2013-15年考研数学一、二、三答案

2013年考研数学一真题与解析一、选择题 18小题每小题4分，共32分已知，则下列正确的是（A） （B）（C） （D）【分析】这是型未定式，使用洛必达则即可或者熟记常见无穷小的马克劳林公式则可快速解答【详解1】，所以，即【详解2】 因为，显然，当然有应该选（）2曲面在点的切平面方程为（A） （B）（C） （D）【分析】此题考查的是空间曲面在点处的法向量及切平面的方程其中法向量为【详解】设，则在点点处，从而切平面方程为，即应该选（）设，令，则（）（）（）（）【分析】此题考查的是傅立叶级数的收敛性【详解】由条件可知，为的正弦级数，所以应先把函数进行奇延拓，由收敛定理可知也是周期为的奇函数，故，应选（）设，为四条逆时针方向的平面曲线，记，则（）（）（）（）【分析】此题考查的是梅林公式和二重积分的计算【详解】由格林公式，所以，；在椭圆：上，二重积分最好使用广义极坐标计算：故，显然最大故应选（）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9设函数由方程确定，则 【详解】当时，利用隐函数求导法则知10已知是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则该方程的通解为 【详解】显然和是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由解的结构定理，该方程的通解为，其中为任意常数11设为参数，则 【详解】，所以12 【详解】三、解答题15（本题满分10分）计算，其中【分析】被积函数中含有变上限积分，所以应该用分部积分法【详解】16（本题满分10分）设数列满足条件：，是幂级数的和函数（1）证明：；（2）求的表达式【详解】（1）证明：由幂级数和函数的分析性质可知，；，由条件可得，所以，也就有（2）解：由于所以，所以，解微分方程， 可得17（本题满分10分）求函数的极值18（本题满分10分）设奇函数在上具有二阶导数，且，证明：（1）存在，使得；（2）存在，使得【详解】证明：（1）由于为奇函数，则，由于在上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在，使得（2）由于为奇函数，则为偶函数，由（1）可知存在，使得，且，令，由条件显然可知在上可导，且，由罗尔定理可知，存在，使得即19（本题满分10分）设直线L过两点，过L绕Z轴旋转一周得到曲面，曲面与平面所围成的立体为（1）求曲面的方程；（2）求立体的质心坐标【详解】（1）直线L的对称式方程为，设为曲面上的任意一点，并且其对应于直线L上的点为，由于过L绕Z轴旋转一周得到曲面，所以有如下式子成立，整理可得，这就是曲面的方程（2）设的质心坐标为，由对称性，显然，所以的质心坐标为2013年考研数学二真题及答案一、选择题 18小题每小题4分，共32分设，当时， （ ）（A）比高阶的无穷小 （B）比低阶的无穷小（C）与同阶但不等价无穷小 （D）与等价无穷小【详解】显然当时，故应该选（C）2已知是由方程确定，则（ ）（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2【分析】本题考查的隐函数的求导法则信函数在一点导数的定义【详解】将代入方程得，在方程两边求导，得，代入，知，故应该选（A）设，则（ ）（）为的跳跃间断点 （）为的可去间断点（）在连续但不可导 （）在可导【详解】只要注意是函数的跳跃间断点，则应该是连续点，但不可导应选（）设函数，且反常积分收敛，则（ ）（A） （B） （C） （D）【详解】，其中当且仅当时才收敛；而第二个反常积分，当且仅当才收敛从而仅当时，反常积分才收敛，故应选（）设函数，其中可微，则（ ）（A） （B）（C） （D）【详解】应该选（A）6设是圆域的第象限的部分，记，则（ ）（A） （B） （C） （D）【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知所以，应该选（B）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9 【详解】10设函数，则的反函数在处的导数 【详解】由反函数的求导法则可知11设封闭曲线L的极坐标方程为为参数，则L所围成的平面图形的面积为 【详解】所以答案为12曲线上对应于处的法线方程为 【详解】当时，所以法线方程为，也就是13已知是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足方程的解为 【详解】显然和是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由解的结构定理，该方程的通解为，其中为任意常数把初始条件代入可得，所以答案为三、解答题15（本题满分10分）当时，与是等价无穷小，求常数【分析】主要是考查时常见函数的马克劳林展开式【详解】当时，所以，由于与是等价无穷小，所以16（本题满分10分）设D是由曲线，直线及轴所转成的平面图形，分别是D绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积，若，求的值【详解】由微元法可知；由条件，知17（本题满分10分）设平面区域D是由曲线所围成，求【详解】18（本题满分10分）设奇函数在上具有二阶导数，且，证明：（1）存在，使得；（2）存在，使得【详解】证明：（1）由于为奇函数，则，由于在上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在，使得（2）由于为奇函数，则为偶函数，由（1）可知存在，使得，且，令，由条件显然可知在上可导，且，由罗尔定理可知，存在，使得即19（本题满分10分）求曲线上的点到坐标原点的最长距离和最短距离【分析】考查的二元函数的条件极值的拉格朗日乘子法【详解】构造函数令，得唯一驻点，即考虑边界上的点，；距离函数在三点的取值分别为，所以最长距离为，最短距离为120（本题满分11）设函数求的最小值；设数列满足，证明极限存在，并求此极限【详解】（1），令，得唯驻点，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增所以函数在处取得最小值（2）证明：由于，但，所以，故数列单调递增又由于，得到，数列有界由单调有界收敛定理可知极限存在令，则，由（1）的结论可知21（本题满分11）设曲线L的方程为（1）求L的弧长（2）设D是由曲线L，直线及轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标【详解】（1）曲线的弧微分为，所以弧长为（2）设形心坐标为，则2013年考研数学三真题及答案一、选择题 18小题每小题4分，共32分当时，用表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）（A） （B）（C） （D）【详解】由高阶无穷小的定义可知（A）（B）（C）都是正确的，对于（D）可找出反例，例如当时，但而不是故应该选（D）2函数的可去间断点的个数为（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【详解】当时，所以是函数的可去间断点，所以是函数的可去间断点，所以所以不是函数的可去间断点故应该选（C）设是圆域的第象限的部分，记，则（ ）（A） （B） （C） （D）【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知所以，应该选（B）设为正项数列，则下列选择项正确的是（ ）（A）若，则收敛；（B）若收敛，则； （C）若收敛则存在常数，使存在； （D）若存在常数，使存在，则收敛【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（）此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A），但少一条件，显然错误而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B）也不正确，反例自己去构造二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9设曲线和在点处有切线，则 【详解】由条件可知所以10设函数是由方程确定，则 【详解】设，则，当时，所以11 【详解】12微分方程的通解为 【详解】方程的特征方程为，两个特征根分别为，所以方程通解为，其中为任意常数三、解答题15（本题满分10分）当时，与是等价无穷小，求常数【分析】主要是考查时常见函数的马克劳林展开式【详解】当时，所以，由于与是等价无穷小，所以16（本题满分10分）设D是由曲线，直线及轴所转成的平面图形，分别是D绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积，若，求的值【详解】由微元法可知；由条件，知17（本题满分10分）设平面区域D是由曲线所围成，求【详解】18（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为（P是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1）该的边际利润（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义（3）使得利润最大的定价P【详解】（1）设利润为，则，边际利润为（2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20（3）令，得19（本题满分10分）设函数在上可导，且，证明（1）存在，使得（2）对（1）中的，存在，使得【详解】证明（1）由于，所以存在，当时，有，又由于在上连续，且，由介值定理，存在，使得（2）函数在上可导，由拉格朗日中值定理，存在，使得2014年考研数学一真题与解析一、选择题 18小题每小题4分，共32分下列曲线有渐近线的是（A） （B） （C） （D）2设函数具有二阶导数，则在上（ ）（A）当时， （B）当时，（C）当时， （D）当时，【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法【详解1】如果对曲线在区间上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断如果对区间上任意两点及常数，恒有，则曲线是凸的显然此题中，则，而，故当时，曲线是凸的，即，也就是，应该选（C）【详解2】如果对曲线在区间上凹凸的定义不熟悉的话，可令，则，且，故当时，曲线是凸的，从而，即，也就是，应该选（C）设是连续函数，则（）（）(）（）【分析】此题考查二重积分交换次序的问题，关键在于画出积分区域的草图【详解】积分区域如图所示如果换成直角坐标则应该是，（A），（B）两个选择项都不正确；如果换成极坐标则为应该选（D）若函数，则（）（）（）（）【详解】注意，所以所以就相当于求函数的极小值点，显然可知当时取得最小值，所以应该选（A）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9曲面在点处的切平面方程为 【详解】曲面在点处的法向量为，所以切平面方程为，即10设为周期为4的可导奇函数，且，则 【详解】当时，由可知，即；为周期为4奇函数，故11微分方程满足的解为 【详解】方程的标准形式为，这是一个齐次型方程，设，得到通解为，将初始条件代入可得特解为12设是柱面和平面的交线，从轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分 【详解】由斯托克斯公式可知其中取上侧，三、解答题15（本题满分10分）求极限【分析】先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限【详解】16（本题满分10分）设函数由方程确定，求的极值【详解】解：在方程两边同时对求导一次，得到，（）即, 令及，得到函数唯一驻点在（）式两边同时对求导一次，得到（把代入，得到，所以函数在处取得极小值17（本题满分10分）设函数具有二阶连续导数，满足若，求的表达式【详解】设，则，;；由条件，可知 这是一个二阶常用系数线性非齐次方程对应齐次方程的通解为：其中为任意常数对应非齐次方程特解可求得为故非齐次方程通解为将初始条件代入，可得所以的表达式为18（本题满分10分）设曲面的上侧，计算曲面积分：【详解】设取下侧，记由所围立体为，则高斯公式可得在取下侧上，所以=19（本题满分10分）设数列满足，且级数收敛（1） 证明；证明级数收敛【详解】（1）证明：由，及可得，所以，由于级数收敛，所以级数也收敛，由收敛的必要条件可得（2）证明：由于，所以由于级数收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数收敛2014年考研数学二真题一、选择题 18小题每小题4分，共32分当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）2下列曲线有渐近线的是（ ）（A） （B）（C） （D）3设函数具有二阶导数，则在上（ ）（A）当时， （B）当时，（C）当时， （D）当时，4曲线 上对应于的点处的曲率半径是（ ）（）（）(）（）5设函数，若，则（ ）（）（）（）（）6设在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足及，则（ ）（A）的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； （B）的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；（C）的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；（D）的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9 10设为周期为4的可导奇函数，且，则 11设是由方程确定的函数，则 12曲线的极坐标方程为，则在点处的切线方程为 13一根长为1的细棒位于轴的区间上，若其线密度，则该细棒的质心坐标 三、解答题15（本题满分10分）求极限16（本题满分10分）已知函数满足微分方程，且，求的极大值和极小值17（本题满分10分）设平面区域计算18（本题满分10分）设函数具有二阶连续导数，满足若，求的表达式19（本题满分10分）设函数在区间上连续，且单调增加，证明：（2） ；20（本题满分11分）设函数，定义函数列，设是曲线，直线所围图形的面积求极限21（本题满分11分）已知函数满足，且，求曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积2014年考研数学三真题与解析一、选择题 18小题每小题4分，共32分1设，则当充分大时，下列正确的有（ ）（A） （B） （C） (D)【详解】因为，所以，当时，有，即，取，则知，所以选择（A）2下列曲线有渐近线的是（A） （B）（C） （D）【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以【详解】对于，可知且，所以有斜渐近线应该选（C）3设，则当时，若是比高阶的无穷小，则下列选项中错误的是（ ）（A） （B） （C） （D）【详解】只要熟练记忆当时，显然，应该选（D）4设函数具有二阶导数，则在上（ ）（A）当时， （B）当时，（C）当时， （D）当时，【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法【详解1】如果对曲线在区间上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断如果对区间上任意两点及常数，恒有，则曲线是凸的显然此题中，则，而，故当时，曲线是凹的，即，也就是，应该选（D）【详解2】如果对曲线在区间上凹凸的定义不熟悉的话，可令，则，且，故当时，曲线是凹的，从而，即，也就是，应该选（D）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9设某商品的需求函数为（为商品的价格），则该商品的边际收益为 【详解】，边际收益10设D是由曲线与直线及所围成的有界区域，则D的面积为 【详解】11设，则 【详解】所以12二次积分 【详解】三、解答题15（本题满分10分）求极限【分析】先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限【详解】16（本题满分10分）设平面区域计算【详解】由对称性可得17（本题满分10分）设函数具有二阶连续导数，满足若，求的表达式【详解】设，则，;；由条件，可知这是一个二阶常用系数线性非齐次方程对应齐次方程的通解为：其中为任意常数对应非齐次方程特解可求得为故非齐次方程通解为将初始条件代入，可得所以的表达式为18（本题满分10分）求幂级数的收敛域、和函数【详解】由于，所以得到收敛半径当时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为令和函数，则19（本题满分10分）设函数在区间上连续，且单调增加，证明：（3） ；（4） 【详解】（1）证明：因为，所以即（2）令，则可知，且，因为且单调增加，所以从而， 也是在单调增加，则，即得到2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)设函数在内连续，其中二阶导数的图形如图所示，则曲线的拐点的个数为 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】（C） (2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则 ( )(A) (B) (C) (D) 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，、为二阶常系数齐次微分方程的解，所以2,1为特征方程的根，从而，从而原方程变为，再将特解代入得.故选（A）(3) 若级数条件收敛，则 与依次为幂级数的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点【答案】（B）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.【解析】因为条件收敛，即为幂级数的条件收敛点，所以的收敛半径为1，收敛区间为.而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故的收敛区间还是.因而与依次为幂级数的收敛点，发散点.故选（B）.(4) 设是第一象限由曲线，与直线，围成的平面区域，函数在上连续，则 ( )(A) (B) (C) (D) 【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D的图形， 所以，故选（B）二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 【分析】此题考查型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：方法二：(10) 【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简. 【解析】 (11)若函数由方程确定，则【答案】【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令，则又当时，即.所以，因而(12)设是由平面与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算.【解析】由轮换对称性，得，其中为平面截空间区域所得的截面，其面积为.所以 三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分) 设函数，若与在是等价无穷小，求的值.【答案】【解析】法一：原式即法二：因为分子的极限为0，则，分子的极限为0，(16)(本题满分10分) 设函数在定义域I上的导数大于零，若对任意的，由线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式.【答案】.【解析】设在点处的切线方程为：令，得到，故由题意，即，可以转化为一阶微分方程，即，可分离变量得到通解为：，已知，得到，因此；即.(17)(本题满分10分)已知函数，曲线C：，求在曲线C上的最大方向导数.【答案】3【解析】因为沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.，故，模为，此题目转化为对函数在约束条件下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对在约束条件下的最大值.构造函数：，得到.所以最大值为.(18)(本题满分 10 分)（I）设函数可导，利用导数定义证明（II）设函数可导，写出的求导公式.【解析】（I） （II）由题意得 (19)(本题满分 10 分) 已知曲线L的方程为起点为，终点为，计算曲线积分.【答案】【解析】由题意假设参数方程，2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 下列反常积分收敛的是 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(D)【解析】，则. (2) 函数 在内 ( )(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点【答案】(B)【解析】，故有可去间断点.(3) 设函数,若在处连续则 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(A)【解析】时，时，在处连续则：得得：，答案选择A(4)设函数在内连续，其中二阶导数的图形如图所示，则曲线的拐点的个数为 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个。(5) 设函数满足 ，则与 依次是 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(D)【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解.令，则，从而变为.故，因而.故选（D）.(6)设是第一象限由曲线，与直线，围成的平面区域，函数在上连续，则 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为所以，故选B.二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 则 【答案】48【解析】 . (10)函数在处的阶导数_【答案】【解析】根据莱布尼茨公式得：(11) 设连续，若，则 【答案】【解析】 已知，求导得，故有则. (12)设函数是微分方程的解，且在处取得极值3，则= 。【解析】由题意知：，由特征方程：解得所以微分方程的通解为：代入，解得：解得：(13)若函数由方程确定，则= 。【解析】当时，则对该式两边求偏导可得。将（0,0,0）点值代入即有 则可得三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分）设函数，.若与在时是等价无穷小，求的值. 【答案】【解析】方法一：因为，那么， ，可得：，所以，方法二：由题意得由分母，得分子，求得c；于是 由分母，得分子，求得；进一步，b值代入原式 ，求得(16) (本题满分10分)设A0，D是由曲线段及直线，所围成的平面区域，分别表示D绕轴与绕轴旋转成旋转体的体积，若，求A的值。【解析】由旋转体的体积公式，得 由题求得(17) (本题满分11分)已知函数满足，求 的极值。【答案】极小值【解析】两边对y积分，得 ，故，求得，故，两边关于x积分，得 由，求得所以.令，求得.又， ，当时，为极小值.(18) (本题满分10分)计算二重积分，其中。【答案】【解析】(19)(本题满分 11 分)已知函数，求零点的个数？【答案】个【解析】令,得驻点为,在,单调递减,在,单调递增故为唯一的极小值,也是最小值.而 在,故 从而有考虑，所以.所以函数在及上各有一个零点，所以零点个数为2.(20) (本题满分10分) 已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为的物体在的恒温介质中冷却，30min后该物体降至，若要将该物体的温度继续降至，还需冷却多长时间？【答案】【解析】设时刻物体温度为，比例常数为，介质温度为,则，从而，所以，即又所以，所以当时，所以还需要冷却min.(21) (本题满分10分) 已知函数在区间上具有2阶导数，设，曲线在点处的切线与轴的交点是，证明。【证明】根据题意得点处的切线方程为令，得 因为所以单调递增，又因为所以，又因为 所以又因为，而在区间（a,b）上应用拉格朗日中值定理有所以因为所以单调递增 所以所以，即，所以，结论得证.2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)设是数列,下列命题中不正确的是 ( )(A) 若,则 (B) 若, 则 (C) 若,则 (D) 若,则 【答案】(D)【解析】考查数列极限与子列极限的关系。数列收敛，那么它的任何无穷子列均收敛，所以A与C正确；一个数列存在多个无穷子列并集包含原数列所有项，且这些子列均收敛于同一个值，则原数列是收敛的。B正确，D错,故选D(2) 设函数在内连续,其2阶导函数的图形如右图所示,则曲线的