江西理工大学线性代数课后习题三

习题三答案习题三答案 计算题过程省略 1 1 13973 2828 5131 1010 1212 1234 12963 3636 6363 3BA 2 5612 5252 781314 32BA 3 5331 0404 1113 ABX 2 22 3 2 3 2 3 4 0 3 4 0 22 3 10 3 10 3 2 BAY 2 2294 20172 22132 23AAB 092 650 850 BA 3 1 4 2 3 4 5 49 6 35 6520 876 9000 3400 4210 2521 325 296 4 3511 1142 1021 2301 0211 1401 1021 2301 1011 0121 0010 0001 AB 5 2100 9800 0087 0057 AB 6 906 006 609 BABA 006 003 600 22 BA 不一定成立 22 BABABA 7 1 00 10 A 00 00 2 A 2 00 01 A 00 01 2 A 3 00 10 A 00 20 X 00 00 AX 8 12 01 2 A 13 01 2 A 1 01 k Ak 9 2 2 2 2 00 20 12 A 3 23 23 3 00 30 33 A k kk kkk k k kk k A 00 0 2 1 1 21 10 证明证明 BAABBABABA 22 22 BBAABABABA 222222 BABBAABABABABA 得 由已知 BAABBAAB 即 0 BAAB 已知 222222 BABBABAABBAABABABA 11 证明 证明 充分性 必要性 12 01 53 21 1 AA 令 1235 22211211 AAAA 13 25 1 1 A A A 02 145 243 121 2 AA 令 21432 1613 024 332313 322212 312111 AAA AAA AAA 1716 2 1 3 2 13 012 1 1 A A A 04 021 112 111 3 AA 令 315 111 222 332313 322212 312111 AAA AAA AAA 4 3 4 1 4 5 4 1 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1 1 1 A A A AABBBAAB 对称故 ABBABAAB BAABABAB 01 1000 2100 3210 4321 4 AA 令 10 00 2100 1210 0121 44342414 43332313 42322212 41312111 AAAA AAAA AAAA AAAA 1000 2100 1210 0121 1 1 A A A 13 6 3 2 111 112 111 1 BA 令 2 3 1 1B AX 010 100 001 100 001 010 1 BA 令 201 431 012 021 102 341 11 BAX 14 证明 证明 12 AEAAAE k EAEAAAAAAAE kkkk 1212 112 AEAAAE k 15 证明 证明 02 2 EAA 2 0 1 2 2 2 2 2 1 2 EA AAA E EA A EA AA E EA AEEAAEAA 可逆 为方阵 022 2 22 AAEAAEA又 3 4 1 4 1 22 221121 AEEAAAEAEA 也可逆 16 BAAB2 AEABABEAABAB 1 2 2 2 9122 692 683 B 17 700 000 404 4 2 21 EAEA 18 2 4 4 4 AEAEAE 141 021 003 4AE36 4 2 AE 19 1 秩为 2 21101 5421 4321 0000 1140 4321 2 秩为 3 10030 11603 02422 01211 00000 04000 14030 01211 3 秩为 3 7732654 3214321 63100 52010 41001 00000 00000 63100 52010 41001 20 1 用这些向量作为矩阵的列向量得 3130 6311 2014 0121 A 0000 9300 3130 0121 是它的一个最大无关组线性相关 3214321 2 用这些向量作为矩阵的列向量得 601424 52712 11031 21301 A 00000 04000 30330 21301 是它的一个最大无关组线性相关 42154321 3 用这些向量作为矩阵的列向量得 0421 3121 5342 A 0000 1100 3121 是它的一个最大无关组线性相关 314321 21 1 100323 010513 001123 2 1 0 2 1 100 211010 2 3 3 2 6 7 001 2 1 0 2 1 211 2 3 3 2 6 7 1 A 2 100021 010112 001111 4 3 4 1 4 5 100 4 1 4 1 4 1 010 2 1 2 1 2 1 001 4 3 4 1 4 5 4 1 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1 1 A 3 10006201 01001111 00102132 00014321 35141000 1201010017266220001 3514 1201 1320517 1726622 1 A 4 10001000 01002100 00103210 00017531 10001000 21000100 12100010 2011310001 1000 2100 1210 201131 1 A 22 略略 23 11 PBPAPPAPBAP可得由 100112 010012 001001 114100 012010 001001 114 012 001 1 p 116 002 001 1 PBPA 15111115 PPBPBPPBPPBPPBPPBPA B B 100 000 001 100 000 001 100 000 001 100 000 001 100 000 001 100 000 001 5 116 002 001 1155 APBPPPBA 24 43 211 XX XX XX的逆矩阵令 E E BXBX AXAX XX XX B A XX 0 0 0 0 21 43 43 211 则 0 0 0 0 4 1 3 1 2 1 4 3 2 1 X AX BX X AX EAX EBX BX 于是 0 0 1 1 1 A B X即 25 设设PAQBQPnBAn 使得阶可逆方阵则存在的标准型为阶方阵 nARnBRBA 00 26 1 BAX 方程线性方程组可化为矩阵 0 0 1 0 0 1 3 2 1 15 2 15 1 15 4 15 1 15 8 15 13 15 4 15 13 15 23 15 2 15 1 15 4 15 1 15 8 15 13 15 4 15 13 15 23 015 3 2 1 153 522 321 3 2 1 1 1 3 2 1 x x x XA BAXAA B x x x XA 方程组的解为 求得 可逆 其中 2 BAX 方程线性方程组可化为矩阵 BAXAA B x x x XA 1 3 2 1 01 1 1 2 421 412 311 可逆 其中 4 5 5 4 5 5 1 1 2 113 214 124 113 214 124 3 2 1 1 x x x XA 方程组的解为 求得 27 1 的列向量得作为矩阵用A 4321 1102 1212 1111