正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

二 二 正弦型函数正弦型函数 y Asin x 的图象及应用的图象及应用 A A 基础梳理 1 用五点法画 y Asin x 一个周期内的简图时 要找五个特征点 如下表所示 x 0 2 3 2 2 x 0 2 3 2 2 y Asin x 0A0 A0 2 函数 y sin x 的图象变换得到 y Asin x 的图象的步骤 3 当函数 y Asin x A 0 0 x 0 表示一个振动时 A 叫做振幅 T 叫做周期 f 叫做频率 x 叫做相位 叫做初相 2 1 T 4 图象的对称性 函数 y Asin x A 0 0 的图象是轴对称也是中心对称图形 具体如下 1 函数 y Asin x 的图象关于直线 x xk 其中 xk k k Z 成轴对称图形 2 2 函数 y Asin x 的图象关于点 xk 0 其中 xk k k Z 成中心对称图形 B B 方法与要点 1 一种方法 在由图象求三角函数解析式时 若最大值为 M 最小值为 m 则 A k 由周期 T 确定 M m 2 M m 2 即由 T 求出 由特殊点确定 2 2 一个区别 由 y sin x 的图象变换到 y Asin x 的图象 两种变换的区别 先相位变换再周期变换 伸缩变换 平移的量是 个单位 而先周期变换 伸缩变换 再相位变换 平移的量是 0 个单位 原因在于相位 变换和周期变换都是针对 x 而言 即 x 本身加减多少值 而不是依赖于 x 加减多少值 3 两个注意 作正弦型函数 y Asin x 的图象时应注意 1 首先要确定函数的定义域 2 对于具有周期性的函数 应先求出周期 作图象时先作一个周期的图象 再由周期性作整个函数的图 象 C 双基自测 1 人教 A 版教材习题改编 y 2sin 的振幅 频率和初相分别为 2x 4 A 2 B 2 C 2 D 2 1 4 1 2 4 1 8 1 2 8 2 已知简谐运动 f x Asin x 的部分图象如图所示 2 则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 分别为 A T 6 B T 6 C T 6 D T 6 6 3 6 3 3 函数 y cos x x R 的图象向左平移 个单位后 得到函数 y g x 的图象 则 g x 的解析式应为 2 A sin x B sin x C cos x D cos x 4 设 0 函数 y sin 2 的图象向右平移个单位后与原图象重合 则 的最小值是 x 3 4 3 A B C D 3 2 3 4 3 3 2 5 已知函数 f x sin x 0 的图象如图所示 则 D 考点解析 考点一 函数的图象 sin xAy 题型题型 1 给出函数作图象 给出函数作图象 例 1 1 设函数f x cos x 的最小正周期为 且f 0 2 0 4 3 2 1 求 和 的值 2 在给定坐标系中作出函数f x 在 0 上的图象 审题视点 1 由已知条件可求 2 采用 五点法 作图 应注意定义域 0 1 五点法 作图的关键是正确确定五个点 而后列表 描点 连线即可 2 变换法作图象的关键看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移 对于后者可利用 x 来确定平移单位 x 训练 1 1 已知函数f x 3sin x R R 1 2x 4 1 画出函数f x 在长度为一个周期的闭区间上的简图 2 将函数y sin x的图象作怎样的变换可得到f x 的图象 题型题型 2 给出图象求函数 给出图象求函数 例 1 2 1 已知函数 y Asin x A 0 0 2 的图象的一部分如图所示 1 求 f x 的表达式 2 试写出 f x 的对称轴方程 2 07 年江西卷 如图 函数的图象与轴 2cos 0 2 yxx R y 相交于点 且该函数的最小正周期为 03 1 求和的值 2 已知点 A 点 P 是该函数图象上的一点 点 Q是 PA 的中点 当 0 2 00 yx 时 求的值 2 2 3 0 xy 0 x 训练 1 2 1 05 年四川卷 年四川卷 下列函数中 图象的一部分如右图所示的是 A B sin 6 yx sin 2 6 yx C D cos 4 3 yx cos 2 6 yx 2 2005 天津卷文 函数 2 0 sin RxxAy 的部分图象如图所示 则函数表达式为 A B 48 sin 4 xy 48 sin 4 xy C D 48 sin 4 xy 48 sin 4 xy 3 2009 宁夏海南卷理 已知函数 y sin x 0 的图像如图所示 则 4 2009 辽宁卷理 已知函数 Acos f xx 的图象如图所示 则 2 23 f 0 f A B C D 21 世纪教育网 2 3 2 3 1 2 1 2 考点二 函数 y Asin x 的图象变换 题型题型 1 给定原函数 给定原函数和变换过程求变换后的函数和变换过程求变换后的函数 xf 例 2 1 1 2009 全国卷 理 若将函数的图像向右平移个单 tan0 4 yx 6 位长度后 与函数的图像重合 则的最小值为tan 6 yx A B C D 1 6 1 4 1 3 1 2 例 2 1 2 函数 y cosx 的图象向左平移个单位 横坐标缩小到原来的 纵坐标扩大到原来的 3 1 2 3 倍 所得的函数图象解析式为 A y 3cos x B y 3cos 2x C y 3cos 2x D y cos x 1 23 3 2 3 1 3 1 26 3 若改为 把函数 y cosx 的图象先横坐标缩小到原来的 再向左平移个单位 其他不变呢 1 23 注意先后顺序 若先平移再左右伸缩 则 bxfxf b 左右平移 a左右伸缩 1 bx a f 若先左右伸缩再平移 则 ba x a fxf 左右平移左右伸缩 1 1 bx a f 训练 2 1 y 1 o 1 2 4 3 x 1 2012 2012 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 4 4 把函数 y cos2x 1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标 不变 然后向左平移 1 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 得到的图像是 2 先将函数 y f x 的图象向右移个单位 再将所得的图象作关于直线 x 的对称变换 得到 6 4 的函数图象 则 f x 的解析式是 3 2sin xy A B 3 2sin xy 3 2sin xy C D 3 2sin xy 3 2sin xy 3 把函数 y sin 2x 的图象向右平移个单位 再将横坐标缩小为原来的 则其解析式为 4 8 2 1 题型题型 2 给定变换前后函数求变换过程 给定变换前后函数求变换过程 例 2 2 1 其图象可以由 y sinx 的图象经过怎样的变换得到 2 3 sin xxf 例 2 2 2 05 年天津卷 年天津卷 要得到函数的图象 只需将函数xycos2 的图象上所有的点的 C 4 2sin 2 xy A 横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 再向左平行移动个单位长度 2 1 8 B 横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 再向右平行移动个单位长度 2 1 4 C 横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 再向左平行移动个单位长度 4 D 横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 再向右平行移动个单位长度 8 训练 2 2 1 要得到函数的图象 只要将函数 y sin2x 的图象 A 向左平移个单位B 向右平移个单位 C 向左平移个单位D 向右平移个 单位 2 将的图象变为 其变换方法是 3 2sin xy 3 3sin xy 3 已知函数的最小正周期为 为了得到函数 sin 0 4 f xxxR 的图象 只要将的图象 cosg xx yf x A 向左平移个单位长度 B 向右平移个单位长度 8 8 C 向左平移个单位长度 D 向右平移个单位长度 4 4 4 有下列四种变换方式 向左平移 再将横坐标变为原来的 横坐标变为原来的 再向左平移 4 2 1 2 1 8 横坐标变为原来的 再向左平移 向左平移 再将横坐标变为原来的 2 1 4 8 2 1 其中能将正弦曲线的图像变为的图像的是 xysin 4 2sin xy A 和 B 和 C 和 D 和 5 写出函数 y 4sin2x x R 的图像可以由函数 y cosx 通过怎样的变换而得到 至少写出两个顺序不同 的变换 考点三 三角函数模型的简单应用 例 3 一个大风车的半径为 8 米 12 分钟旋转一周 它的最低点 离地面 2 米 求风车翼片的一个端点离地面距离 h 米 与时间 t 分钟 之间的函数关系式 训练 3 设是某港口水的深度关于时间 t 时 的函数 其中 下表是该港口某一天 yf t 024t 从 0 至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系 t03691215182124