勾股定理教案及练习

勾股定理教案及练习 勾股定理一知识归纳勾股定理内容直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2?b2?c22.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。 例 1、已知a，b，c为ABC三边，a=6，b=8，b 9、 10、 11、 12、133.勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在?ABC中，?C?90?，则c?a2?b2，b?c2?a2，a?c2?b2知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题4.勾股定理的逆定理（直角三角形的判定）如果三角形三边长a，b，c满足a2?b2?c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，1它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2?b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a2?b2?c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若a2?b2?c2，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；定理中a，b，c及a2?b2?c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2?c2?b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边。 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形5.勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2?b2?c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25；8，15，17等。 6勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。 在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。 7.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角2形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论。 题型一直接考查勾股定理例.在?ABC中，?C?90?已知AC?6，BC?8求AB的长已知AB?17，AC?15，求BC的长题型二应用勾股定理建立方程例.在?ABC中，?ACB?90?，AB?5cm，BC?3cm，CD?AB于D，CD已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为分析在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积有时可根据勾股定理列方程求解例.如图?ABC中，?C?90?，?1?2，CD?1.5，BD?2.5，求AC的长CD12EAB AC?3,BC?4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分例4.如图Rt?ABC，?C?90?面积3CAB题型三实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了Am AEBDCBD C题型四应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a，b，c，判定?ABC是否为Rt?a?1.5，b?2，c?2.5a?5，b?1，c?243例7.三边长为a，b，c满足a?b?10，ab?18，c?8的三角形是什么形状？题型五勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用BC?10例8.已知?ABC中，AB?13cm，BC边上的中线AD?12cm，求证AB?AC cm，练习题 一、选择题 41、有一块对角线长为1米的长方形木板，测得木板的长为0.8米，则木板的宽为（）A、0.4B、0.5C、0.6D、0. 72、若一个三角形的三边长分别是3，22，17，则这个三角形为（）A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、不确定 3、CD是Rt?ABC斜边AB上的高，如果AB?1，AC:BC?4:1，则CD长（）A、4321B、C、D、 171717174、如果a,b,c能组成一个直角三角形，那么a2:b2:c2可以是（）A、1:2:4B、1:3:5C、3:4:7D、5:12: 135、如图，一架梯子长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离地8米，则梯子的底部在水平方向上应滑动（）A、1米B、2米C、3米D、4米 二、填空题 6、在Rt?ABC中，?B?90?，a?6，b?10，则c=_. 7、已知一个正方体的体积是512立方米，则正方体底面的对角线长是_. 8、若一个直角三角形的三边长为连续偶数，则三边长分别是_、_、_，其斜边上的高是_. 9、如果?ABC的三边长a,b,c满足关系式?a?2b?60?2?b?18?c?30?0，则a=_，b=_，c=_，?ABC的形状是_. 510、现有两根木棒的长度分别是40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，则所需的木棒长度为_ 三、解答题 11、如图，在?ABC中，?C?90?，AB?13，BC?12，BD?1BC2A （1）AD的长. （2）?ABD的面积.BDC 14、有一只小鸟在一棵高4米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高20