八年级数学下册 第1章 直角三角形1.2 直角三角形的性质与判定（Ⅱ）第1课时习题课件 （新版）湘教版

1 2直角三角形的性质和判定 第1课时 1 掌握勾股定理 知道直角三角形三边之间的关系 2 会运用勾股定理进行有关计算 重点 难点 一 勾股定理1 借助方格纸画一个直角三角形 使其两直角边分别是3cm 4cm 通过测量 其斜边为 cm 2 如图 四边形均是正方形 小正方形网格边长均为1 sa sb sc 25 则它们的面积之间满足 5 16 9 sa sb sc 总结 勾股定理 直角三角形两直角边a b的 等于斜边c的 即 平方和 平方 a2 b2 c2 二 勾股定理的拼图验证如图 将4个非等腰的直角三角形拼成一个大的正方形 1 拼得大正方形的边长为 则它的面积是 大正方形的面积还可以表示为 4 2 由它们的面积关系可得 4 整理得 a b a b 2 c2 a b 2 c2 a2 b2 c2 打 或 1 一个直角三角形的两边长分别是3和4 则第三边长为5 2 如果 abc中 c 90 那么ab2 bc2 ac2 3 勾股定理适用于任意的直角三角形 4 在直角三角形中 任意两边的平方和等于第三边的平方 知识点1勾股定理的证明 例1 利用四个如图1所示的直角三角形 拼出如图2所示的图形 验证勾股定理 思路点拨 利用图形间的数量关系 大正方形面积 四个直角三角形面积 小正方形面积 来验证 自主解答 如题干图所示 在图2中 利用图1边长为a b c的四个直角三角形拼成一个以c为边长的正方形 则图2中的小正方形的边长为 b a 面积为 b a 2 四个直角三角形的面积为4 ab 2ab 由图2可知 大正方形的面积 四个直角三角形的面积 小正方形的面积 即c2 b a 2 2ab 则a2 b2 c2问题得证 总结提升 勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多 通过对图形的割补 拼接等方法 利用图形面积之间的关系进行证明 也可把直角三角形放在方格中 通过数格子 计算或用面积方法证明 知识点2勾股定理的应用 例2 如图 在 abc中 acb 90 cd ab d为垂足 ac 2 1 ab 3 5 求 1 bc的长 2 abc的面积 3 斜边ab上的高cd的长 4 斜边被分成的两部分ad和bd的长 思路点拨 1 勾股定理 bc2 ab2 ac2 bc 2 两直角边的积的一半 abc的面积 3 abc面积的两种表示方法 ac bc ab cd cd 4 勾股定理 ad2 ac2 cd2 bd ab ad 自主解答 1 bc2 ab2 ac2 3 52 2 12 2 82 所以bc 2 8 2 s abc ac bc 2 1 2 8 2 94 3 由三角形的面积公式得ac bc ab cd 所以 2 1 2 8 3 5 cd 解得cd 1 68 4 在rt acd中 由勾股定理得 ad2 cd2 ac2 所以ad2 ac2 cd2 2 12 1 682 2 1 1 68 2 1 1 68 3 78 0 42 2 1 89 2 0 21 22 9 0 21 0 21 所以ad 2 3 0 21 1 26 所以bd ab ad 3 5 1 26 2 24 总结提升 运用勾股定理求解线段长度问题的 四步法 1 找直角 找出图中的直角三角形 或作辅助线构造直角三角形 2 定关系 找出所求线段与直角三角形三边的关系 3 计算 根据勾股定理计算相关线段的平方 4 求值 估算所求数值是哪个数的平方 然后确定线段长度 知识点3利用勾股定理解决实际问题 例3 如图 在公路ab旁有一座山 现有一c处需要爆破 已知点c与公路上的停靠站a距离为300m 与公路上另一停靠站b的距离为400m 且ca cb 为了安全起见 爆破点c周围半径250m范围内不得进入 问在进行爆破时 公路ab段是否因有危险而需要暂时封锁 思路点拨 要判断公路ab段是否需要封锁 需要计算点c到ab的距离与250m的大小关系 借助勾股定理和三角形的面积计算点c到ab的距离 自主解答 过点c作cd ab于d 因为bc 400m ac 300m acb 90 根据勾股定理 得ac2 bc2 ab2 即3002 4002 ab2 所以ab 500m 由三角形的面积可知 ab cd bc ac 所以500 cd 400 300 所以cd 240m 因为240 250 即点c到ab的距离小于250m 所以有危险 公路ab段需要暂时封锁 总结提升 应用勾股定理解决实际问题的步骤1 读懂题意 建立数学模型 2 分析数量关系 数形结合 正确标图 将已知条件体现到图形中 充分利用图形的功能和性质 3 应用勾股定理进行计算或建立等量关系 构建方程求解 4 解决实际问题 题组一 勾股定理的证明1 历史上对勾股定理的一种证法采用了右面图形 其中两个全等的直角三角形边ae eb在一条直线上 证明中用到的面积相等关系是 a s eda s cebb s eda s ceb s cdec s四边形cdae s四边形cdebd s eda s cde s ceb s四边形abcd 解析 选d 由s eda s cde s ceb s四边形abcd 可知ab c2 ab a b 2 所以c2 2ab a2 2ab b2 整理得a2 b2 c2 所以证明中用到的面积相等关系是 s eda s cde s ceb s四边形abcd 2 勾股定理是几何中的一个重要定理 在我国古算书 周髀算经 中就有 若勾三 股四 则弦五 的记载 如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的 可以用其面积关系验证勾股定理 图2是由图1放入矩形内得到的 bac 90 ab 3 ac 4 点d e f g h i都在矩形klmj的边上 则矩形klmj的面积为 a 90b 100c 110d 121 解析 选c 延长ab与kl相交于n 延长ac与ml相交于q 根据勾股定理中的赵爽弦图知 abc qcg lgf nfb 根据全等三角形对应边相等 得ml 3 4 4 11 kl 3 4 3 10 所以矩形klmj的面积为110 3 如图 将rt abc绕其锐角顶点a逆时针旋转90 得到rt ade 连接be 延长de bc相交于点f 则有 bfe 90 且四边形acfd是一个正方形 1 判断 abe的形状 并说出理由 2 用含b的代数式表示四边形abfe的面积 3 说明 a2 b2 c2 解析 1 abe是等腰直角三角形 理由 因为rt abc绕其锐角顶点a逆时针旋转90 得到rt ade 所以 bac dae 所以 bae bac cae cae dae 90 又因为ab ae 所以 abe是等腰直角三角形 2 因为四边形abfe的面积等于正方形acfd的面积 所以四边形abfe的面积等于b2 3 因为s正方形acfd s bae s bfe 即 b2 c2 b a b a 整理 2b2 c2 b a b a 所以a2 b2 c2 题组二 勾股定理的应用1 2013 佛山中考 如图 若 a 60 ac 20m 则bc大约是 结果精确到0 1m a 34 64mb 34 6mc 28 3md 17 3m 解析 选b a 60 c 90 b 30 ab 2ac ac 20m ab 40m 2 2013 滨州中考 在 abc中 c 90 ab 7 bc 5 则边ac的长为 解析 在 abc中 c 90 ab 7 bc 5 ac 答案 3 2013 张家界中考 如图 op 1 过p作pp1 op且pp1 1 得op1 再过p1作p1p2 op1且p1p2 1 得op2 又过p2作p2p3 op2且p2p3 1 得op3 2 依此法继续作下去 得op2012 解析 由勾股定理可得 op1 op2 op3 2 所以op2012 答案 4 如图 直线l上有三个正方形a b c 若a c的面积分别为5和11 则b的面积为 解析 如图 因为a b c都是正方形 所以ac cd acd 90 acb dce acb bac 90 即 bac dce abc ced 90 ac cd acb cde ab ce bc ed 在rt abc中 由勾股定理得 ac2 ab2 bc2 ab2 de2 即sb sa sc 5 11 16 答案 16 5 小明将一副三角板如图所示摆放在一起 发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长 若已知cd 2 求ac的长 解析 bd cd 2 bc 设ab x 则ac 2x 题组三 利用勾股定理解决实际问题1 2013 济南中考 如图 小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端 绳子末端刚好接触到地面 然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处 发现此时绳子末端距离地面2m 则旗杆的高度 滑轮上方的部分忽略不计 为 a 12mb 13mc 16md 17m 解析 选d 如图所示 作bc ae于点c 则bc de 8m 设ae xm 则ab xm ac x 2 m 在rt abc中 ac2 bc2 ab2 即 x 2 2 82 x2 解得x 17 2 如图 在水塔o的东北方向32m处有一抽水站a 在水塔的东南方向24m处有一建筑工地b 若在ab间建一直水管 则水管的长为 a 45mb 40mc 50md 56m 解析 选b 由题意知 aob为直角三角形 因为oa 32m ob 24m 所以ab 40 m 3 在布置新年联欢会的会场时 小虎准备把同学们做的拉花用上 他搬来了一架高为2 5m的梯子 要想把拉花挂在高2 4m的墙上 小虎应把梯子的底端放在距离墙m处 解析 由勾股定理得 梯子的底端到墙的距离为 0 7 m 答案 0 7 4 如图 某人欲横渡一条河 由于水流的影响 实际上岸地点c偏离欲到达点b200m 结果他在水中实际游了520m 则该河流的宽度