高三数学第二轮函数性质学案

2006届高三数学第二轮复习函数性质学案一、考试要求：1了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。2从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法3培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力 二 考点扫描1、奇偶性判断： 1.1确定函数的奇偶性，一般看：定义域是否关于原点对称看f(x)与f(-x)的关系。常用的方法有：(1)利用函数奇偶性定义判断； (2)用求和(差)法判断，即看f(-x)f(x)与0的关系；(3)用求商法判断，即看f(-x)f(x)与1的关系。1.2一般性质 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称， y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称, 偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同， 偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数， 若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和 奇奇=奇 偶偶=偶 奇奇=偶 偶偶=偶 奇偶=奇2、单调性2.1判断函数单调性（求单调区间）的方法：（1）从定义入手；（2）从导数入手；（3）从图象入手；（4）从熟悉的函数入手（5）从复合函数的单调性规律入手。 注：先求函数的定义域2.2、函数单调性的证明：定义法；导数法。2.3、一般规律（1）若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数； （2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数；（3）互为反函数的两个函数有相同的单调性； （4）单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”。（5）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性； （6）单调性是函数在某一区间的“整体”性质，因此定义中的x1、x2具有任意性，不能用特殊值代替。若求单调区间则应求“极大”区间。3、抽象函数、函数对称性与周期性的几个结论：周期性：若存在常数T(T0)，使对定义域内任意x都有f(x+T)f(x),则f(x)叫周期函数，符合条件的最小正数T叫f(x)的最小正周期。y=f(x)的定义域为R，满足条件f(a+x)=f(bx)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=对称；定义在R上的函数y=f(x)对定义域内任意x满足条件f(x)=2bf(2ax)，则y=f(x)关于点(a,b)对称；若y=f(x)既关于直线x=a对称，又关于x=b（ab）对称，则y=f(x)一定是周期函数，且T=2|ab|是它的一个周期； 函数f(x)在R上单调递增，若f(a)f(b)，则ab;函数f(x)在R上单调递减，若f(a)f(b)，则ab;f(x+a)=f(x) (a0)T=a； f(x+a)=f(xb)T=a+b； f(x)关于直线x=a对称，且为偶函数T=2a f(x-a)=f(x+a) (a0)T=2a； f(x-a)= -f(x) (a0)T=2a； f(x-a)= -(a0)T=2a；4. 复合函数. y=fg(x)是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的， 1)函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域； (2)单调性规律：同增异减 ；3）奇偶性规律：:若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数；若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数；若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数。三小题热身1下面四个结论：偶函数的图象一定与y轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于y轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR)，其中正确命题的个数是 （ ）A1 B 2 不 C3 D42判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)lg(-x); (2)f(x)x; (3)f(x)+ (4)f(x)+3求函数的单调区间.4判断的奇偶性四典型例题 例1已知g(x)是奇函数，求f(3)例2已知函数f(x)，当x0时，f(x)=x2+2x-1若f(x)为R上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由。若f(x)为R上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由。例3（1）若y=log(2-ax)在0，1上是x的减函数，则a的取值范围是（ ）A(0，1) B(1，2) C(0，2) D2，+)（2）是否存在实数a，使得f(x)=loga(ax在区间2，4上是增函数？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由。例4已知函数.(1) 试确定函数的单调区间,并证明你的结论;(2) 若1, 1, 证明: 例5(2005广东理科卷19)设函数，且在闭区间0，7上，只有（）试判断函数的奇偶性；（）试求方程在闭区间2005，2005上的根的个数，并证明你的结论. 五强化训练1.（2002河南、广西、广东7）函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（ ）A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a2+b2=02.（1996上海文，6）若y=f（x）是定义在R上的函数，则y=f（x）为奇函数的一个充要条件为（ ）A.f（x）=0； B.对任意xR，f（x）=0都成立C.存在某x0R，使得f（x0）+f（x0）=0 D.对任意的xR，f（x）+f（x）=0都成立3(2005福建卷)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ） A2 B3 C4 D54已知函数是定义在实数集上的奇函数，求函数的解析式。5(2004.全国)已知函数（ ）AB C D 6（05天津）设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_.7定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，yR，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(0)0求证：f(0)=1求证：y=f(x)是偶函数8（理科）已知函数(1) 求证: 函数是偶函数;(2) 判断函数分别在区间、上的单调性, 并加以证明;(3) 若, 求证: .9（理科）函数在上是增函数，求的取值范围江苏省赣马高级中学高三数学函数性质作业1(2005年高考江西卷理13文13)若函数是奇函数，则a= 2（2004宁夏）设函数为奇函数，则（） A0 B1 C D53（2004福建）定义在R上的偶函数满足，当时， 则（ ） Af(sin)f(cos1) Cf(cos)f(sin2)4（2004天津12）定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，则的值为（ ）A B C D 5（2004湖南）若与在区间上都是减函数，则的值范围是（ ） A B C（0，1）D6（2004湖北）函数上的最大值和最小值之和为a，则a的值为（ ）A B C2 D47 (2005年高考上海卷理13文13)若函数，则该函数在上是（ ）A单调递减无最小值 B单调递减有最小值 C单调递增无最大值 D单调递增有最大值8设f（x）的定义域为关于坐标原点对称的区域，则f（0）0是f（x）为奇函数的（）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件9设f（x），则f（0）0是f（x）为奇函数的 （）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件10函数是奇函数的充要条件是( )Aab=0 Ba+b=0 Ca=b Da2+b2=011 的递增区间是_。12函数 （ ）（A）是奇函数，不是偶函数 （B）是偶函数，不是奇函数（C）既不是偶函数，也不是奇函数 （D）既是偶函数，又是奇函数 13定义在R上的函数y=f(x)，对任意x1，x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，判断函数y=f(x)的奇偶性并证明。14(2005浙江卷)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x22x()求函数g(x)的解析式； ()解不等式g(x)f(x)|x1|；()若h(x)g(x)f(x)1在1，1上是增函数，求实数的取值范围14已知函数的定义域为R.(1) 当时, 求的单调递增区间;(2) 设, 若为偶函数, 求的值.湖北省黄冈中学2006届高三第二轮复习数学第函数学案一、考试要求：1了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。2从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法3培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力 二 考点扫描1、奇偶性判断： 1.1确定函数的奇偶性，一般看：定义域是否关于原点对称看f(x)与f(-x)的关系。常用的方法有：(1)利用函数奇偶性定义判断； (2)用求和(差)法判断，即看f(-x)f(x)与0的关系；(3)用求商法判断，即看f(-x)f(x)与1的关系。1.2一般性质 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称， y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关原点对称, 偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同， 偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数， 若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和 奇奇=奇 偶偶=偶 奇奇=偶 偶偶=偶 奇偶=奇2、单调性2.1判断函数单调性（求单调区间）的方法：（1）从定义入手；（2）从导数入手；（3）从图象入手；（4）从熟悉的函数入手（5）从复合函数的单调性规律入手。 注：先求函数的定义域2.2、函数单调性的证明：定义法；导数法。2.3、一般规律（1）若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数； （2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数；（3）互为反函数的两个函数有相同的单调性； （4）单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”。（5）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性； （6）单调性是函数在某一区间的“整体”性质，因此定义中的x1、x2具有任意性，不能用特殊值代替。若求单调区间则应求“极大”区间。3、抽象函数、函数对称性与周期性的几个结论：周期性：若存在常数T(T0)，使对定义域内任意x都有f(x+T)f(x),则f(x)叫周期函数，符合条件的最小正数T叫f(x)的最小正周期。y=f(x)的定义域为R，满足条件f(a+x)=f(bx)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=对称；定义在R上的函数y=f(x)对定义域内任意x满足条件f(x)=2bf(2ax)，则y=f(x)关于点(a,b)对称；若y=f(x)既关于直线x=a对称，又关于x=b（ab）对称，则y=f(x)一定是周期函数，且T=2|ab|是它的一个周期； 函数f(x)在R上单调递增，若f(a)f(b)，则ab;函数f(x)在R上单调递减，若f(a)f(b)，则ab;f(x+a)=f(x) (a0)T=a； f(x+a)=f(xb)T=a+b； f(x)关于直线x=a对称，且为偶函数T=2a f(x-a)=f(x+a) (a0)T=2a； f(x-a)= -f(x) (a0)T=2a； f(x-a)= -(a0)T=2a；4. 复合函数. y=fg(x)是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的， 1)函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域； (2)单调性规律：同增异减 ；3）奇偶性规律：:若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数；若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数；若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数。三小题热身1下面四个结论：偶函数的图象一定与y轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于y轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR)，其中正确命题的个数是 （ ）A1 B 2 不 C3 D4分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此正确，错误奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此不正确若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定xR，如例1中的(3)，故错误，选A说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)lg(-x); (2)f(x)x; (3)f(x)+ (4)f(x)+解：(1)此函数的定义域为R.f(-x)+f(x)lg(+x)+lg(-x)lg10f(-x)-f(x)，即f(x)是奇函数。(2)此函数定义域为xxR，且x0，它关于原点对称。f(-x)-x-xxf(x)f(x)是偶函数。评述：对于判断奇偶性问题应注意：x为定义域内任意值，因此定义域本身应关于原点对称，这是奇偶性问题的必要条件.本题通过确定函数奇偶性，训练学生运算能力，使之具备运算“准确、熟练、快捷、合理”的能力。 4求函数的单调区间.解析：对数的真数大于零，单调减，内层函数在上单调增，在上单调减。所以，复合函数的单调增区间为：单调减区间为，5判断的奇偶性当时，则，当时，则，综上所述，对任意的，都有，为奇函数四典型例题 例1已知g(x)是奇函数，求f(3)简解： 相加得：例2已知函数f(x)，当x0时，虽可确定f(x)=x2-2x-1，但x=0时，f(0)取任意实数都可以。例3（1）若y=log(2-ax)在0，1上是x的减函数，则a的取值范围是（ ）A(0，1) B(1，2) C(0，2) D2，+)本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：使log(2-ax)有意义，即a0且a1，2-ax0使log(2-ax)在0，1上是x的减函数由于所给函数可分解为y=logu，u=2-ax，其中u=2-ax在a0时为减函数，所以必须a1；0，1必须是y=log(2-ax)定义域的子集解法一：因为f(x)在0，1上是x的减函数，所以f(0)f(1)，即log2log(2-a)解法二：由对数概念显然有a0且a1，因此u=2-ax在0，1上是减函数，y= logu应为增函数，得a1，排除A，C，再令故排除D，选B说明：本题为1995年全国高考试题，综合了多个知识点，无论是用直接法，还是用排除法都需要概念清楚，推理正确（2）是否存在实数a，使得f(x)=loga(ax在区间2，4上是增函数？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由。解：设，则f(x)=loga(at2t)，由对数函数定义，at2t0a0，t0，t，又知（）是以t= 为对称轴的抛物线，且，因而g(t)在定义区间上是增函数，要使原函数在2，4上递增，应有，解之得：a1，存在实数a，只须a1，即满足条件。点评：本题的易错点：一是不会对复合函数单调性进行讨论，二是忽视真数在2，4上恒大于零。例2已知函数.(1) 试确定函数的单调区间,并证明你的结论;(2) 若1, 1, 证明: 解: (1) 函数在区间上是增函数, 函数在区间上是减函数.(1分)下面证明: 设, 则,(3分), 同理. 又, .(4分) 当时, , .函数在区间上是增函数.当时, , .函数在区间上是减函数.综上所述: 函数在区间上是增函数, 在区间上是减函数. (6分)(2) 由可知,函数在区间上减函数,(8分)又在函数中, 3, ., , (10分), . .(12分) 例5(2005广东理科卷19)设函数，且在闭区间0，7上，只有（）试判断函数的奇偶性； （）试求方程在闭区间2005，2005上的根的个数，并证明你的结论.解: (I)由于在闭区间0，7上，只有，故若是奇函数，则，矛盾所以，不是奇函数由,从而知函数是以为周期的函数若是偶函数，则又，从而由于对任意的（3，7上，又函数的图象的关于对称，所以对区间7，11）上的任意均有所以，这与前面的结论矛盾所以，函数是非奇非偶函数 (II) 由第(I)小题的解答，我们知道在区间（0，10）有且只有两个解，并且由于函数是以为周期的函数，故所以在区间2000,2000上，方程共有个解在区间2000,2010上，方程有且只有两个解因为，所以，在区间2000,2005上，方程有且只有两个解在区间2010,2000上，方程有且只有两个解因为，所以，在区间2005,2000上，方程无解综上所述，方程在2005,2005上共有802个解. 五强化训练1.（2002河南、广西、广东7）函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（ ）A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a2+b2=0解析：若a2+b2=0，即a=b=0时，f（x）=（x）|x+0|+0=x|x|=f（x）a2+b2=0是f（x）为奇函数的充分条件.又若f（x）为奇函数即f（x）=x|（x）+a|+b=（x|x+a|+b），则必有a=b=0，即a2+b2=0，a2+b2=0是f（x）为奇函数的必要条件.2.（1996上海文，6）若y=f（x）是定义在R上的函数，则y=f（x）为奇函数的一个充要条件为（ ）A.f（x）=0； B.对任意xR，f（x）=0都成立C.存在某x0R，使得f（x0）+f（x0）=0 D.对任意的xR，f（x）+f（x）=0都成立.答案：D解析：由奇函数定义可知：若f（x）为奇函数，则对定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x），即f（x）+f（x）=0，反之，若有f（x）+f（x）=0，即f（x）=f（x），由奇函数的定义可知f（x）为奇函数.3(2005福建卷)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A2B3C4D54已知函数是定义在实数集上的奇函数，求函数的解析式。分析：用f(-x)=-f(x) (xR)较繁，用f(0)=0可较方便地求得a=1，5(2004.全国)已知函数（ ）AB C D 6（05天津）设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_.解析：f(x)是定义在R上的奇函数，说明原点是一个对称中心，图象又关于直线对称，所以点（1，0）也对称中心，可以以正弦函数图像为例，判断其周期是2，f (1)= f (2)= f (3)= f (4)= f (5)=0。则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0.7定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，yR，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(0)0求证：f(0)=1求证：y=f(x)是偶函数证：令x=y=0，则f(0)+f(0)=2f2(0) f(0)0 f(0)=1令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)f(-y)=f(y) y=f(x)是偶函数8已知函数(1) 求证: 函数是偶函数;(2) 判断函数分别在区间、上的单调性, 并加以证明;(3) 若, 求证: .解: (1) 当时, , 则(2分)当时, , 则,综上所述, 对于, 都有, 函数是偶函数.(4分)(2) 当时, 设, 则(6分)当时, ; 当时, ,函数在上是减函数, 函数在上是增函数.(8分) (3)由(2)知, 当时, ,(9分)又由(1)知, 函数是偶函数, 当时, ,(10分)若, , 则, ,(11分), 即.(12分)9函数在上是增函数，求的取值范围分析：由函数在上是增函数可以得到两个信息：对任意的总有；当时，恒成立解：函数在上是增函数，对任意的有，即，得，即， ，要使恒成立，只要；又函数在上是增函数，即，综上的取值范围为另解：（用导数求解）令，函数在上是增函数，在上是增函数，且在上恒成立，得江苏省赣马高级中学高三数学不等式作业1(2005年高考江西卷理13文13)若函数是奇函数，则a= 2（2004宁夏）设函数为奇函数，则（） A0 B1 C D53（2004福建）定义在R上的偶函数满足，当时， 则（ ） Af(sin)f(cos1) Cf(cos)f(sin2)4（2004天津12）定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，则的值为（ ）A B C D 5（2004湖南）若与在区间上都是减函数，则的值范围是（ ） A B C（0，1）D6（2004湖北）函数上的最大值和最小值之和为a，则a的值为（ ）A B C2 D47 (2005年高考上海卷理13文13)若函数，则该函数在上是（ ）A单调递减无最小值 B单调递减有最小值 C单调递增无最大值 D单调递增有最大值8设f（x）的定义域为关于坐