学案--递推数列通项公式常用方法.doc

递推数列通项公式常用方法 求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列，下面就求递推数列通向公式的常用方法举例供参考：一 公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有，等差数列或等比数列的通项公式。即与消去 或与消去进行求解。例1 已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？跟踪训练1.已知数列的前项和，满足关系.试证数列是等比数列.二 归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.例2 已知数列中，求数列的通项公式.跟踪训练2.设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有自然数，与1的等差中项等于与1的等比中项，求数列的通项公式.三 累加法：利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）. 即类型 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例3 已知无穷数列的的通项公式是，若数列满足，求数列的通项公式.跟踪训练3.已知,求数列通项公式.四 累乘法:利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积).即类型 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例4 已知,求数列通项公式.跟踪训练4.已知数列满足,.则的通项公式是.五 构造新数列（也叫待定系数法）: 将递推公式（为常数，）通过与原递推公式恒等变成的方法叫构造新数列.即类型 （其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例5 已知数列中, ,求的通项公式.跟踪训练5.已知数列中, ,求数列的通项公式.六 倒数变换：将递推数列,取倒数变成 的形式的方法叫倒数变换.例6 已知数列中, ,求数列的通项公式.跟踪训练6.已知数列中, ,求数列的通项公式.七、取对数法例7 若数列中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=（2002年上海高考题）.八、平方（开方）法例8 若数列中，=2且（n），求它的通项公式是.九 类型 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例9:已知数列中，,，求。十. 类型 递推公式为（其中p，q均为常数）。解 (特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例10: 数列：， ,求变式:（2006，福建,文,22）已知数列满足求数列的通项公式；十一 类型 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例11：已知数列中，求数列十 二 类型 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例12：已知数列an满足：，求数列an的通项公式。变式:（2006，江西,理,22）已知数列an满足：a1，且an 求数列an的通项公式；十三 类型 周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例13：若数列满足，若，则的值为_。课后练习题1:已知数列满足，求。2:已知数列满足，求。3:已知， ，求。4:（2004，全国I,理15）已知数列an，满足a1=1， (n2)，则an的通项 5:已知数列中，求.6:（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_7:已知数列中，,，求。8: 数列：， ,求9:（2006，福建