高考数学 第十三章 第三节 圆中比例线段与圆内接四边形、圆锥截线课件 理 苏教版.ppt

第三节圆中比例线段与圆内接四边形 圆锥截线 1 圆中比例线段有关定理相交弦定理 圆的两条相交弦 每条弦被交点分成的两条线段长的积 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积 相等 相等 切割线定理 从圆外一点引圆的一条割线与一条切线 是这点到割线与圆的两个交点的线段长的等比中项 2 圆内接四边形的性质定理与判定定理一个四边形为圆内接四边形四边形的对角 切线长 互补 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 若四边形abcd的两内角等于90 则四边形abcd一定有外接圆 2 任意一个四边形都有外接圆 3 任意一个三角形都有外接圆 4 等腰梯形一定有外接圆 解析 1 错误 必须说明这两角是对角 故错误 2 错误 不一定 只有对角互补的四边形才有外接圆 3 正确 任意三角形一定有外接圆 4 正确 可以推出对角互补 所以等腰梯形一定有外接圆 答案 1 2 3 4 考向1圆中比例线段的应用 典例1 如图 o1与 o2相交于a b两点 ab是 o2的直径 过a点作 o1的切线交 o2于点e 并与bo1的延长线交于点p pb分别与 o1 o2交于c d两点 求证 1 pa pd pe pc 2 ad ae 思路点拨 观察题中目标等式 联想到切割线定理 即直线pae具有双重身份 由此作为 桥梁 可证第 1 题 而第 2 问中因ab是 o2的直径 可通过证明ab de来证明 规范解答 1 pe pb分别是 o2的割线 pa pe pd pb 即又 pa pb分别是 o1的切线和割线 pa2 pc pb 即故即pa pd pe pc 2 连结ac ed 设de与ab相交于点f bc是 o1的直径 cab 90 ac是 o2的切线 由 1 知 ac ed ab de ab是 o2的直径 由垂径定理得ad ae 拓展提升 圆幂定理的实质相交弦定理 切割线定理 割线定理统称为圆幂定理 圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理 其本质是与比例线段有关 它们之间有着密切的联系 主要体现在 1 用运动的观点看 切割线定理 割线定理是相交弦定理的另一种情形 即移动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况 2 从定理的证明方法看 都是由一对相似三角形得到的等积式 提醒 在圆中通过连结圆上的两点 作圆的切线等可以创造使用圆周角定理 弦切角定理的条件 变式训练 2013 南通模拟 如图 四边形abcd内接于 o 过a点的切线交cb的延长线于e点 求证 ab2 be cd 证明 连结ac 因为ea切 o于a 所以 eab acb 因为 所以 acd acb ab ad 于是 eab acd 又四边形abcd内接于 o 所以 abe d 所以 abe cda 于是即ab da be cd 所以ab2 be cd 考向2圆内接四边形的判定及应用 典例2 如图 ab是 o的直径 g是ab延长线上的一点 gcd是 o的一割线 过点g作ag的垂线 交直线ac于点e 交直线ad于点f 过点g作 o的切线 切点为h 求证 1 c d f e四点共圆 2 gh2 ge gf 思路点拨 根据 对角互补的四边形内接于圆 证第 1 问 由此再根据圆幂定理解决第 2 问 规范解答 1 连结db ab是 o的直径 ad db ag fg f fag dba fag f dba dca f dce dce dca 180 c d f e四点共圆 2 由 1 得gc gd ge gf gh是 o的切线 gc gd gh2 gh2 ge gf 拓展提升 四点共圆既是一类问题 又是平面几何中一个重要的证明方法 它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位 这是因为 某四点共圆 不但可使与这四点相联系的条件集中或转移 而且可直接运用圆的性质为解题服务 变式训练 2013 无锡模拟 在直径是ab的半圆上有两点m n 设an与bm的交点是p 求证 ap an bp bm ab2 证明 作pe ab于e ab为直径 anb amb 90 p e b n四点共圆 p e a m四点共圆 ae ab ap an 1 be ab bp bm 2 1 2 得ab ae be ap an bp bm即ap an bp bm ab2 考向3圆内接四边形的性质及应用 典例3 已知 如图所示 在等腰三角形abc中 ab ac d是ac的中点 de平分 adb交ab于e 过a d e的圆交bd于n 求证 bn 2ae 思路点拨 要证bn 2ae 由已知有ab ac 2ad 如能有成立 那么问题得证 这样问题转证四条线段成比例 又ae ne 所以只需证bn ne ab ad确定的两个三角形相似 即证 bne bad 规范解答 连结en 四边形aend是圆内接四边形 bne a 又 ebn abd bne bad ab ac ac 2ad ab 2ad bn 2en 又 ade nde ae en bn 2ae 拓展提升 圆内接四边形性质定理的应用及注意事项根据圆内接四边形的性质定理 可以直接得到圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角 它们是圆中探求角相等或互补关系的常用定理 同时也是转移角的常用方法 使用性质定理时应注意观察图形 分析图形 不要弄错四边形的外角和它的内对角的相互对应位置 变式训练 如图 已知ad是 abc的外角 eac的平分线 交bc的延长线于点d 延长da交 abc的外接圆于点f 连结fb fc 1 求证 fb fc 2 若ab是 abc外接圆的直径 eac 120 bc 6 求ad的长 解析 1 ad平分 eac ead dac 四边形afbc内接于圆 dac fbc ead fab fcb fbc fcb fb fc 2 ab是圆的直径 acd 90 eac 120 dac eac 60 d 30 在rt acb中 bc 6 又可求 bac 60 又在rt acd中 d 30 1 2013 南京模拟 如图 已知四边形abcd内接于 o ef cd fg切 o于点g 求证 ef fg 证明 因为fg切 o于点g 所以fg2 fb fa 因为ef cd 所以 bef ecd 又a b c d四点共圆 所以 ecd eaf 所以 bef eaf 又 efa bfe 所以 efa bfe 所以即ef2 fb fa 所以fg2 ef2 即ef fg 2 已知如图 ad为 o的直径 ab为 o的切线 割线bmn交ad的延长线于c 且bm mn nc 若ab 2 求 1 bc的长 2 o的半径r 解析 1 设bm mn nc x 由切割线定理可得 ab2 bn bm 即22 x x x 解得x bc 3x 2 在rt abc中 由割线定理可得 cd ac cn cm 3 如图 pa为 o的切线 a为切点 pbc是过点o的割线 pa 10 pb 5 bac的平分线与bc和 o分别交于点d和e 求ad ae的值 思路点拨 由切割线定理有pa2 pb pc 可得直径bc的长 要求ad ae 由 ace adb得ad ae ca ba 也就是求ca ba的长 解析 连结ce pa是 o的切线 pbc是 o的割线 pa2 pb pc 又pa 10 pb 5 pc 20 bc 15 pa切 o于a pab acp 又 p为公共角 pab pca bc为 o的直径 cab 90 ac2 ab2 bc2 225 又 abc e cae eab ace adb 4 2013 徐州模拟 如图 bac的平分线与bc和外接圆分别相交于d和e 延长ac交过d e c三点的圆于点f 1 求证 ef2 ed ea 2 若ae 6 ef 3 求af ac的值 解析 1 如图 连结ce df ae平分 bac bad dac 在圆内又知 dce efd bce bae eaf efd 又 aef fed aef fed ef2 ed ea 2 由 1 知ef2 ed ea ef 3 ae 6 5 如图 ab是 o的直径 c f是 o上的两点 oc ab 过点f作 o的切线fd交ab的延长线于点d 连结cf交ab于点e 求证 de2 db da 证明 连结of 因为df切 o于f 所以 ofd 90 所以 ofc cfd 90 因为oc of 所以 ocf ofc 又因为co ab于o 所以 ocf ceo 90 所以 cfd ceo def 所以df de 因为df是 o的切线 所以df2 db da 所以de2 db da 6 如图 在 abc中 高be cf相交于h 且 bhc 135 g为 abc内的一点 且gb gc bgc 3 a 连结hg 求证 hg平分 bhf 证明 高be cf相交于h 点a f h e四点共圆 bhc 135 a 45 abe bfh皆为等腰直角三角形 bgc 3 a bgc 135 ghc b g h c四点共圆 bhg bcg fhg gbc gb gc bcg gbc bhg fhg 即hg平分 bhf 7 如图 从 o外一点p向圆引两条切线pa pb a b为切点 和割线pcd 与 o交于c d两点 从a点作弦ae平行于cd 连结be交cd于f 连结op oa ob of 求证 1 pob pfb 2 cf df 证明 1 pa pb与 o分别切于点a b pa pb 又oa ob op op oap obp aop bop 2 aeb aob aeb pob ae cd aeb pfb pob pfb 2 连结oc