高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用 1.1.2 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用课件 北师大版选修23.ppt

第2课时分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用 1 进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理 2 能根据实际问题特征 正确选择计数原理解决实际问题 1 两计数原理的联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理 回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题 2 两计数原理的区别分类加法计数原理针对的是分类问题 其中各种方法相互独立 用其中任何一种方法都可以做完这件事 分类要做到不重不漏 分步乘法计数原理针对的是分步问题 各个步骤中的方法相互依存 只有各个步骤都完成才算做完这件事 分步要做到步骤完整 题型一 题型二 题型三 例1 高三年级的三个班到甲 乙 丙 丁四个工厂进行社会实践 其中工厂甲必须有班级去 每班去哪个工厂可自由选择 共有多少种分配方案 分析 可按去工厂甲的班级数分类讨论 也可用间接法求解 解 方法一 直接法 以甲工厂分配班级情况进行分类 共分为三类 第一类 三个班级都去甲工厂 此时分配方案只有1种情况 第二类 有两个班级去甲工厂 剩下的班级去另外三个工厂 共有3 3 9种分配方案 第三类 有一个班级去甲工厂 另外两个班级去其他三个工厂 共有3 3 3 27种分配方案 综上所述 共有1 9 27 37种不同的分配方案 题型一 题型二 题型三 方法二 间接法 先计算3个班自由选择去哪个工厂的总数 再扣除甲工厂无人去的情况 即4 4 4 3 3 3 37种方案 题型一 题型二 题型三 反思抽取与分配问题常见类型及解法 1 当问题中涉及对象数目较少时 一般选用列举法 树状图法 图表法等来解答 得出结论 2 当问题中涉及对象数目较大时 一般有两种方法 直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理 注意合理分步 准确分类 间接法 不管限制条件计算出所有的抽取方法数 然后减去不符合条件的抽取方法数 题型一 题型二 题型三 变式训练1 3个不同的小球放入5个不同的盒子 每个盒子至多放一个小球 共有多少种方法 解 以小球为研究对象 分三步来完成 第一步 放第一个小球有5种选择 第二步 放第二个小球有4种选择 第三步 放第三个小球有3种选择 根据分步乘法计数原理得 共有n 5 4 3 60种方法 题型一 题型二 题型三 例2 用0 1 2 3 4 5可以组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数 分析 因为组成的四位数是偶数 且个位数字的选择对千位数字有影响 所以应分成三类 个位数字为0 2或4 然后再对四位数的其他位分步进行选择 解 完成这件事可分为三类方法 第一类是个位数字为0的比2000大的四位偶数 它可以分三步去完成 第一步 选取千位上的数字 只有2 3 4 5可以选择 有4种选法 第二步 选取百位上的数字 除0和千位上已选定的数字以外 还有4个数字可供选择 有4种选法 题型一 题型二 题型三 第三步 选取十位上的数字 还有3种选法 依据分步乘法计数原理 这类数的个数为4 4 3 48 第二类是个位数字为2的比2000大的四位偶数 它可以分三步去完成 第一步 选取千位上的数字 除去2 1 0只有3个数字可以选择 有3种选法 第二步 选取百位上的数字 在去掉已经确定的首尾两数字之后 还有4个数字可供选择 有4种选法 第三步 选取十位上的数字 还有3种选法 依据分步乘法计数原理 这类数的个数为3 4 3 36 第三类是个位数字为4的比2000大的四位偶数 其方法步骤同第二类 对以上三类结论用分类加法计数原理 可得所求无重复数字且比2000大的四位偶数共有48 36 36 120个 题型一 题型二 题型三 反思1 对于组数问题 一般按特殊位置 一般是末位和首位 由谁占领分类 分类中再按特殊位置 或者特殊元素 优先的方法分步完成 如果正面分类较多 可采用间接法从反面求解 2 解决组数问题 应特别注意其限制条件 有些条件是隐藏的 要善于挖掘 排数时 要注意特殊元素 特殊位置优先的原则 题型一 题型二 题型三 变式训练2 用0 1 2 3 4五个数字 1 可以排出多少个三位数字的电话号码 2 可以排成多少个三位数 3 可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数 题型一 题型二 题型三 解 1 三位数字的电话号码 首位可以是0 数字也可以重复 每个位置都有5种排法 共有5 5 5 53 125种排法 2 三位数的首位不能为0 但可以有重复数字 首先考虑首位的排法 除0外共有4种方法 第二 三位可以排0 因此 共有4 5 5 100种排法 3 被2整除的数即偶数 末位数字可取0 2 4 因此 可以分两类 一类是末位数字是0 则有4 3 12种排法 一类是末位数字不是0 则末位有2种排法 即2或4 再排首位 因0不能在首位 所以有3种排法 十位有3种排法 因此有2 3 3 18种排法 因而有12 18 30种排法 即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数 题型一 题型二 题型三 例3 如图 要给地图a b c d四个区域分别涂上4种不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种 题型一 题型二 题型三 分析 可对四个区域逐一涂色 但要注意不相邻的区域可涂同一种颜色 也可按所用颜色的种数分类涂色 解 方法一 按a b c d的顺序分步涂色 第一步 涂a区域 有4种不同的涂法 第二步 涂b区域 从剩下的三种颜色中任选一种颜色 有3种不同的涂法 第三步 涂c区域 再从剩下的2种不同颜色中任选一种颜色 有2种不同的涂法 第四步 涂d区域 可分两类 一类d区域与a同色 另一类d区域与a不同色 共有1 1 2 种 涂法 题型一 题型二 题型三 根据分步乘法计数原理共有4 3 2 2 48种不同的涂法 方法二 按所用颜色的多少分类涂色 第一类 用三种颜色 有4 3 2 1 1 24种不同涂法 第二类 用四种颜色 有4 3 2 1 24种不同涂法 根据分类加法计数原理 共有24 24 48种不同涂法 题型一 题型二 题型三 反思求解涂色 种植 问题一般是直接利用两个计数原理求解 常用方法有 1 按区域的不同以区域为主分步计数 用分步乘法计数原理分析 2 以颜色 种植作物 为主分类讨论 适用于 区域 点 线段 问题 用分类加法计数原理分析 题型一 题型二 题型三 变式训练3 从黄瓜 白菜 油菜 扁豆4种蔬菜品种中选出3种 分别种在不同土质的三块土地上 其中黄瓜必须种植 求有多少种不同的种植方法 解 方法一 直接法 若黄瓜种在第一块土地上 则有3 2 1 6种不同种植方法 同理 黄瓜种在第二块 第三块土地上 均有3 2 1 6种不同种植方法 故共有6 3 18种不同的种植方法 方法二 间接法 从4种蔬菜中选出3种 种在三块地上 有4 3 2 24种 其中不种黄瓜有3 2 1 6种 故共有24 6 18种不同种植方法 1 2 3 4 5 1 由数字1 2 3 4组成的三位数中 各位数字按严格递增 如 134 或严格递减 如 421 顺序排列的数的个数是 a 4b 8c 16d 24解析 由题意分析知 严格递增的三位数只要从4个数中任取3个 共有4种取法 同理严格递减的三位数也有4个 所以符合条件的数有4 4 8个 答案 b 1 2 3 4 5 2 某年级要从3名男生 2名女生中选派3人参加某次社区服务 如果要求至少有1名女生 那么不同的选派方案有 a 6种b 7种c 8种d 9种解析 可按女生人数分类 若选派一名女生 有2 3 6种 若选派2名女生 则有3种 由分类加法计数原理 共有9种不同的选派方法 答案 d 1 2 3 4 5 3 从1 3 5 7 9这五个数中每次取出两个不同的数分别为a b 共可得到lga lgb的不同值的个数为 解析 先取a有5种取法 再取b有4种取法 所以共有5 4 20种取法 其a 1 b 3与a 3 b 9时值相同 a 3 b 1与a 9 b 3时值相同 所以共可得到不同值的个数为20 2 18 答案 18 1 2 3 4 5 4 将3种作物种植在如图所示的5块试验田里 每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物 不同的种植方法共有种 以数字作答 解析 先种第一块地共有3种方法 则后边每块地都有2种种植方法 所以共有3 2 2 2 2 48种方法 这些种法中包括只种了2种作物的情况 如果种两种作物 先从3种作物中选出2种 共有3种选法 然后种在5块试验田内 有2 1 1 1 1 2种方法 所以种两种作物时 共有3 2 6种种法 综上 共有48 6 42种不同的种植方法 答案 42 1 2 3 4 5 5 用6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报 板报设计如图所示 要求相邻区域不能用同一