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第七章第七章 无穷级数7.1 无穷级数的概念 7.2 无穷级数的基本性质主要教学内容(1) 无穷级数的概念; (2) 无穷级数的基本性质.教学目的及要求: 掌握级数的基本概念及基本性质，会利用定义判别数项级数的收敛情况.重点难点及解决措施: 重点: 利用定义和性质判别典型题型的敛散性.难点: 部分和的求解.解决措施: 注重启发与分析.教学方法及段设计: 讲授法.课时：2课时一、引入课题1、在初等数学里，我们学过有限项的和 例如 1+2+3+4+5+.+100=5050以及特殊的无穷递缩等比数列的和例如 但当一般的1+2+3+4+5+6+ 2+4+8+16+就不会了。从今天开始我们就系统的介绍一些无穷项之和的理论。这就是第七章的内容-无穷级数。什么是无穷级数呢？二、新课设计1定义：设给定数列： 式子 （1）叫做无穷级数，简称为级数（1）式简记为即：其中第n项叫做级数的一般项或者通项。是求和号例如：1+2+3+4+5+6+n+= 若一般项是常数，则是数项级数。若一般项是（与n有关的）函数，则是函数项级数，前4节里我们讨论的一般都是数项级数。2说明我们把一个级数的前n项的和称为第n次部分和，所有部分和构成数列：，若数列极限存在，即，则称无穷级数收敛，且收敛于，亦即无穷级数的和为，记为=；否则称无穷级数发散，此时无穷级数的和不存在。要判断一个级数有无和，亦即级数是收敛还是发散，其步骤为：1） 先求出级数的前n项和 2） 取极限 若极限存在且极限值为s，则级数收敛，s为级数的和； 若极限不存在，则级数发散。3举例例1 讨论几何级数（等比级数）(其中a0，q称为级数的公比。并规定q=0时，级数等于a.)的敛散性。解：当|q|1时，由于 当|q|1时，级数发散。当q=1时，则当q=-1时， 则综上所述，当|q|0）3） 4） 解：1）由于是等比级数且公比q=1/2,则是收敛的由性质3知，原级数是收敛的。 2） 发散 3）由于与都是收敛的等比级数，由性质1知是收敛的 4） 即原级数发散。三、小结1、 级数的收敛与发散定义。2、 收敛级数的基本性质3、 等比级数，调和级数，p-级数在不同情况下的收敛与发散情况。四、作业：P309 17.3 正项级数主要教学内容(1) 正项级数的概念; (2) 比较判别法；(3) 比值判别法教学目的及要求: 掌握正项级数的概念，会用比较判别法和比值判别法判定正项级数的敛散性重点难点及解决措施: 重点: 两个判别法的应用难点: 比较判别法解决措施: 注重启发与分析.教学方法及段设计: 讲授法.课时：2课时一、正项级数的概念1、 定义：如果数项级数满足条件（n=1,2,.），则此级数称为正项级数。二、收敛性的判别对于正项级数来说，其为单调增加的，如果它是有界的，则必有极限。为此我们有判别正项级数特别的方法。正项级数的敛散性判别法1） 比较判别法：2） 如果两个正项级数（1） （2） 满足关系式（n=1,2k0的常数）则，当级数（2）收敛时，级数（1）也收敛当级数（1）发散时，级数（2）也发散 （俗话称大收小收，小发大发）证明见P282利用此判别法可证明调和级数、P级数的敛散性。P282注意：上面定理中，关系式中n从1开始，其实n从任意项m开始都可以。例1、判别下列级数的敛散性1 2 3 解：1 而是q=1/2的等比级数，收敛 故原级数收敛。 2是p=2的p-级数，收敛 故原级数收敛3令 当时， 函数y 是减函数 故当n0时，ln(n+1)-nln(0+1)-0 ln(n+1)1的p-级数， 收敛因此级数绝对收敛。2 所以原级数绝对收敛。3 且故原级数发散4 而但发散可满足莱布尼兹定理收敛，因此原级数条件收敛。三、小结1、任意项级数和交错级数的概念2、交错级数的莱布尼兹判别法3、任意项级数的条件收敛与绝对收敛四、作业：P310 4、57.5 幂级数主要教学内容(1)幂级数的相关概念；(2)幂级数的收敛区间及和函数；(3)幂级数的性质教学目的及要求: 掌握幂级数的相关概念，会求收敛半径及收敛区间重点难点及解决措施: 重点:求收敛半径和收敛区间难点:收敛区间的求解解决措施: 注重启发与分析.教学方法及段设计: 讲授法.课时：2课时一、幂级数1、 幂级数的相关概念1）、定义：形如 （1） 的级数称为的幂级数，其中叫做幂级数的系数我们规定当x=x0时，（1）总收敛于(1) 式可简记为2）当时 （1）式变为 （2） 称为x的幂级数3）由于做变换 （1）式可以转化为（2）式的形式，所以今后我们主要研究的是形如（2）时的级数4）分析幂级数收敛与数项级数收敛的关系对于幂级数来说，我们仍然关注的是它的敛散性问题。即变量x在实数范围内取哪些值时，级数（2）是收敛的当x=0时，任何一个幂级数都收敛于。当时，给定一个x的值，幂级数成为一个数项级数。随着x取不同的值，幂级数就成为一族数项级数。为此，我们可以用前面介绍的判别定理来探讨幂级数的敛散性。由定理6知，当时，级数发散如果则当时，（2）发散 时，（2）可能收敛可能发散当时，则级数（2）对任何x都收敛从上面的讨论知，幂级数收敛的范围是实数轴上一个以原点为中心，从-R到R的区间，这个区间叫做幂级数的收敛区间，其中R=叫做幂级数的收敛半径。在收敛区间以外，幂级数（2）发散。在收敛区间上，对于每一个点，级数都收敛于一个确定的和s，对于不同的x值，其和s也不同，因而和s是x的函数，称为和函数，记为。2、 求收敛半径、收敛区间的步骤1） 定理7 如果级数（2）的系数满足条件则当时，当时，；当时， 2)求收敛区间的步骤首先求出收敛半径，如果，再判断时级数(2)的敛散性，最后写出收敛区间。例1、求下列级数的收敛区间 1 2 3 解：1 则R=2当x=2时，幂级数成为 这是发散的当x=-2时，幂级数成为 也发散故级数的收敛区间为（-2，2）。2 则R=+收敛区间为（-，+）3 则R=1当x=1时，级数变为调和级数，发散。当x=-1时，级数变为交错级数，收敛故原级数的收敛区间为例2、1求级数 的收敛半径 2求级数的收敛区间解；1分析：当时，级数发散故级数的收敛半径R=1/22分析令X=x+1则所以R=4,当x=4时，级数变为发散；当x=-4时，级数变为发散故的收敛区间为（-4，4），即-4X4,于是-4x+14，故级数的收敛区间为二、幂级数的性质性质1、性质2、如果幂级数的收敛半径为，则在收敛区间内，它的和函数为是连续函数。性质3、在幂级数的收敛区间内任意一点，有即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，并且积分后级数的收敛半径也是。性质4、在幂级数的收敛区间内任意一点，有即幂级数在其收敛区间内可以逐项微分，并且微分后级数的收敛半径也是。例3求幂级数的收敛区间和和函数，并求级数的和。（见书P296）例4、求幂级数的和函数并利用所得结果求级数 的值.解：令则 = （|x|1时），因此 例5求幂级数 的和函数解：因，而，所以它的收敛半径R1。可以验证，当x=1时，级数收敛，当x=-1时，级数也收敛，因此，所给级数的收敛域为三、 小结1、 幂级数的相关概念2、 幂级数收敛区间、和函数的求法四、作业：P311 67.6 泰勒公式与泰勒级数主要教学内容(1) 泰勒公式与泰勒级数；(2) 函数的幂级数展开教学目的及要求: 理解泰勒、马克劳林级数的概念，了解函数的幂级数展开的间接法重点难点及解决措施: 重点: 马克劳林级数难点: 函数的幂级数展开解决措施: 注重启发与分析.教学方法及段设计: 讲授法.课时：2课时一、泰勒级数1、我们已经知道，函数，那么一般的函数是否也可以展开成幂级数的形式呢？即 （1）这里为待定系数。如果能，那么系数怎么确定，按照一定方法确定出的系数决定的幂级数在其收敛区间上是否收敛于?我们先看第一个问题设f(x)具有任意阶的连续导数，故可对（1）两边逐次求一阶到阶导数。令则有于是（1）式为 我们称级数为函数在的马克劳林级数。关于马克劳林级数是否收敛于的问题，看书P320。另外我们还可以证明，如果函数能够表达为的幂级数，则这个幂级数与的马克劳林级数是一样的。2、因此我们通常用马克劳林级数来将一个初等函数展开成幂级数。例1 将展开成幂级数。解：，即 所以 的马克劳林级数为 ，收敛区间为。3两个重要函数的幂级数展式 (1) ，收敛区间为； (2) ，收敛区间为4一般函数的幂级数展式的间接法例2