a b c的指数的变化是关键 要根据柯西不等式的需要进行适当的变形 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型二利用柯西不等式求最值 分析 根据柯西不等式的需要对式子进行变形 注意等价性 题型一 题型二 题型三 反思当式子中有根号 平方等形式时 经常用柯西不等式来解决 题型一 题型二 题型三 变式训练3 设a b r 且a2 b2 10 求3a b的最大值与最小值 解 利用柯西不等式得 3a b 2 a 3 b 1 2 a2 b2 32 12 10 10 100 即 3a b 2 100 3a b 10 10 3a b 10 当且仅当a 3b时等号成立 又a2 b2 10 a2 9 b2 1 当a 3 b 1时 3a b有最小值 10 当a 3 b 1时 3a b有最大值10 题型一 题型二 题型三 题型三柯西不等式的向量式的应用 反思应用柯西不等式的向量形式证明不等式 关键是构造出两个向量的坐标 题型一 题型二 题型三 1 2 3 4 5 答案 a 1 2 3 4 5 答案 b 1 2 3 4 5 答案 3 1 2 3 4 5 4设a 2 1 2 b 6 则a b的最小值为 此时b 解析 a b a b 18 a b 1
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