湖南省永州市新田县第一中学高中数学 7 函数的最值与导数课件 理 新人教A版选修22.ppt_第1页
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1 3 3函数的最大 小 值与导数 复习引入 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么 f x0 是极小值 2 导数为零的点是该点为极值点的必要条件 而不是充分条件 极值只能在函数的导数为零且在其附近左右两侧的导数异号时取到 1 当函数f x 在x0处连续时 判别f x0 是极大 小 值的方法是 当 3 检查在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么在这个根处取得极小值 列表求极值 2 求方程的根 3 用导数法求解函数极值的步骤 口诀 左负右正为极小 左正右负为极大 分析下图一个定义在区间上的函数 你能找出它的极值点吗 如何求在内的最大值与最小值呢 在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上 哪个值最大 哪个值最小 而不是极值 函数的最值 观察右边一个定义在区间 a b 上的函数y f x 的图象 你能找出函数y f x 在区间 a b 上的最大值 最小值吗 发现图中 是极小值 是极大值 在区间上的函数的最大值是 最小值是 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下 怎样才能判断出f x3 是最小值 而f b 是最大值呢 在闭区间 a b 上的函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 则它必有最大值和最小值 o x y a b o x y a b o x y a b o x y a b y f x y f x y f x y f x 在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值 在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值 说明 一般地 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 求y f x 在 a b 内的极值 极大值与极小值 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 求函数的最值时 应注意以下几点 1 函数的极值是在局部范围内讨论问题 是一个局部概念 而函数的最值是对整个定义域而言 是在整体范围内讨论问题 是一个整体性的概念 2 闭区间 a b 上的连续函数一定有最值 开区间 a b 内的可导函数不一定有最值 但若有唯一的极值 则此极值必是函数的最值 3 函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个 而函数的极值则可能不止一个 也可能没有极值 并且极大值 极小值 不一定就是最大值 最小值 例1 求函数在 0 3 上的最大值与最小值 解 令 解得 因此函数在 0 3 上的最大值为4 最小值为 课堂练习 d a a 一 是利用函数性质二 是利用不等式三 是利用导数 注 求函数最值的一般方法 例2 年北京 已知函数f x x3 3x2 9x a 求f x 的单调递减区间 若f x 在区间 上的最大值为 求它在该区间上的最小值 求函数在内的极值 1 求在上的最大值与最小值的步骤 求函数在区间端点的值 将函数在各极值与比较 其中最大的一是最大值 最小的一个是最
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