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文档简介

几何证明 不分版本 教案 .shuxue.几何证明一.本周教学内容几何证明几何证明包含的内容很多,如证明两条线段相等、两个角相等、两直线平行、两直线垂直、线段成比例、面积问题、定值问题等。 1.证明线段或角的相等证明两条线段相等,不仅要考虑三角形全等和等腰三角形两底角相等,还要善于利用性质定理来证明问题。 常用的有直角三角形斜边中线等于斜边的一半、射影定理及梯形、三角形中位线定理等。 2.证明两直线垂直或平行证明两直线垂直除证明它们的夹角为90?之外,还常考虑借助旋转变换思想证明两直线垂直,利用图形的性质证明两直线垂直,证平行,除了考虑判定定理以外,还要考虑如果两条直线被两条相交直线所截,且对应线段成比例,则这两条直线平行。 3.线段或角的和、差、倍、分问题证明这类问题的关键是通过旋转变换或轴对称变换,把问题转化为线段或角的相等问题去解决,有时也用三角或代数方法证明。 4.线段等比等积问题证线段等比等积问题常用方法有相似三角形对应线段成比例;角平分线性质定理;直角三角形中射影定理、勾股定理;平行线分线段成比例;圆幂定理即相交弦定理、切割线定理、割线定理等。 有时还要考虑等比定理、合比定理、正弦定理或面积公式等。 5.求值问题与四边形有关的求值问题包括求角的度数,求线段长(或和、差),求面积、求比值等问题,一般都需要适当添加辅助线转化为三角形问题去解决。 二.重点、难点 (一)重点证明线段和角的相等,线段的等比等积问题,直线的垂直或平行问题等。 (二)难点灵活运用所学定义、公理、定理等基础知识,分析问题和解决问题的能力。 【例题分析】例1.已知矩形ABCD中过C点引BD的垂线与?BAD的平分线交于E点,垂足为F,求证BDCE思路分析由图形可看出BD与CE无直接关系,但利用矩形对角线相等的性质可把问题转化为证明ACCE,只须证明?E?CAE。 证明?四边形ABCD是矩形,AE平分?BAD。 ?BAE?EAD?CME?45?又?CF?BD?FC B?BD C?AB?CD,BC?BC,?ABC?DCB?90?ABC?DBC(HL)?BAC?BD C?BAC?FC B?BAC?EAB?FC B?CME第1页共7页.shuxue.?AEC?EAC?AC?CE,又AC?BD?BD?CE说明本题还可以通过延长DC交AE于G,则?E?45?DCF,?CAE?45?CAD?45?ADB?45?DCF得?E?CAE,从而证明出ACCF。 或者作AN?BD于N,则AN/FE,?E?EAN,再证?EAN?CAE得ACCE。 A DF C B ME例2.如图,在平行四边形ABCD的边AB、AD的边上向外作两个正方形ABMP和ADNQ,求证对角线AC与正方形的顶点的连线互相垂直。 思路分析考虑通过?ABC和?PAQ全等,证明?A?BAC,又因为ABMP为正方形,可证?BAC?PAE?90?,因此?A?PAE?90?,问题得到证明。 证明?ABCD是平行四边形,ABMP、ADNQ是正方形。 ?BAD?PAQ?180?ABC?PAQ?AB?AP,BC?AD?AQ?ABC?PAQ(SAS)?A?BAC?ABM P是正方形?BAC?PAE?90?A?PAE?90?AC?第2页共7页.shuxue.例3.在正方形ABCD中,P、Q分别为BC、CD上的点,且?PAQ?45?,求证BPQD。 思路分析将?ADQ绕A旋转90?,使AD与AB重合,则Q点旋转到Q的位置,因此只要证明?即可。 证明延长CB至Q使BQ?DQ,连结AQ则?AD Q?ABQ?AQ?AQ?QAP?PAQ?45?A?A(SA S)?BP?BQ?BP?D Q?BP?D QA DQQCBP CD例4.如图,O的内接正方形ABCD中,F为线交于E,求证AEEFABBF上一点,FD的延长线与BA的延长思路分析此题一般容易想到利用?ADE?FBE或?BCF?EAF来证,实际上,从结论不难看出AEEFABBE恰好是三角形内角平分线定理的结论,所以只要连结辅助线FA即可很快得到证明。 第3页共7页.shuxue.证明连结AF,?ABCD是圆内接正方形?ABAD?BFA?EFA?BA AE?FB FE即AE EF?AB BFF CD OE BA例5.在?ABC中,边ABAC,有一个圆内切于?ABC的外接圆,并且与AB、AC分别相切于P、Q,求证P、Q连线的中点是?ABC的内切圆圆心。 (20届IMO题)思路分析设小圆圆心为O1,O1与?ABC外接圆相切于D,连结AO1,则显然有AO1?,而且由于?ABC为等腰三角形,有AO1通过?ABC外接圆圆心,因此,D点在AO1的延长线上,要证明的中点O为?ABC的内心,根据内心的定义,可证明O点在等腰?ABC的顶角平分线上,又在底角平分线上,证明显然O点在?ABC的顶角平分线上。 下面证明O点在?ABC的平分线上。 连结OB、BD、DD、PO1,易证AD?BC,AD?BC/?CBO?PO B?AO1通过?ABC外接圆圆心,即AD是此圆直径?ABD?90?P、B、D、O四点共圆?PO B?PD B,连结O1P,则有O1P?AB于P,O1P/BD?PD B?O1PD?O1P与O1D均为O1的半径?O1PD?O1DP再利用P、B、D、O四点共圆,得到?O1DP?ABO第4页共7页.shuxue.?ABO?CBO?OB平分?ABC,又由于OA平分?BAC?O是?ABC内心【考点解析】例1.已知如图,在等边三角形ABC的AB边上取一点P,使PB?2PA,过点P分别作PD?BC于点D,PE?AB,交AC于点E。 求证PDPE。 A PE BD C分析从求证入手,欲证PDPE,需证明三角形全等。 在等边三角形ABC中,有相等的边和相等的角,还有直角和60?的角,所以证明三角形全等是不困难的。 注意书写要规范,逻辑思维要严谨,做到步步有据。 证明?ABC是等边三角形?A?B?60?PE?AB,PD?BC?APE?BD P?90?PB?2PA?设AP?k,则PB?2k在Rt?APE中?A?60?,?APE?90?AEP?30?AE?2AP?2k第5页共7页.shuxue.?AE?BP?A?B?60?在Rt?APE和Rt?BD P中?AE?BP?2k?APE?BD P?90?APE?BDP(ASA)?PD?PE点评本题结合图形,进行几何证明,是一道基本题。 同学们可以总结证明线段相等有哪些方法?比如全等三角形的对应边相等,等腰三角形的判定,平行四边形的对边相等,平行线等分线段定理,相似三角形对应边成比例等。 例2.已知如图,?ABC内接于O,直径QP垂直于弦BC,QP、CA的延长线交于点E。 求证OQ2?OD?OE。 E P A D O B C Q分析从求证来看,欲证OQ?OD?OE,需证两个三角形相似。 但OQ、OD、OE都在同一条线段上,这就需要转化。 再从已知来看,直径QP垂直于弦BC,就想到构造直角三角形,直径所对的圆周角是直角,所以很自然地想到连结AO,并延长AO交O于F,连结BF,则?ABF?90?,而且OQ?OA,把OQ转化到了OA。 剩下的问题,就是需要证?ADO与?EAO相似。 2证明连结AO并延长AO交O于F,连结BF?C?F?直径QP?BC?C?E?90?AF是直径?ABF?90?,设?1?DAO第6页共7页.shuxue.?F?1?90?E?1?OA、OQ是O半径?OA?OQ在?ADO和?EAO中?E?1,?DOA?AOE?AD O?EAO?O DOA?AOO E即AO2?OD?OE即OQ2?OD?OE EPA1DOBCF Q点评几何证明题,证明三角形相似是非常重要的,尤其是结合圆的知识,证明三角

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