第2章《圆锥曲线与方程-2.doc

第2章 圆锥曲线与方程-2.2.1 导学案 (2)教学过程一、 数学运用【例1】求经过点(-，1)，(-，-)的椭圆的标准方程.(见学生用书P19)处理建议可分两种情况分别设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程和焦点在y轴上的椭圆的标准方程，代入点坐标求出a，b的值；在不明确焦点位置的情况下，也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A0，B0，且AB).规范板书解法一当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为+=1(ab0)，则解得所以所求椭圆的标准方程是+=1.当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为+=1(ab0)，则解得不满足ab0，故舍去.所以所求椭圆的标准方程是+=1.解法二设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A0，B0，且AB)，则解得所以所求椭圆的标准方程是+=1.题后反思解决此类问题最基本的方法是分类讨论.实际上解法二是对解法一中x2及y2的系数进行换元得到的.1【例2】已知椭圆+=1的左、右焦点分别是F1，F2，PQ是过F1的一条弦，求PQF2的周长.(见学生用书P20)处理建议请学生思考PQF2的周长中包含哪些线段，这些线段与椭圆定义中的几何条件有哪些联系.规范板书解由题意知a=5，c=3.P，Q是椭圆上的点，则PF1+PF2=2a=10，QF1+QF2=2a=10.因此，PQF2的周长为PQ+PF2+QF2=PF1+PF2+QF1+QF2=4a=20.题后反思抓住椭圆的定义，因为定义中的几何条件就是椭圆上的点到两个焦点的距离之和为2a.若PQ是椭圆上不过焦点F1的一条弦，试问:PQF2的周长是定值吗？变式1若P是椭圆+=1上一点，F1，F2是它的两个焦点，Q(5，2)，求PQF2的周长l的取值范围.处理建议将PQF2的周长的最值转化为PQ+PF2的最值.规范板书解因为PQF2的周长l=PQ+PF2+QF2，又F2(3，0)，所以QF2=2，所以PQF2的周长取最小值时PQ+PF2也取最小值，易得PQ+PF2QF2=2，所以l4.因为在椭圆中PF1+PF2=2a，所以PF2=2a-PF1，所以PQ+PF2=PQ+2a-PF1=PQ-PF1+2a，所以PQ+PF2取最大值时PQ-PF1也取最大值，易得PQ+PF2=PQ-PF1+2aQF1+2a=2+10.所以l2+2+10.综上，4lb0)的焦点为F1与F2，点P在椭圆上，F1PF2=.求证:PF1F2的面积S=b2tan.(变式)处理建议由特殊到一般，问题的处理方式基本相同.规范板书证明设PF1=r1，PF2=r2，则S=r1r2sin，又F1F2=2c，由余弦定理有(2c)2=+-2r1r2cos=(r1+r2)2-2r1r2-2r1r2cos=(2a)2-2r1r2(1+cos)，于是2r1r2(1+cos)=4a2-4c2=4b2，所以r1r2=.这样即有S=sin=b2=b2tan.题后反思解与PF1F2(P为椭圆上一点)有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合PF1+PF2=2a来解决.有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题，设PF1=r1，PF2=r2，则S=r1r2sin.若能消去r1r2，问题即可解决.*【例4】已知P是椭圆+y2=1上的任意一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点.(1) 求PF1PF2的最大值；(2) 求PF+PF的最小值；(3) 求F1PF2的最大值.处理建议让学生思考:已知的几何条件是什么？要求的是两焦半径之积的最值，两者如何建立联系？规范板书解由题意知a=2，b=1，所以c=，PF1+PF2=2a=4.(1) PF1PF2=4；(2) PF+P=8；(3) 因为cosF1PF2=-1，由(1)知PF1PF24，所以cosF1PF2-1=-，当且仅当PF1=PF2时“=”成立，即P为椭圆短轴的一个端点.又因为F1PF20，)，所以F1PF2的最大值为120.题后反思运用余弦定理处理焦点三角形也是焦半径问题中常用的方法之一，结合基本不等式可以得到关于焦半径表达式的取值范围，同时也为后面求离心率的取值范围作铺垫.强调F1PF2取最大值时点P的位置在椭圆短轴的端点处.变式已知椭圆+y2=1(a1)的焦点是F1，F2，若椭圆上存在一点P，满足PF1PF2，求a的取值范围.规范板书解设PF1=m， PF2=n，则m+n=2a，m2+n2=4c2=4(a2-1).又m2+n2，所以4(a2-1)2a2，所以a22，所以a的取值范围是，+).题后反思训练学生利用基本不等式寻求椭圆基本量的不等关系，从而得到a的取值范围.二、 课堂练习1.根据下列条件求椭圆的标准方程:(1) 已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；(2) 经过点A(0，2)和B.解(1) 设椭圆的标准方程是+=1或+=1(ab0).由题意知2a=PF1+PF2=2，所以a=.在方程+=1中令x=c，得|y|=；在方程+=1中令y=c，得|x|=.依题意并结合图形知=，所以b2=，即椭圆的标准方程为+=1或+=1.(2) 设经过点A(0，2)，B的椭圆的方程为mx2+ny2=1，则解得所以椭圆的标准方程为 x2+=1.2.已知ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边BC上，则ABC的周长是4.提示设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义知BA+BF=2，且CF+AC=2，所以ABC的周长为BA+BF+CF+AC=4.3.已知P是椭圆+=1上一点，F1，F2是其焦点.若F1PF2=60，则F1PF2的面积为.提示设PF1=m，PF2=n，则cos60=，所以=