高中数学微积分教材已处理三次函数的图形及三次方程式....doc

葉善雲台北市東山高中 摘要 高中數學微積分教材已處理三次函數的圖形及三次方程式實根的判別問題： 當三次函數有兩個相異臨界點時（即判別式時）， 若有三個相異實根，則函數在兩臨界點的值異號；反之， 若函數在兩臨界點的值異號，則有三個相異實根。本文將用行列式的方法，進一步探討三次方程式根的判別。內文 三次函數在兩臨界點的值異號，意謂函數值的乘積小於0，即，但要如何求出函數在臨界點之值的乘積呢？底下，我們考慮多項式函數及其導函數，並求出除以的餘式，嘗試連結它們的關聯，初步得到下面的結論：引理1：次多項式（其中）除以次多項式的餘式為，其中為三階行列式，且。證明 餘式的項係數為；當時，餘式的項係數為；而餘式的常數項為。說明 引理中之為下列表達式第一列、第二列與第列所成之三階行列式：，即，其中且。推論 設（其中）為次多項式函數，則除以其導函數的餘式為，其中（）為下列表達式第一列與第列所成之二階行列式：，即，此處表達式之第一行為導函數的係數且第二行為函數係數的變化（第二行第項是將之項係數改為）。證明 由上面的引理得除以其導函數的餘式為，其中為三階行列式。而此處可化簡為，於是得餘式。引理2：設（其中）為次多項式函數，且除以其導函數的餘式為，若為的根，且為的根，則。證明 設且，則特例設為三次多項式函數，且為其導函數，則除以的餘式為，其中（）為下列表達式第一列與第列所成之二階行列式：，即且。再則，若為二次方程式的根，則(1) 當時，。(2) 當時，。底下，我們將函數值的乘積用行列式的形式表達出來。引理3：設為三次多項式函數，為其導函數，除以的餘式為。若為二次方程式的根，則。證明 設，就是否為0，分別討論。(1) 當時，由前面的引理1，得除以的餘式為；另一方面，由餘式定理知。故再由前面的引理2及特例，得。(2) 當時，此時，於是。配合三次函數的圖形，我們有下面的結論：定理：（三次方程式根的行列式判別）設為實係數三次多項式，（）為下列表達式第一列與第列所成之二階行列式：，即且，則我們有下列方程式實根個數的判別：(1) 有三個相異實根 。(2) 有重根（二或三重根） 。(3) 有一個實根及兩個虛根 。證明 ，並設為的根。(1) 由有三個相異實根 ，由前面的引理3，得有三個相異實根 。(2)、(3) 理由同(1)。底下，我們舉些實例（實係數方程式）來說明上述定理的用法。例題1：有三個相異實根 。Sol令， 由的表達式：，得， 由判別式，得， 故有三個相異實根 。Sol例題2：設有三個相異實根，求的範圍。令， 由的表達式：，得， 由判別式，得 。在上面的例題2中，函數的臨界點為（並非如教科書舉例臨界點為有理數般簡易），此時不易計算；另一方面，也可以透過平移的方法將化成形如例題1（缺平方項）的形式，然後利用例題1的結果求解。Sol例題3：設有三個相異實根，求的範圍。令， 由的表達式：，得， 由判別式，得。關於底下例題4，一般的解題步驟如下：(1) 畫出三次函數的圖形。(2) 求出過原點且與圖形相切的直線（有三條）。(3) 由三次函數圖形與上述切線判斷值的範圍。在高中教學現場，筆者吃足苦頭，現在有了行列式判別，終於可以避開函數作圖來處理底下問題。Sol例題4：設有三個相異實根，求的範圍。令， 由的表達式：，得， 由判別式，得 ， 即，解得或。 故若有三個相異實根，則或。上面例題3、4的顯著差異為的比值是否為常數，其幾何意義可解讀為函數（為定數）的圖形在其反曲點的切線是否通過原點。在例題3中，過原點與函數圖形相切的直線如下圖，Sol例題5：設方程式有重根，求的值。註令， 由的表達式：，得， 由判別式，得， 解得（取正），故。 另一方面，由除以的餘式為，得，故 所以，當時，重根； 當時，重根。最後，我們討論特殊三次方程式（當圖形在反曲點之切線通過原點）有三個相異實根的條件。引理4：設為三次多項式函數。(1) 設為函數圖形上的點，若與原點連線為函數圖形的切線，則滿足方程式。(2) 若函數圖形的反曲點之橫坐標滿足方程式，則。(3) 函數圖形在反曲點之切線通過原點 。證明 ，(1) 過與函數圖形相切的直線方程式為，即，此與直線為同一直線，故，即滿足方程式。(2) 若函數圖形的反曲點之橫坐標滿足方程式，則，得。(3) 由(1)、(2)得函數圖形在反曲點之切線通過原點 。推論 設為三次多項式函數，若函數圖形在反曲點之切線通過原點，即，則有三個相異實根 。證明 由的表達式：，得；而由，得。於是，故有三個相異實根 。（當時，）例如在例