2017_18版高中数学第三章数系的扩充与复数3.2.1复数的加法与减法学案.docx

32.1复数的加法与减法明目标、知重点1.熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题1复数加法与减法的运算法则(1)设z1abi，z2cdi是任意两个复数，则z1z2(ac)(bd)i，z1z2(ac)(bd)i.(2)对任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)2复数加减法的几何意义如图：设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1z2对应的向量是，与z1z2对应的向量是.情境导学我们学习过实数的加减运算，复数如何进行加减运算？我们知道向量加法的几何意义，那么复数加法的几何意义是什么呢？探究点一复数加减法的运算思考1我们规定复数的加法法则如下：设z1abi，z2cdi是任意两个复数，那么(abi)(cdi)(ac)(bd)i.那么两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？答仍然是个复数，且是一个确定的复数思考2复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则答实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项(abi)(cdi)(ac)(bd)i.思考3实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明答满足，对任意的z1，z2，z3C，有交换律：z1z2z2z1.结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)证明：设z1abi，z2cdi，z1z2(ac)(bd)i，z2z1(ca)(db)i，显然，z1z2z2z1，同理可得(z1z2)z3z1(z2z3)例1计算：(1)(12i)(2i)(2i)(12i)；(2)1(ii2)(12i)(12i)解(1)原式(1221)(2112)i2.(2)原式1(i1)(12i)(12i)(1111)(122)i2i.反思与感悟复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项跟踪训练1计算：(1)2i(32i)3(13i)；(2)(a2bi)(3a4bi)5i(a，bR)解(1)原式2i(32i39i)2i11i9i.(2)原式2a6bi5i2a(6b5)i.探究点二复数加减法的几何意义思考1复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答如图，设，分别与复数abi，cdi对应，则有(a，b)，(c，d)，由向量加法的几何意义(ac，bd)，所以与复数(ac)(bd)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行思考2怎样作出与复数z1z2对应的向量？答z1z2可以看作z1(z2)因为复数的加法可以按照向量的加法来进行所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1z2对应的向量(如图)图中对应复数z1，对应复数z2，则对应复数z1z2.例2如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,32i，24i.求：(1)表示的复数；(2)表示的复数；(3)表示的复数解(1)因为，所以表示的复数为32i.(2)因为，所以表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)因为，所以表示的复数为(32i)(24i)16i.反思与感悟复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用跟踪训练2复数z112i，z22i，z312i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数解设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为xyi(x，yR)，如图则(xyi)(12i)(x1)(y2)i，(12i)(2i)13i.，(x1)(y2)i13i.，解得，故点D对应的复数为2i.探究点三复数加减法的综合应用例3已知|z1|z2|z1z2|1，求|z1z2|.解方法一设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，|z1|z2|z1z2|1，a2b2c2d21，(ac)2(bd)21由得2ac2bd1，|z1z2|.方法二设O为坐标原点，z1，z2，z1z2对应的点分别为A，B，C.|z1|z2|z1z2|1，OAB是边长为1的正三角形，四边形OACB是一个内角为60，边长为1的菱形，且|z1z2|是菱形的较长的对角线OC的长，|z1z2|.反思与感悟(1)设出复数zxyi(x，yR)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用(2)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形；若|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为正方形跟踪训练3例3中，若条件变成|z1|z2|1，|z1z2|.求|z1z2|.解由|z1|z2|1，|z1z2|，知z1，z2，z1z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1z2|.1复数z12i，z22i，则z1z2等于()A0 B.iC.i D.i答案C解析z1z2(2)(2)ii.2若z32i4i，则z等于()A1i B13iC1i D13i答案B解析z4i(32i)13i.3在复平面内，O是原点，表示的复数分别为2i，32i,15i，则表示的复数为()A28i B66iC44i D42i答案C解析()44i.4若|z1|z1|，则复数z对应的点在()A实轴上 B虚轴上C第一象限 D第二象限答案B解析|z1|z1|，点Z到(1,0)和(1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(1,0)为端点的线段的中垂线上5已知复数z1(a22)(a4)i，z2a(a22)i(aR)，且z1z2为纯虚