高考数学一轮总复习 第五章 数列、推理与证明 第1讲 数列的概念与简单表示法课件 理.ppt

第五章 数列 推理与证明 第1讲数列的概念与简单表示法 1 数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列 数列中的每一个数叫做这个数列的项 数列可以看作是定义域为n 的非空子集的函数 其图象是一群孤立的点 2 数列的分类 无限 3 数列的表示法 数列有三种表示法 它们分别是列表法 图象法和解析法 4 数列的通项公式 如果数列 an 的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式an f n 来表示 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 an 1 an 1 b b d 1 数列1 2 4 8 16 32 的一个通项公式是 a an 2n 1b an 2n 1c an 2nd an 2n 12 数列1 3 5 7 9 的一个通项公式为 a an 2n 1b an 1 n 1 2n 1 c an 1 n 2n 1 d an 1 n 2n 1 4 如图5 1 1 根据下面的图形及相应的点数 写出点数构 5n 4 成的数列的一个通项公式an 图5 1 1 考点1由数列的前几项写数列的通项公式例1 分别写出下列数列的一个通项公式 数列的前4项已给出 3 0 9 0 99 0 999 0 9999 4 5 4 5 4 规律方法 对于一个公式能否成为一个给出的前n项的 数列的通项公式 需逐项加以验证 缺一不可 根据数列 an 的前n项求通项公式 我们常常取其形式上较简便的一个即可 另外 求通项公式 一般可通过观察数列中各项的特点 进行分析 概括 然后得出结论 必要时可加以验证 已知数列的前几项求通项公式 主要从以下几个方面来考 虑 负号用 1 n与 1 n 1 或 1 n 1 来调节 分数形式的数列 分析分子 分母的特征 且充分借助 分子 分母的关系 相邻项的变化特征 拆项后的特征 对于比较复杂的通项公式 要借助于等差数列 等比数 列 后面专门学习 和其他方法解决 此类问题虽无固定模式 但也有规律可循 主要靠观察 观察规律 比较 比较已知的数列 归纳 转化 转化为等差或等比数列 等方法 互动探究 a 1个 b 2个 c 3个 d 4个 解析 由三角函数公式知 和 实质上是一样的 不难验证 它们是已知数列1 0 1 0的通项公式 对于 易看出 它不是数列 an 的通项公式 对于 将n 3代入 a3 3 1 故 不是 an 的通项公式 显然是数列 an 的通项公式 综上所述 可作为数列 an 的通项公式的有3个 故选c 答案 c 2 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 如图5 1 2 图5 1 2 他们研究过图5 1 2 1 中的1 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形数 类似地 称图5 1 2 2 中的1 4 9 16 这样的数为正方形数 下列数中既是三角形数又是 正方形数的是 c a 289 b 1024 c 1225 d 1378 考点2由数列的前n项和求数列的通项公式例2 已知数列 an 满足an 1 2an 1 n n 1 若a1 1 写出此数列的前4项 并推测该数列的通 项公式 2 若a1 1 写出此数列的前4项 并推测该数列的通项 公式 规律方法 数列的递推公式是由递推关系式 递推 和首项 基础 两个因素所确定的 即使递推关系完全一样 而首项不同就可得到两个不同的数列 适当配凑是本题进行归纳的前提 从整体把握是现代数学的重要手段 加强类比是探索某些规律的常用方法之一 解 1 a1 a2 a3 a4 1 可推测该数列 an 的通项公式为an 1 2 a1 1 a2 2 1 1 3 a3 2 3 1 7 a4 2 7 1 15 可推测该数列 an 的通项公式为an 2n 1 互动探究 考点3由数列的递推关系求数列的通项公式例3 1 设数列 an 中 a1 2 an 1 an n 1 则通项an 2 数列 an 中 a1 1 an 1 3an 2 则它的一个通项公式为an 方法二 迭代法 an 1 3an 2 即an 1 1 3 an 1 32 an 1 1 33 an 2 1 3n a1 1 2 3n n 1 所以an 2 3n 1 1 n 2 又a1 1也满足上式 故数列 an 的一个通项公式为an 2 3n 1 1 答案 2 3n 1 1 规律方法 已知数列的递推关系 求数列的通项时 通常用累加 累乘 构造法求解 当出现an an 1 m时 构造等差数列 当出现an xan 1 y时 构造等比数列 当出现an 解 互动探究 b 4 已知数列 an 的前n项和为sn 且sn 2an 1 n n 则a5等于 a 16b 16c 31d 32解析 当n 1时 s1 2a1 1 a1 1 当n 2时 sn 1 2an 1 1 an 2an 2an 1 an 2an 1 an 是等比数列且a1 1 q 2 故a5 a1 q4 24 16 思想与方法 用函数的思想探讨数列的单调性 例题 已知单调递增数列 an an n2 kn n n 求实数 k的取值范围 解 an n2 kn n n an 1 an n 1 2 k n 1 n2 kn 2n 1 k 数列 an 单调递增 an 1 an 0 即2n 1 k 0恒成立 k 2n 1 即k 3 规律方法 函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别 若数列所对应的函数单调 则数列一定单调 反之 若数列单调 则其所对应的函数不一定单调 因为数列是定义域为正整数集的特殊函数 所以数列的单调性一般要通过比较an 1与an的大小来判断 若an 1 an 则数列为递增数列 若an 1 an 则数列为递减数列 解本题易出现的错误是an是关于n的二次函 1 根据数列的前几项 用归纳法写出一个通项公式 体现了由特殊到一般的思