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人教版数学八年级下册人教版数学八年级下册 第十四章一次函数教案第十四章一次函数教案 14 1 114 1 1 变量与函数变量与函数 学习目标 学习目标 1 通过探索具体问题中的数量关系和变化规律来了解常量 变量的意义 2 学会用含一个变量的代数式表示另一个变量 3 结合实例 理解函数的概念以及自变量的意义 在理解掌握函数概念的基 础上 确定函数关系式 4 会根据函数解析式和实际意义确定自变量的取值范围 学习重点 学习重点 了解常量与变量的意义 理解函数概念和自变量的意义 确定函数关系式 学习难点 学习难点 函数概念的理解 函数关系式的确定 学习过程 学习过程 一 提出问题 创设情景 问题一 一辆汽车以 60 千米 小时的速度匀速行驶 行驶里程为 s 千米 行驶时 间为 t 小时 请同学们根据题意填写下表 t 时12345t s 千米 在以上这个过程中 变化的量是 不变化的量是 试用含 t 的式子表示 s s t 的取值范围是 这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程 随行驶时间 的变化过 程 二 深入探究 得出结论 一 问题探究 问题二 每张电影票的售价为 10 元 如果早场售出票 150 张 午场售出 205 张 晚场售出 310 张 三场电影的票房收入各多少元 设一场电影售票 x 张 票房收入 y 元 怎样用含 x 的式子表示 y 请同学们根据题意填写下表 售出票数 张 早场 150午场 206晚场 310 x 收入 y 元 2 在以上这个过程中 变化的量是 不变化的量是 试用含 x 的式子表示 y y x 的取值范围是 这个问题反映了票房收入 随售票张数 的变化过程 问题三 在一根弹簧的下端悬挂重物 改变并记录重物的质量 观察并记录弹簧长 度的变化 探索它们的变化规律 如果弹簧原长 10cm 每 1kg 重物使弹簧伸长 0 5cm 设重物质量为 mkg 受力后的弹簧长度为 L cm 怎样用含 m 的式子表示 L 1 请同学们根据题意填写下表 所挂重物 kg 12345m 受力后的弹簧长度 L cm 2 在以上这个过程中 变化的量是 不变化的量是 试用含 m 的式子表示 L L m 的取值范围是 这个问题反映了 随 的变化过程 问题四 圆的面积和它的半径之间的关系是什么 要画一个面积为 10cm2的圆 圆 的半径应取多少 圆的面积为 20cm2呢 30 cm2呢 怎样用含有圆面积 的式子表 示圆半径 r 关系式 请同学们根据题意填写下表 面积 s cm2 102030s 半径 r cm 在以上这个过程中 变化的量是 不变化的量是 试用含 s 的式子表示 r r s 的取值范围是 这个问题反映了 随 的变化过程 问题五 用 10m 长的绳子围成矩形 试改变矩形的长度 观察矩形的面积怎样变 化 记录不同的矩形的长度值 计算相应的矩形面积的值 探索它们的变化规律 设矩形的长为 xm 面积为 m2 怎样用含有 x 的式子表示 呢 请同学们根据题意填写下表 长 x m 1234x 面积 s m2 在以上这个过程中 变化的量是 不变化的量是 试用含 x 的式子表示 s x 的取值范围是 这个问题反映了矩形的 随 的变化过程 小结 以上这些问题都反映了不同事物的变化过程 其实现实生活中还有好多类似 的问题 在这些变化过程中 有些量的值是按照某种规律变化的 如 有些量的数值是始终不变的 如 二 得出结论 在一个变化过程中 我们称数值发生变化的量为 在一个变化过程中 我们称数值始终不变的量为 三 问题引申 探索概念 中国人口数统计表 年份人口数 亿 1984 10 34 1989 11 06 1994 11 76 1999 12 52 一 观察探究 1 在前面研究的每个问题中 都出现了 个变量 它们之间是相互影响 相互制约的 2 同一个问题中的变量之间有什么联系 请同学们自己分析 问题一 中两 个变量之间的关系 进而再分析上述所有实例中的两个变量之间是否有类似的 关系 归纳 上面每个问题中的两个变量相互联系 当其中一个变量取定一个值时 另 一个变量就有 确定的值与其对应 3 其实 在一些用图或表格表达的问题中 也能看到两个变量间有上述这样的 关系 我们来看下面两个问题 通过观察 思考 讨论后回答 1 下图是体检时的心电图 其中图上点的横坐标 x 表示时间 纵坐标 y 表示 心脏部位的生物电流 它们是两个变量 在心电图中 对于 x 的每一个确定的值 y 都有唯一确定的对应值吗 2 在下面的我国人口数统计表中 年份与人口 数 可以记作两个变量 x 与 y 对于表中每一个确定 的年 份 x 都对应着一个确定的人口数 y 吗 中国 人口数统计表 二 归纳概念 一般地 在一个变化过程中 如果有两个变量 x 与 y 并且对于 x 的每一个确 定的值 y 都有唯一确定的值与其对应 那么我们就说 x 是 y 是 x 的 如果当 x a 时 y b 那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的 举例说明 问题一问题二问题三问题四问题五 自变量 自变量的函 数 函数解析式 四 课堂练习 巩固概念 1 若球体体积为 半径为 则 3 其中变量是 3 4 常量是 自变量是 是 的函数 R 的取值范围是 2 校园里栽下一棵小树高 1 8 米 以后每年长 0 3 米 则 n 年后的树高 L 与年 数 n 之间的函数关系式 其中变量是 常量是 自变量是 是 的函数 n 的取值范围是 3 在男子 1500 米赛跑中 运动员的平均速度 v 则这个关系式中变 量是 常量是 自变量是 是 的函数 自变量的取值范围是 4 已知 2x 3y 1 若把 y 看成 x 的函数 则可以表示为 其中变量是 常量是 自变量是 是 的函数 x 的取值范围是 5 等腰 ABC 中 AB AC 则顶角 y 与底角 x 之间的函数关系式为 其中变量是 常量是 自变量是 是 的函数 x 的取值范围是 6 汽车开始行驶时油箱内有油 40 升 如果每小时耗油 5 升 则油箱内剩余油量 升与行驶时间 t 小时的关系是 其中变量是 常量是 自变量是 是 的函 数 t 的取值范围是 思考题 小明去商店为美术小组买宣纸和毛笔 宣纸每张 元 毛笔每支 元 商 店正搞优惠活动 买一支毛笔赠一张宣纸 小明买了 10 支毛笔和 x 张宣 纸 则小明用钱总数 y 元 与宣纸数 x 之间的函数关系是什么 五 课堂小结 回顾反思 和同学们分享一下你的收获 14 1 214 1 2 函数函数 第二课时 学习目标学习目标 经过回顾思考认识变量中的自变量与函数 进一步理解掌握确定函数关 系式 会确定自变量取值范围 通过从图或表格中寻找两个变量间的关系 提高识图及读表能力 体会 函数的不同表达方式 学习重点学习重点 进一步掌握确定函数关系的方法 确定自变量的取值范围 学习难点学习难点 认识函数 领会函数的意义 学习过程学习过程 提出问题 创设情境 我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化 同一问题中的 变量之间有什么联系 也就是说当其中一个变量确定一个值时 另一个变量是否随 之确定一个值呢 这将是我们这节研究的内容 我们来看下面两个问题 通过观察 思考 讨论后回答 1 下图是体检时的心电图 其中横坐标 x 表示时间 纵坐标 y 表示心脏部 位的生物电流 它们是两个变量 在心电图中 对于 x 的每个确定的值 y 都有唯 一确定的对应值吗 2 在下面的我国人口数统计表中 年份与人口数可以记作两个变量 x 与 y 对于表中每个确定的年份 x 都对应着个确定的人口数 y 吗 中国人口数统计表 年份人口数 亿 1984 10 34 1989 11 06 1994 11 76 1999 12 52 活动一 在计算器上按照下面的程序进行操作 填表 x13 40101 y 显示的数 y 是输入的数 x 的函数吗 为什么 在计算器上按照下面的程序进行操作 下表中的 x 与 y 是输入的 5 个数与相应的计算结果 x 1230 1 y 3572 1 所按的第三 四两个键是哪两个键 y 是 x 的函数吗 如果是 写出它的表达 式 用含有 x 的式子表示 y 结论 活动二 活动内容设计 一辆汽车油箱现有汽油 50L 如果不再加油 那么油箱中的油量 y L 随行驶 里程 x km 的增加而减少 平均耗油量为 0 1L km 写出表示 y 与 x 的函数关系式 指出自变量 x 的取值范围 汽车行驶 200km 时 油桶中还有多少汽油 如何确定自变量取值范围和求函数值的方法 知道了自变量取值范围的确定 不仅 要考虑函数关系式的意义 而且还要注意问题的实际意义 随堂练习 下列问题中哪些量是自变量 哪些量是自变量的函数 试写出用自变量表示函 数的式子 改变正方形的边长 x 正方形的面积 随之改变 秀水村的耕地面积是 106m2 这个村人均占有耕地面积 y 随这个村人数 n 的变化而变化 14 1 314 1 3 函数的图像 第一课时 函数的图像 第一课时 学习目标 学习目标 1 使学生了解函数图象的意义 2 初步掌握画函数图象的方法 列表 描点 连线 3 学会通过观察 分析函数图象来获取相关信息 4 结合实例培养学生数形结合的思想和读图能力 学习重点 学习重点 初步掌握画函数图象的方法 通过观察 分析函数图象来获取信息 学习过程 学习过程 一 知识回顾 1 在一个变化过程中 我们称数值 的量为变量 在一个变化过程中 我们称数值 的量为常量 2 长方形相邻两边长分别为 x y 面积为 10 则用含 x 的式子表示 y 为 则这个问题中 是常量 是变量 3 一般地 在一个变化过程中 如果有两个变量 x 与 y 并且对于 x 的每一个确 定的值 y 都有唯一确定的值与其对应 那么我们就说 x 是 y 是 x 的 如果当 x a 时 y b 那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的 4 已知三角形底边长为 8 高为 h 三角形的面积为 s 则 s 与 h 的函数 关系式为 其中自变量是 自变量的函数是 二 学习新知 一 函数图象的画法 1 明确函数图象的意义 我们在前面学习了函数的意义 并掌握了函数关系式的确立 但有些函数问题 很难用函数关系式表示出来 这时我们可以用图来直观地反映 例如用心电图表示 心脏生物电流与时间的关系 即使对于能用关系式表示的函数关系 如果也能用画 图来表示 则会使函数关系更清晰 我们这节课就来解决如何画函数图象的问题及 解读函数图象信息 2 描点法画函数图象 问题一 正方形的面积S与边长x的函数关系为 其中自变量 x的取值范围是 我们还可以利用在坐标系中画图的方法来表示S与 x的关系 想一想 自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值S 是否能确定一个 点 x S 呢 1 列表 计算并填写下表 x00 511 522 533 54 S 2 描点 建立直角坐标系 以自变量的值为横坐标 相应的函数值为纵坐标 描出表格中数值对应的各点 3 连线 按照横坐标由小到大的顺序 把所描出的各点用平滑曲线连接起来 想一想 这条曲线包括原点吗 应该怎样表示 强调 用 表示不在曲线上的点 在函数图象上的点要画成 的点 3 归纳总结 一般地 对于一个函数 如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横 纵坐标 那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的 说明 通过图象可以数形结合地研究函数 二 解读函数图象信息 问题二 如图是自动测温仪记录的图象 它反映了北京的春季某天气温 T 如何随时 间t的变化而变化 你从图象中能得到哪些信息 可以认为 是 的函数 上图就是这个函数的图象 问题三 下面的图象反映的过程是 小明从家去菜地浇水 又去玉米地锄草 然后 回家 其中x表示时间 y表示小明离他家的距离 小明家 菜地 玉米地在同一 由它的函数图象可知 条直线上 解 巩固检测 1 小芳今天到学校参加初中毕业会考 从家里出发走 10 分到离家 500 米的地 方吃早餐 吃早餐用了 20 分 再用 10 分赶到离家 1 000 米的学校参加考试 下列 图象中 能反映这一过程的是 2 近一个月来漳州市遭受暴雨袭击 九龙 江水位上涨 小明以警戒水位为原点 用折线 统计图表示某一天江水水位情况 请你结合折 线统计图判断下列叙述不正确的是 A 8 时水位最高 B 这一天水位均高于警戒水位 C 8 时到 16 时水位都在下 降 D P点表示 12 时水位高于警戒水位 0 6 米 3 一个装有进出水管的水池 单位时间内进 出水量都是一定的 已知水池 的容积为 800 升 又知单开进水管 20 分可把空水池注满 若同时打开进 出水管 20 分可把满水池的水放完 现已知水池内有水 200 升 先打开进水管 3 分钟 再 打开出水管 两管同时开放 直至把水池中的水放完 则能确定反映这一过程中水 池的水量 升 随时间 分 变化的函数图象是 根据图象回答下列问题 根据图象回答下列问题 菜地离小明家多远 小明从家到 菜地离小明家多远 小明从家到 菜地用了多少时间 菜地用了多少时间 小明给菜地浇水用了多少时间 小明给菜地浇水用了多少时间 菜地离玉米地多远 小明从菜地 菜地离玉米地多远 小明从菜地 到玉米地用了多少时间 到玉米地用了多少时间 小明给玉米地锄草用了多少时间 小明给玉米地锄草用了多少时间 玉米地离小明家多远 小明从玉 玉米地离小明家多远 小明从玉 米地回家的平均速度是多少 200 311 升Q 分t B y 米 150 0 100 0 500 10 20 30 40 50 x 分 A OO y 米 B x 分 150 0 100 0 500 10 20 30 40 50 时间 时 0 4 8 12162024 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 水位 米 P y 米 C O10 20 30 40 50 150 0 100 0 500 x 分 x 分 y 米 150 0 100 0 500 10 20 30 40 50 D O 4 李华和弟弟进行百米赛跑 李华比弟弟跑得快 如果两人同时起跑 李华肯定 赢 现在李华让弟弟先跑若干米 图中 分别表示两人的路程与李华追赶弟弟的时 间的关系 由图中信息可知 下列结论中正确的 是 A 李华先到达终点 B 弟弟的速度是 8 米 秒 C 弟弟先跑了 10 米 D 弟弟的速度是 10 米 秒 32 020 0 311 升Q 分t C 32 020 0 11 升Q 分t 3 14 1 414 1 4 函数的表示方法函数的表示方法 第四课时 第四课时 学习目标学习目标 总结函数三种表示方法 了解三种表示方法的优缺点 会根据具体情况 选择适当方法 2 经历回顾思考 训练提高归纳总结能力 利用数形结合思想 据具体情况 选用适当方法解决问题的能力 学习重点学习重点 认清函数的不同表示方法 知道各自优缺点 能按具体情况选用适当方法 学习难点学习难点 函数表示方法的应用 学习方法学习方法 归纳 总结 自主 探究 实践 应用 学习过程学习过程 提出问题 创设情境 师 我们在上节课里已经看到或亲自动手用列表格 写式子和画图象的方法表 示了一些函数 这三种表示函数的方法分别称为列表法 解析式法和图象法 那么 请同学们思考一下 从前面的例子看 你认为三种表示函数的方法各有 什么优缺点 在遇到具体问题时 该如何选择适当的表示方法呢 这就是我们这节课要研究的内容 导入新课 师 我们首先思考刚才提出的第一个问题 生 从前面所见到的或自己做的例子可以看出 列表法比较直观 准确地表示 出函数中两个变量的关系 解析式法则比较准确 全面地表示出了函数中两个变量 的关系 至于图象法它则形象 直观地表示出函数中两个变量的关系 师 好 这位同学说出了三种表示方法的优点 那么他们又各有什么不足之处 呢 生 相比较而言 列表法不如解析式法全面 也不如图象法形象 而解析式法 却不如列表法直观 不如图象法形象 图象法也不如列表法直观准确 不如解析式 法全面 师 很好 我们就从全面性 直观性 准确性及形象性四个方面来总结归纳函 数三种表示方法的优缺点 请同学们根据自己的看法填表 表示方法全面性准确性直观性形象性 列表法 解析式法 图象法 师 从所填表中可清楚看到三种表示方法各有优缺点 在遇到实际问题时 就 要根据具体情况 具体要求选择适当的表示方法 有时为了全面地认识问题 需要 几种方法同时使用 我们来共同看一个例子 例 一水库的水位在最近 5 小时内持续上涨 下表记录了这 5 小时的水位高 度 t 时 012345 y 米 10 10 0510 1010 1510 2010 25 由记录表推出这 5 小时中水位高度 y 米 随时间 t 时 变化的函数解 析式 并画出函数图象 据估计这种上涨的情况还会持续 2 小时 预测再过 2 小时水位高度将达到 多少米 分析 记录表中已经通过 6 组数值反映了时间 t 与水位 y 之间的对应关系 我们现在需要从这些数值找出这两个表量之间的一般联系规律 由它写出函数解析 式来 再画出函数图象 进而预测水位 解 由表中观察到开始水位高 10 米 以后每隔 1 小时 水位升高 0 05 米 这样的规律可以表示为 y 0 05t 10 0 t 7 这个函数的图象如下图所示 再过 2 小时的水位高度 就是 t 5 2 7 时 y 0 05t 10 的函数值 从解 析式容易算出 y 0 05 7 10 10 35 从函数图象也能得出这个值数 2 小时后 预计水位高 10 35 米 师 就上面的例子中我提几个问题大家思考 函数自变量 t 的取值范围 0 t 7 是如何确定的 2 小时后的水位高是通过解析式求出的呢 还是从函数图象估算出的好 函数的三种表示方法之间是否可以转化 生 从题目中可以看出水库水位在 5 小时内持续上涨情况 且估计这种 上涨情况还会持续 2 小时 所以自变量 t 的取值范围取 0 t 7 超出了这个范围 情况将难以预计 2 小时后水位高通过解析式求准确 通过图象估算直接 方便 就这个 题目来说 2 小时后水位高本身就是一种估算 但为了准确而言 我认为还是通 过解析式求出较好 从这个例子可以看出函数的三种不同表示法可以转化 因为题目中只给出 了列表法 而我们通过分析求出解析式并画出了图象 所以我认为可以相互转化 师 非常好 我们现在就利用发现和总结的经验 搞个尝试性练习好吗 尝试练习 用列表法与解析式法表示 n 边形的内角和 m 是边数 n 的函数 用解析式与图象法表示等边三角形周长 L 是边长 a 的函数 解析 因为 n 表示的是多边形的边数 所以 n 是大于等于 3 的自然数 n3456 m180360540720 由表可看出 三角形内角和为 180 边数每增加 1 条 内角和度数就增加 180 故此 m n 函数关系可表示为 m n 2 180 n 3 的自然数 因为等边三角形的周长 L 是边长 a 的 3 倍 所以周长 L 与边长 a 的函数 关系可表示为 L 3a a 0 我们可以用描点法来画出函数 L 3a 的图象 列表 a 1234 L 36912 描点 连线 随堂练习 甲车速度为 20 米 秒 乙车速度为 25 米 秒 现甲车在乙车前面 500 米 设 x 秒后两车之间的距离为 y 米 求 y 随 x 0 x 100 变化的函数解析式 并画出 函数图象 解 由题意可知 x 秒后两车行驶路程分别是 甲车为 20 x 乙车为 25x 两车行驶路程差为 25x 20 x 5x 两车之间距离为 500 5x 所以 y 随 x 变化的函数关系式为 y 500 5x 0 x 100 用描点法画图 x 10203040 y 450400350300 x50607080 y250200150100 课时小结 通过本节课学习 我们认识了函数的三种不同的表示方法 并归纳总结出三种 表示方法的优缺点 学会根据实际情况和具体要求选择适当的表示方法来解决相关 问题 进一步知道了函数三种不同表示方法之间可以转化 为下面学习数形结合的 函数做好了准备 课后作业 板书设计 11 1 4 函数表示方法 一 函数的三种表示方法 二 不同表示方法的优缺点 三 不同表示方法的具体选择 四 随堂练习 14 2 114 2 1 正比例函数正比例函数 学习目标学习目标 1 理解正比例函数的概念及其图象的特征 2 能够画出正比例函数的图象 3 能够判断两个变量是否能够构成正比例函数关系能够利用正比例函数解决 简单的数学问题 学习重点学习重点 正比例函数的概念 学习难点学习难点 正比例函数特征 学习过程学习过程 一 自主探究 一 思考问题一 完成课本 111 页的 思考 观察这些函数关系式 这些函数都是常数与自变量 的形式 一般地 形如 函数 叫做正比例函数 其中 叫做k 二 思考问题二 讨论正比例函数表达式的结构特征 三 思考问题三 画出下列正比例函数的图象 1 1 3 2 3 yxyx 讨论交流 问题 观察并比较 1 两个函数图家象的相同点与不同点和变化规律 2 正比例函数是过原点的一条直线 其变化规律是否与有关 k 观察上题画函数 完成下列问题 1 正比例函数是一条 它一定经过 解 列表 x 3 2 1 0123 3yx 1 3 yx 在同一直角坐标系内 画出它们的图象 2 因为过 点有且只有一条直线 我们在画正比例函数图象时 只需确定 两点 通常是 和 3 象限 随的增大而 0k 当时 直线经过yx 象限 随的减小而 0k 当时 直线经过yx 课堂达标 1 下列函数中 哪些是正比例函数 2 12 1 2 2 3 4 5 1 6 2 7 2 32 s yxyxyvyxyryx x 2 1 若是正比例函数 则 1 n ynx n 2 若函数是关于的正比例函数 则 4 ymx xm 3 已知函数是关于的正比例函数 2 3 2 3 yaxax x 求正比例函数的解析式 2 画出它的图象 3 若它的图象有两点 当时 试比较的大小 1122 A x yB xy 12 xx 12 y y 14 2 1 14 2 1 正比例函数正比例函数 第二课时第二课时 学习目标 学习目标 使学生理解并掌握正比例函数的定义 会用描点法画正比例函数图象 掌握 正比例函数图象的性质 会应用正比例函数的性质解决实际问题 学习重点 学习重点 正比例函数图象和性质 学习难点 学习难点 正比例函数图象和性质的探究 课堂导学 课堂导学 一 复习旧知识 1 函数的定义 一般地 在一个变化过程中有两个变量 和 并且对于 x 的 每一个确定的值 y 都有唯一确定的值与其对应 那么我们就说 x 是 量 是 x 的函数 2 函数图象的定义 一般地 对于一个函数 如果把自变量与函数的每对对应值 分别作为点的横 纵坐标 那么坐标平面内由这些点组成的图形 就是这个函 数的图象 3 函数的三种表示方法 1 2 3 二 新知识的探讨 一 问题 1996 年 鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥 候鸟 套上标志环 大约 128 天后 人们在 25600 千米外的澳大利亚发现了它 1 这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米 2 这只燕鸥的行程 y 单位 千米 与飞行的时间 x 单位 天 之间有什么 关系 3 这只燕鸥飞行一个半月 一个月按 30 天计算 的行程大约是多少千米 二 下列问题中的变量 对应规律可用怎样的函数表示 1 圆的周长 L 随半径 r 大小变化而变化 2 铁的密度为 7 8g cm 铁块的质量 m 单位 g 随它的体积 V 单位 cm 大小变化而变 化 3 每个练习本的厚度为 0 5cm 一些练习本撂在一起的总厚度 h 单位 cm 随这些练 习本的本数 n 的变化而变化 4 冷冻一个 0 物体 使它每分下降 2 物体的温度 T 单位 随冷冻时间 t 单 位 分 的变化而变化 三 观察以下函数 1 2 3 4 T rl 2 vm8 7 nh5 0 t 2 5 这些函数有什么共同点 1280 200 xxy 归纳 一般地 形如的函数 叫做正比例函数 其中 K 叫做比例 Kxy 0K K 是常数 系数 注意 这里强调 K 是常数 0 K 四 新知识的应用 1 你能举出一些正比例函数的例子吗 2 下列函数中哪些是正比例函数 2 12 1 2 2 3 4 5 1 6 2 7 2 32 s yxyxyvyxyryx x 4 若是正比例函数 23 5 m xy 5 若是正比例函数 3 2 2 m xmy 6 若是关于 x 的正比例函数 则 2 1 m xmy 7 已知一个正比例函数的比例系数是 5 则它的解析式为 8 在同一直角坐标系中 画出下列正比例函数的图象 xy2 xy2 比较上面的两个函数的图象的相同点与不同点 考虑两个函数的变化规律 填写 你发现的规律 两个图象都是经过 点的 线 函数的图象从左向右呈xy2 趋势 经过第 象限 函数的图象从左向右呈xy2 趋势 经过第 象限 五 小结 这节课你学到了些什么知识 你有什么收获 14 2 214 2 2 一次函数一次函数 学习目标 学习目标 1 记住一次函数的概念 知道一次函数与正比例函数关系 2 能正确识别一次函数解析式 能根据已知确定一次函数解析式 学习重点 学习重点 一次函数解析式的特点 学习难点 学习难点 依据数量关系确定一次函数关系式 学习过程 学习过程 二 想一想 这些函数在形式上有什么共同特点 如果用y表示函数 用 x 表示自 变量 k 为自变量的倍数 b 为常数项 能不能用一个式子表示出函数关系式 发现 一般地 形如 y kx b k b 是常数 k 0 的函数 叫做一次函数 三 议一议 1 结合你对一元一次方程中的一次的理解 说一说你对一次函数中的 一次 的理解 判断下列函数是不是一次函数 1 y 8x 2 2 y 5x2 6 3 y 0 5x 1 2 k 可以为 0 吗 说说你的理由 已知 y m 1 x 2 当 m 是 x 的一次函数 3 b 可以为 0 吗 若 b 为 0 一次函数和正比例函数有什么关系 说一说你的 发现 四 思维大比拼 1 下列式子中哪些是一次函数 哪些又是正比例函数 若不是一次函数 请 说明理由 1 y 8x 2 3 4 y x 5 8 y x 2 0 32yx 12 7 t c 6 7 c 4 8 6x 8 9 y x 6 10 y kx36yx 一 自学教材并完成下表 函数解析式函数 自变 量 自变量 的倍数 常数项 1 2 3 4 2 指出上题中的一次函数中 k b 的值 五 错题医院 判断下列函数是不是一次函数 1 y 3x 2 3x 2 y 2x2 6x 2x2 答 是 因为自变量 x 的次数为 1 答 不是 因为自变量 x 的次数为 2 化简一下关系式 分析看错在那里了 六 课堂练习 1 一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动 其速度每秒增加 2 米 1 求小球速度 v 随时间 t 变化的函数关系 它是一次函数吗 2 求第 2 5 秒时小球的速度 2 汽车油箱中原有油 50 升 如果行驶中每小时用油 5 升 求油箱中的油量 y 单位 升 随行驶时间 x 单位 时 变化的函数关系式 并写出自变量 x 的 取值范围 y 是 x 的一次函数吗 八 拓展提升 1 当 m y 是 x 的一次函数 1 2 m ymx 2 当 m y 是 x 的正比例函数 2 1 1ymxm 14 2 214 2 2 一次函数的图象与性质一次函数的图象与性质 通过这节课的学习 我要达到的目标 1 理解直线 y kx b 与直线 y kx 之间的位置关系 2 会画一次函数的图象 3 掌握一次函数的性质 一 试一试 请大家在同一坐标系内作出下列函数 y x y x 2 y x 2 的图象 x 2 1012 y x y x 2 y x 2 X y 2 0 归纳 这几个函数的图象形状都是 并且倾斜程度 函数 y x 的图象经过 原点 函数 y x 2 的图象与 y 轴交于点 即它可以看作由直线 y x 向 平 移 个单位长度而得到 函数 y x 2 的图象与 y 轴交于点 即它可以看作 由直线 y x 向 平移 个单位长度而得到 二 做一做 1 画出函数 y 2x 1 与 y x 1 的图象 2 画出函数 y 2x l 与 y x 1 的图象 x01 y 2x 1 y x 1 x01 y 2x 1 y x 1 x 2 结论 1 当 k 0 时 y 随 x 的增大而 当 k2 时 y y 与 x 的函数解析式也可合起来表示为 3 画函数图像 变式训练 今年入夏以来 全国大部分地区发生严重干旱 某市自来水公司为了鼓励市民节约 用水 采取分段收费标准 若某户居民每月应交水费 y 元 是用水量 x 吨 的 函数 当 0 x 5 时 y 0 72x 当 x 5 时 y 0 9x 0 9 1 画出函数的图象 2 观察图象 利用函数解析式 回答自来水公司采取的收费标准 分析 画函数图象时 应就自变量 0 x 5 和 x 5 分别画出图象 当 0 x 5 时 是正比例函数 当 x 5 是一次函数 所以这个函数的图象是一条折线 三 课堂探究 如图 折线 ABC 是在某市出租车所付车费 y 元 与行车里程 x km 之间的函数关 系图像 1 根据图像 写出当 x 3 时该图像的函数关系式 2 某人乘坐 2 5km 应付多少钱 3 某人乘坐 13km 应付多少钱 4 若某人付车费 30 8 元 出租车行驶了多少千米 跟踪训练 1 以 200 米 分的速度起跑后 先匀速跑 5 分 每分提高速度 20 米 分 又匀速跑 10 分 试写出这段时间里她跑步速度 y 单位 米 分 随跑步时间 x 单位 分 变化的函数关系式 并画出函数图像 分析 本题 y 随 x 的变化规律分成两段 前 5 分与后 10 分 写出 y 随 x 变化的函 数关系式时要分两部分 画函数图像也要分成两段来画 四 反馈检测 1 为缓解用电紧张矛盾 某电力公司特制定了新的用电收费标准 每月用电量 x 度 与应付电费 y 元 的关系如图所示 根据图像 请分别求出当 0 x 50 和 x 50 时 y 与 x 的函数关系式 2 旅客乘车按规定可以免费携带一定重量的行李 如果所带行李超过了规定的重 量 就要按超重的千克收取超重行李费 已知旅客所付行李费 y 元 可以看成他 们携带的行李质量 x 千克 的一次函数为 画出这个函数的图象 并5 6 1 xy 求旅客最多可以免费携带多少千克的行李 五 你本节课有哪些收获呢 写下来与你的同学分享一下吧 14 3 1 一次函数与一元一次方程 第一次函数与一元一次方程 第 1 课时 课时 学习目标 理解一次函数与一元一次方程的关系 会根据一次函数的图像解决一元一次 方程的求解 学习重点 用一次函数的图像来联系求解一元一次方程 学习难点 一次函数与一元一次方程的关系的发现 归纳 和运用 学习过程 一 引入与探讨 探讨一次函数与一元一次方程的关系 问题 1 解方程 2x 20 0 它的解为 问题 2 自变量 x 为何值时 函数 y 2x 20 的值为 0 联想 问题 1 2 是同一个问题吗 问题 3 画出直线 y 2x 20 的 图像 并确定它与 x 轴交点的坐标 析 由图像可知 直线 y 2x 20 与 x 轴的交点坐标是 联想 直线 y 2x 20 与 x 轴交点的坐标与方程 2x 20 0 的解有什么关系 通过探究可以发现 由于任何一元一次方程都可以转化为 的形式 所 以解一元一次方程可以转化为求一次函数 y 函数值为 0 时的相应的自变量 的值 从图像上看 这又相当于求直线 y 与 轴交点的横坐标 简言之 求一元一次方程的解就是求一次函数与 x 轴交点的横坐标 二 例题演示 例 一个物体现在的速度为 5 米 秒 其速度每秒增加 2 米 秒 那么 再过几秒 其速度是 17 米 秒 解 速度 y 与时间 x 的函数关系是 当 y 时 17 即 2x 12 0 画出 y 2x 12 的图像 显然 直线 y 2x 12 与 x 轴的交点为 x 做一做 当 x 满足什么条件时 函数 y 3x 8 的值满足下列条件 1 y 0 2 y 7 三 巩固检测 1 直线 y 3x 9 与 x 轴的交点是 2 画出函数 y 2x 1 的图像 并利用图像求方程 1 2x 0 的解 分析 画出函数图像后 求出直线 y 2x 1 与 x 轴交点的横坐标 即为 2x 1 0 的解 也就是 1 2x 0 的解 3 已知函数 y 2x 4 从一次函数的角度求方程 2x 4 0 的解 4 已知直线 y 2x 4 与 x 轴交点 A 与 y 轴交点 B 求 AOB 的面积 四 你本节收获了什么 14 3 114 3 1 一次函数与一元一次方程 第一次函数与一元一次方程 第 2 课时 课时 我真的很聪明 我会选 1 直线 y kx 3 与 x 轴的交点是 1 0 则 k 的值是 A 3 B 2 C 2 D 3 2 已知直线 y kx b 与直线 y 3x 1 交于 y 轴同一点 则 b 的值是 A 1 B 1 C 1 3 D 1 3 3 已知 y y1 y2 其中 y1 2x y2 3x 1 则 y y1 y2 的图像经过 象限 A 一 二 三 B 一 二 四 C 二 三 四 D 一 三 四 我很棒 我能填 4 已知关于 的方程 mx n 0 的解是 x 2 则直线 y mx n 与 x 轴的交战坐标是 5 方程 3x 2 8 的解是 则函数 y 3x 2 在自变量 x 等于 时的函数值是 8 6 直线 y 2x b 与直线 y 3x 4 的交点在 x 轴上 则 b 的值为 7 在直角坐标系中 若直线 y 1 2x 2 与直线 y 1 4x a 相交与 x 轴 则直线 y 1 4x a 不经过第 象限 探究乐园 8 有一个一次函数的图象 可心和黄瑶分别说出了它的两个特征 可心 图象与 x 轴交于点 黄瑶 图象与 x 轴 y 轴围成的三角形的面积是 9 你知道这个一次函数的关系式吗 9 已知一次函数的图象过点 且与两条坐标轴围成的直角三角形的面 积为 求一次函数的解析式 10 某同学将父母给的零用钱探疑每朋相等的数额放在储蓄盒内 准备捐给希望工 程 盒内原来有 40 元 个月后盒内有 80 元 求盒内钱数 y 元 与存钱月数 x 之间的函数关系式 不要求写出 x 的取值 范围 在直角坐标系中作出该函数的图象 观察图象回答 按上述方法 该同学经过 个月能存够 200 元 解 1 y 2 列表 x01 Y 3 作图 14 3 2 一次函数与一元一次不等式一次函数与一元一次不等式 学习目标 学习目标 1 解一元一次不等式可以看作是 当一次函数值大于 或小于 0 时 求自变 量相应的取值范围 2 会根据一次函数图像求一元一次不等式的解集 会根据一次函数图像求一元一次不等式的解集 学习重点 学习重点 一次函数与一元一次不等式的关系 学习难点 学习难点 利用一次函数图像确定一元一次不等式的解集 学习过程 学习过程 一 回顾交流 获取新知 1 解答下列问题 思考问题间的联系 解不等式 3x 153x 10 当自变量 x 为何值时 函数 y 2x 4 的值大于 0 2 试将下列解不等式转化为函数的问题 解不等式 2x 4 0 可看作 当 x 2 时 函数 y 的函数值大于 0 解不等式 3x 2 0 可看作 当 x 时 函数 的函数值小于 0 解不等式 5x 40 或 ax b0 或 ax b 0 可看作当一次函数 y ax b 的函数值大于 0 或小于 0 时 求 相应的 二 范例点击 应用新知 例 1 已知不等式 3x 6 0 解不等式 3x 6 0 可看作 当 x 时 函数 的函数值 用画函数图象的方法解不等式 3x 60 即 y 0 x 时 3x 6 6 即 y 6 即 y 6 例 2 用画函数图象的方法解不等式 5x 4 2x 10 解法 1 原不等式可化为 0 y0 当 x 时 x 1y2 当 x 时 y10 或 kx b0 或 kx b1 B x 1 C x 1 D x 1 6 已知直线 y 2x k 与 x 轴的交点为 2 0 则关于 x 的不等式 2x k 2 B x 2 C x0 a 0 的解集是 x12 的解集是 10 已知关于 x 的不等式 kx 2 0 k 0 的解集是 x 3 则直线 y kx 2 与 x 轴 的交点是 11 已知不等式 x 5 3x 3 的解集是 x2280 即当照明时间大于 2280 小时 购买节能灯较省钱 若 y1 y2 则有 60 0 5 0 01x 3 0 5 0 06x 解得 x 2280 即当照明时间小于 2280 小时 购买白炽灯较省钱 若 y1 y2 则有 60 0 5 0 01x 3 0 5 0 06x 解得 x 2280 即当照明时间等于 2280 小时 购买节能灯 白炽灯均可 解 设照明时间是 x 小时 节能灯的费用 y1 元表示 白炽灯的费用 y2 元表示 则 有 y1 60 0 5 0 01x y2 3 0 5 0 06x 若 y1 y2 则有 60 0 5 0 01x 3 0 5 0 06x 解得 x 2280 即当照明时间大于 2280 小时 购买节能灯较省钱 若 y1 y2 则有解得 x 2280 即当照明时间小于 2280 小时 购买白炽灯较省钱 若 y1 y2 则有 60 0 5 0 01x 3 0 5 0 06x 即当照明时间等于 2280 小时 购买节能灯 白炽灯均可 能否利用函数解析式和图象也可以给出解答呢 解 设照明时间是 x 小时 节能灯的费用 y1 元表示 白炽灯的费用 y2 元表示 则 有 y1 60 0 5 0 01x y2 3 0 5 0 06x 即 y1 0 005x 60 y2 0 03x 3 由图象可知 当照明时间小于 2280 时 y2 y1 故用节能灯省钱 当照明时间等于 2280 小时 y2 y1 购买 节能灯 白炽灯均可 方法总结 1 建立数学模型 列出两个函数关系式 2 通过解不等式或利用图象来确定自变量的取值范围 3 选择出最佳方案 课堂小结 本节课你有哪些收获 y 2 y 1 0 71 4 60 2280 3 y x 14 414 4 课题学习课题学习 选择方案 第二课时 师生共用讲学稿选择方案 第二课时 师生共用讲学稿 学习目标学习目标 1 巩固一次函数知识 灵活运用变量关系解决相关实际问题 2 有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用 提高解决实际问题的能 力 3 让学生认识数学在现实生活中的意义 发展学生运用数学知识解决实际问 题的能力 学习重点学习重点 1 建立函数模型 灵活运用数学模型解决实际问题 学习过程学习过程 导入新课 问题 有甲乙两种客车 甲种客车每车能装 30 人 乙种客车每车能装 40 人 现在有 400 人要乘车 1 你有哪些乘车方案 2 只租 8 辆车 能否一次把客人都运送走 问题二 怎样租车 某学校计划在总费用 2300 元的限额内 利用汽车送 234 名学生和 6 名教师集体外 出活动 每辆汽车上至少有 1 名教师 现有甲 乙两种大客车 它们的载客量和租 金如表 甲种客车乙种客车 载客量 单位 人 辆 4530 租金 单位 元 辆 400280 1 共需租多少辆汽车 2 给出最节省费用的租车方案 分析 1 要保证 240 名师生有车坐 2 要使每辆汽车上至少要有 1 名教师 根据 1 可知 汽车总数不能小于 根据 2 可知 汽车总数不能大于 综合起来可知汽车总数为 设租用 x 辆甲种客车 则租车费用 y 单位 元 是 x 的函数 即 y 400 x 280 6 x 化简为 y 120 x 1680 讨论 根据问题中的条件 自变量 x 的取值应有几种可能 为使 240 名师生有车坐 x 不能 小于 为使租车费用不超过 2300 元 X 不能超过 综合起来可知 x 的取值为 在考虑上述问题的基础上 你能得出几种不同的租车方案 为节省费用应选择其中 的哪种方案 试说明理由 方案一 4 两甲种客车 2 两乙种客车 y1 120 4 1680 2160 方案二 5 两甲种客车 1 辆乙种客车 y2 120 5 1680 2280 应选择方案一 它比方案二节约 120 元 3 学生练习 2 根据市场调查分析 为保证市场供应 某蔬菜基地准备安排 40 个劳力 用 10 公顷地种植黄瓜 西红柿和青菜 且青菜至少种植 2 公顷 种植这三种蔬菜 所需劳动力和预计产值如下表 蔬菜品种黄瓜西红柿青菜 每公顷所需劳力 个 5 15 4 5 2 每公顷预计产值 千元 22 5 1812 问怎样安排种植面积和分配劳动力 使预计的总产值最高 小结 通过这节课的学习 你有什么收获 1 1 y y 5 5x x 1 12 27 75 5 1 1 x x 1 14 4 2 y 万万吨吨 千千米米 O x 吨吨 114 1280 1345 O 1280 1345 O 1280 1345 O 1280 1345 14 4 314 4 3 课题学习课题学习 选择方案 第三课时 选择方案 第三课时 学习目标学习目标 1 巩固一次函数知识 灵活运用变量关系解决相关实际问题 2 有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用 提高解决实际问题的能 力 3 让学生认识数学在现实生活中的意义 发展学生运用数学知识解决实际问 题的能力 学习重点学习重点 1 建立函数模型 灵活运用数学模型解决实际问题 学习过程学习过程 问题 3 怎样调水 从 A B 两水库向甲乙两地调水 其中甲地需水 15 万吨 乙地需水 13 万吨 A B 两 水库各可调水 14 万吨 从 A 地到甲地 50 千米 到乙地 30 千米 从 B 地到甲地 60 千米 到乙地 45 千米 设计一个调运方案 使得水的调运量 单位 万吨 千米 最小 甲乙总计 Ax14 x14 B15 xx 114 C151328 首先应考虑到影响水的调运量的因素有两个 即水量 单位 万吨 和运程 单位 千米 水的调运量是两者的乘积 单位 万吨 千米 其次应考虑到由 A B 水库运往甲 乙两地的水量共 4 个量 即 A 甲 A 乙 B 甲 B 乙的水 量 它们互相联系 设从 A 水库调往甲地的水量为 x 吨 则有 设水的运量为 y 万吨 千米 则有 y 50 x 30 14 x 60 15 x 45 x 1 1 化简这个函数 并指出其中自变量 x 的取值应有什么限制条件 2 画出这个函数的图像 3 结合函数解析式及其图像说明水的最佳调运方案 水的最小调运量是多少 4 如果设其他水量 例如从 B 水库调往乙地的水量 为 x 万吨 能得到同样的 最佳方案么 1 y 5x 1275 1 x 14 3 最佳方案为 从 A 调往甲 1 万吨水 调往乙 13 万吨水 从 B 调往甲万水 水的最小调运量为 1280 万吨 千米 4 最佳方案相同 2 学生练习 1 东风商场文具部的某种毛笔每支售价 25 元 书法练习本每本售价 5 元 该 商场为了促销制定了两种优惠方案供顾客选择 甲 买一支毛笔赠送一本