电磁场与天线练习题(参考答案) (1).docVIP

电磁场与天线A练习题（参考答案-2015.12）严禁带入考场！ 无源第12章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律不一定1. 已知矢量场， 则 ，矢量场为 场。为零，即一个非零矢量场不可能既是无源场也是无旋场2. 若在一非零矢量场（场矢量为）中任取一点皆有，则该矢量场中任一点 。无旋无源3. 根据亥姆霍兹定理，当矢量场的源分布在有限大空间时，若在无限大空间唯一地确定一个该矢量场，则必须同时给定该场矢量的 及 。闭合有向4. 在矢量场空间任取一闭合曲面S，若总有，则表示该矢量场是 场，其矢量线一定是 曲线。5. 在矢量场中任取一闭合曲线l，若总有，则在该矢量场中任一点上 ，表示该矢量场是 场。变化的电场可以激发旋窝磁场6. 在无源区， Maxwell方程表明时变电磁场中 。变化的磁场可以激发旋窝电场7. Maxwell方程表明时变电磁场中 。8. 位于真空中的理想导体表面电场强度为，则理想导体表面面电荷密度 。ab(第8题图)9. 如图为标量场u在某平面上的等位线，a、b、c是其与直线l的三个交点，则在a、b、c三点上最大的是 点，最小的是 点。(第9题图)10. 图示为某平面区域内的磁力线，a、b、c是直线与矢量线的三个交点，则在该三点上磁感应强度的模B大小关系为：（A）。（B）。（C）。（D）。11. 设理想导体的表面A的电场强度为、磁场强度为，则（A）、皆与A垂直。（B）与A垂直，与A平行。（C）与A平行，与A垂直。（D） 、皆与A平行。 12. 两种不同的理想介质的交界面上，（A）（B）（C）（D）13. 设自由真空区域电场强度，其中、为常数。则空间位移电流密度（A/m2）为：（A） （B）（C） （D） 14. 已知无限大空间的相对介电常数为，电场强度，其中、为常数。则处电荷体密度为：（A） （B） （C） （D） 15. 已知半径为R0球面内外为真空，电场强度分布为求：（1）常数B；（2）球面上的面电荷密度及总电量；（3）球面内外的体电荷密度。Sol. （1）球面上由边界条件 得：（2）由边界条件得球面上： 面电荷密度总电量 （3）由得： 即空间电荷只分布在球面上。16. 已知半径为R0、磁导率为m 的球体，其内外恒定磁场的磁场强度分布为其中、为待定常数，球外为真空。求（1）常数、；（2）球面上的面电流密度。Sol. 球面上（r=R0）：为法向分量；为法向分量 （1）在空间应用。由于，为常数，则，即球面上由边界条件得： 即（2）球面上由边界条件，（即球内为2、球外为1）得第3章 静电场及其边值问题的解法1. 静电场中电位与电场强度的关系为 ；在两种不同的电介质（介电常数分别为和）的分界面上，电位满足的边界条件为 。无旋2. 设无限大真空区域自由电荷体密度为，则静电场： ， ，即表示静电场的矢量场是有源场，但是 场。3. 若直角坐标系下静电场中M点（1，1，1）的电场强度，则在该点上电位（1）变化最快方向的单位矢量为 ； （2）最大空间变化率为 ；（3）沿该点位置矢量方向上的空间变化率为 。4. 已知静电场的电位分布，则空间电荷体密度 。5. 介电常数为e 的线性、各向同性的媒质中的静电场储能密度为 。法向切向6. 对于两种不同电介质的分界面，电场强度的 分量及电位移的 分量总是连续的。(第7题图)7. 如图，、分别为两种电介质内静电场在界面上的电场强度，则 ， 。8. 理想导体与电介质的界面上，表面自由电荷面密度与电位沿其法向的方（第9题图）向导数的关系为 。9. 如右图所示矩形区域（尺寸为）为自由真空，则 （1）内部电位所满足的电位方程为 ；（2） 在运用分离变量法求解电位时，该边值问题的通解为 ，其中分离常数 ， 。（第10题图）10. 如图，有一边长分别为a、b、c的长方体形金属盒。使其中一面（图中阴影面，与其他五个面绝缘）电位为一常数，其他五个面电位为零。设盒内为自由真空区域，则该盒内电位边值问题的通解为： 。（第11题图）11. 右图中点19为采用有限差分法求解无源区的二维狄利克雷边值问题时等间距剖分所得到的部分节点，其电位分别设为、，若，则可以断定 。12. 如图，两块位于x = 0 和 x = d处无限大导体平板的电位分别为0、U0，其内部充满体密度 的电荷，其中为内部介电常数。试计算（1） 0 x d区域的电位及电场强度；（2）x = 0处导体平板的表面电荷密度。（第12题图）Sol. 为一维边值问题：边界条件：， （1）直接积分得：，代入边界条件得，（2）由得：13. 如图，在无限大真空中，平面x = -d与平面x = d间充满电荷体密度为的电荷，式中为常数（设其中介电常数为）。若令处，电位，试计算平层内外电位和电场强度E分布。Sol. （1）平层内：由对称性分析可知电位，并满足： 或 （第13题图）积分得：则电场强度由 由对称性可知 平层内：，（2）平层外：应用边界条件：，或得： 14. 如图，图(a)为一无限大理想导体平面上有一半球形凸起；图(b)为两块相互垂直的半无限大理想导体平面间有一球形凸起。设两种情况下球形凸起的球心都在坐标原点上，理想导体都接地。若在图示位置上放置一点电荷q0，则利用镜像法（1）求出各镜像电荷的电量、符号及位置，并在图中标出；（2）写出理想导体以外空间各点的电位分布。第14题图 (a)第14题图 (b)Sol. 图(a) 镜像电荷：，位置镜像电荷：，位置镜像电荷：，位置电位：其中分别为场点P到点电荷的距离。图(b) ，位置坐标；，位置坐标，位置坐标；，位置坐标，位置坐标；，位置坐标，位置坐标电位：其中分别为场点P(x, y, z)到点电荷的距离。15. 已知接地导体球半径为，球外为真空。如图，以球心为坐标原点建立直角坐标系，在（2a，0，0）、（0，2a，0）处分别放置点电荷+q、-q 。利用镜像法求（1）镜像电荷的位置及电量大小；（2）球外空间电位。（3）若导体球不接地，其电位为，则结果又如何？（第15题图） Sol. （1）引入两个镜像电荷：，位置，位置（2）（略）其中 ， ，（3） 若导体的电位为，则除了像(1)中那样引入两个镜像电荷外，在球心O处还必须放置一点电荷，使得，从而求得，则球外空间电位为：其中，16. 如图所示，两块半无限大相互垂直的接地导体平面，在其平分线上放置一点电荷q0，求（1）各镜像电荷的位置及电量；（2）两块导体间的电位分布。 （第16题图） Sol. （1），位置 ，位置 ，位置（2）（略）其中： ，第4章 恒定电场与恒定磁场体内表面1. 线性和各项同性的均匀导电媒质内 ，即净余电荷不能分布于 ，而只能分布在其 上。2. 导电媒质中的电流为恒定电流的条件为： 。3. 在电导率分别为和的导电媒质分界面上电流密度的法向分量分别为、， 电场强度的法向分量分别为、，则边界条件可写为： 或 。若边界上两侧电位分别为、，则边界条件也可写为： 、 。4. 在电导率为s 的导电媒质中，功率损耗密度pc与电场强度大小E的关系为 。5. 因为恒定磁场的矢量场为无源场，即 ，所以对矢量场来说可以按 关系引入矢量磁位，且所满足的泊松方程为 。6. 已知平板电容器两极间距离为、电位差为。若中间充满的介质有漏电现象，设介质的电导率为，则两极间的电流密度的大小为 。7. 已知恒定电流分布空间的矢量磁位为：，C为常数，且满足库仑规范。设空间磁导率为。求（1）常数C ；（2）电流密度；（3）磁感应强度。（直角坐标系中： ）Sol. (1) 库仑规范：(2) 由，得：(3) （第8题图）8. 一横截面为正方形的扇形均匀导电媒质，其内、外半径分别为a 、2a ，电导率为s 。如图建立圆柱坐标，若电位（常量）及。求导电媒质的（1）电位分布；（2）恒定电场的电场强度及电流密度矢量；（3）直流电阻R 。Sol. 由边界条件可知，导电媒质上电位仅与坐标有关，即（1） 由及得：（2） （） 直流电阻：（第9题图）9. 一横截面为正方形的半圆形均匀导电媒质，其内、外半径分别为a 、2a，电导率为s 。如图建立圆柱坐标，若电位（常量）及。求导电媒质的（1）电位分布；（2）恒定电场的电场强度及电流密度矢量；（3）直流电阻R 。Sol. 由边界条件可知，导电媒质上电位仅与坐标有关，即（1） 由及得：（2） 直流电阻：第5章电磁波的辐射垂直通过单位面积的电磁功率1. 在特征参数为（，）的媒质中存在角频率为的时谐电磁场。在无源区，若已知电场强度，则磁场强度 ； 若已知磁场强度，则电场强度 。2. 坡印亭矢量的物理意义为 ，瞬时表示式是 ，时谐场中平均坡印亭矢量 。3. 坡印廷定理（ ）中各项的物理意义是什么？答：-单位时间内V空间减少的电磁能量； -单位时间内V空间的热能损耗； -单位时间内从V空间表面S流出的电磁能量4. 对媒质（）中的时谐电磁场，若已知复矢量磁位和复标量电位，则场强可用位函数表示为： ； 。（第6题图）5. 已知某一理想介质中时谐电磁场的位移电流复矢量为，其中为电磁波的角频率，a、b、J0皆为常数。则该理想介质中位移电流复矢量 。b6. 图示为两种不同的线天线的方向图，设相应的半功率张角分别为、，则和的大小关系为： ，功率辐射方向性较强的是 。 7. 已知某一理想介质中时谐电磁场的角频率为，位移电流复矢量为 ，a、b、J0皆为常数。则电场强度复矢量为（A）（B）（C）（D）8. 电偶极子天线的功率分布与的关系为 。(a) (b) (c) (d) 9. 自由空间的原点处的场源在时刻发生变化，此变化将在 时刻影响到处的位函数和。（a） ; （b）; (c) ; (d) 任意10. 在球坐标系中，电偶极子的辐射场（远区场）的空间分布与坐标的关系是 垂直（a） （b） (c) (d) 非均匀（第12题图）11. 无界真空中，电偶极子在远区场所辐射的电磁波的电场强度和磁场强度方向相互 ，相位差为 ，是 球面波，且为TEM波。12. 如图所示为对称天线的E面方向图，则下列方向应为场强辐射的最大方向：(A) 。(B) 。(C) (D) 13. 试由下列时谐场的场量求相应的复振幅矢量或瞬时值矢量：(1)，为角频率，、为正实数(2) 为实常数(3)，角频率为Sol. （1） （2） （3）14. 已知无限大真空中电磁波的磁场强度瞬时值为，其中w 为电磁波的角频率。试求：（1）；（2）及；（3）平均坡印廷矢量。Sol. （1） 该波沿+x方向传播；，传播方向（2）该波为非均匀平面波。由时谐场的Maxwell方程得：（可知该波的电场强度与波的传播方向垂直，而磁场强度不与波的传播方向垂直，故为TE波）平均坡印廷矢量为：15. 已知真空中时变场的矢量磁位为求：(1) 复矢量磁位；(2) 电场强度和磁场强度；(3) 坡印廷矢量及其平均值。 Sol. （1） （2）由得：磁场强度的瞬时值：电场强度复矢量为： （方法二：因该波为均匀平面波，且沿+z方向传播，则）电场强度的瞬时值为：（3） 坡印廷矢量为：平均坡印廷矢量为：第6章、均匀平面波的传播相同1. 两个同频率、同方向传播、极化方向相互垂直的线极化波的合成波为圆极化波， 则它们的振幅 ，相位相差为 。相互垂直2. 在无限大的无损耗的均匀媒质中，时谐电磁场的磁场满足的亥姆霍兹方程为，其中 。相同垂直3. 在无界理想介质中传播的均匀平面波，其电场强度与磁场强度的方向 ，并且都与波的传播方向 ，且在时间上两者相位 。相等垂直相互垂直4. 在无界导电媒质中均匀平面波沿+z方向传播，则其电场强度与磁场强度的振幅将按 规律衰减，但两者方向仍然 ，并且都与波的传播方向 。5. 均匀平面波垂直入射到理想导体表面上，反射波电场与入射波电场的振幅 ，在其表面上入射波与反射波的位相差为 。6. 均匀平面波从空气垂直入射到无损耗媒质表面上，则电场反射系数为 。7. 均匀平面波电场方向的单位矢量、磁场方向的单位矢量以及传播方向的单位矢量三者满足的关系是 。色散或频散不相等8. 导电媒质（损耗媒质）的本征阻抗为复数，表明导电媒质中任意一点的电场强度与磁场强度在时间上相位 ，即随时间变化不同步。损耗媒质中不同频率的波其相速度亦不同，因此损耗媒质又被称为 媒质。设海水的衰减常数为，则电磁波在海水中的穿透深度为 ，在此深度上电场的振幅将变为进入海水前的 倍。9. 在良导体中，均匀平面波的穿透深度为 。（A） （B） (C) (D) 10. 在无源的真空中，已知均匀平面波的和，其中和为常矢量，则必有(A) ; (B) ; (C) ; (D)11. 以下关于良导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是(A) 电场和磁场同相。(B) 电场和磁场反相。 (C) 振幅不变。(D) 振幅衰减。12. 一均匀平面波垂直入射至导电媒质中并在其中传播，则（A）不再是均匀平面波。 （B）空间各点电磁场振幅不变（C）电场和磁场不同相。 （D）传播特性与波的频率无关。13. 下列电场强度所对应的电磁波为线极化均匀平面电磁波的是（A）（B）（C）（D）14. 已知空气中存在电磁波的电场强度为。试问：此波是否为均匀平面波？是否为线极化波？传播方向是什么？求此波的频率、波长、相速以及对应的磁场强度。Sol. 均匀平面波是指在与电磁波传播方向相垂直的无限大平面上场强幅度、相位和方向均相同的电磁波。由电场强度表达式可知：该波为“线极化非均匀平面波”，并且沿-z方向传播。由电场强度瞬时式可反推其复矢量：由时间相位： 波的频率：波数：波长：相速：磁场强度：（因为是非均匀平面波，所以不能使用来计算磁场强度复矢量）则磁场强度瞬时值为：式中15. 在无界理想介质中，均匀平面波的磁场强度为，为实常数。已知介质的相对磁导率，求波的传播方向、相对介电常数及场强、。Sol. 根据电场的瞬时表达式可知该波沿+z方向传播，且，则由电场强度的瞬时式可得其复矢量为：波阻抗为，则磁场强度复矢量为磁场强度瞬时值：16. 已知无限大均匀导电媒质中的电磁波为：，其中、均为已知实常数。（1）指出波的传播方向；（2）求场强复矢量、；（3）求平均坡印廷矢量；（4）求该导电媒质的波阻抗。Sol. （1）由场强表达式中的相位可知：该均匀平面波沿+z方向传播。（2） （3）（4）17. 判断下列各电场强度所对应电磁波的传播方向和极化方式。(1). (2). (3). (4). Sol. (1). ，沿+x方向传播，为左旋圆极化波。(2). 沿+y方向传播，为线极化波。(3). ，该波沿方向传播，为线极化非均匀平面波。(4). ，沿+z方向传播，为右旋圆极化波。18. 线极化均匀平面波由空气向理想介质(，)平面垂直入射，已知分界面上，。试求：(1) 理想介质的；(2) 反射系数、透射系数及空气中的驻波比；(3) ，；，；，的表达式。Sol. (1) 由波阻抗定义可知，即、为透射波在分界面上的振幅。则：，(2) ，则垂直入射时反射系数：透射系数：，或 因此驻波比为：(3) 入射波复矢量为反射波复矢量为透射波复矢量为根据题意， ，为分界面上透射波的振幅，则，即，即。因此，入射波、反射波和透射波分别为其中，, 19. 线极化均匀平面波(频率)由理想介质(，)垂直入射到空气。以分界面为xoy平面，入射波的传播方向为+z方向。已知入射波和反射波的电场强度分别为、，为待定常数。求（1）反射系数、透射系数、驻波比、理想介质的；（2）待定常数；（3）透射波的电场强度复矢量。Sol. (1) 由题意可知处入射波、反射波的电场强度的振幅：，由反射系数定义可知：而，透射方为空气，即得，又透射系数：（或由）驻波比