高中数学第一章数1.3.3已知三角函数值求角示范教案.docx

1.3.3 已知三角函数值求角示范教案教学分析在课程标准中，没有已知三角函数值求角的内容，但相当多的内容涉及到这个问题(如立体几何中求两条异面直线的夹角、直线与平面所成的角、解析几何中直线的倾斜角)，所以教材专门列出一小节讲解，因此应该让学生了解它们的意义，并学会正确使用反三角函数符号arcsinx、arccosx、arctanx.但一定要控制本小节的难度，只能根据单角的正弦、余弦、正切值求单角或单角的集合，不要补充一些较复杂的题目，只要使学生会由已知三角函数值求角就可以了已知角x的一个三角函数值求角x时，实际上就是解最简单的三角方程由于三角函数不是从定义域R值域1,1上的一一映射，所以已知角x的一个三角函数值求角x时，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定如果在这个范围内已知三角函数值对应的角不止一个，可以分为以下几个步骤：第一步，确定角x可能是第几象限角；第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1，如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1；第三步，如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角，得出0,2内对应的角；第四步，如果要求出0,2以外的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果如果求得的角是特殊角，最好用弧度表示，就不存在反三角符号了本节的难点有三个，简单地说就是确定角的个数，认识符号，写出所求角的集合克服难点的关键是拾级而上，分层次理解，弄清各层次的意义但要注意表示形式上的不唯一三维目标1理解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用符号表示2会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出0,2范围内的角，并能用反正弦、反余弦、反正切符号表示角或角的集合3能运用已知三角函数值求角，解决与其相关的一些简单问题重点难点教学重点：已知正弦、余弦、正切值求角教学难点：对反正弦、反余弦、反正切的概念及其符号的正确认识课时安排1课时导入新课思路1.(直接引入)我们知道，任意给定一个角，只要这个角的三角函数值存在，就可以求出这个三角函数值；反过来，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角由此导入新课思路2.(类比引入)前面我们学习函数时知道，给定一个函数值必有一个或多个自变量的值与之对应那么三角函数作为一类特殊的函数，是不是也这样呢？比如sinx，你怎样求出适合这个式子的x的值呢？在学生探究中引入新课推进新课已知正弦值，求角活动：教师引导学生先复习正弦函数的图象和性质，或用课件演示，引导学生得出：在函数ysinx的非单调区间上，对于已知的一个正弦值，有多个角和它对应，如在0,2上有两个角和的正弦值都为，在R上有无穷多个角的正弦值为.但是，在ysinx的单调区间上，只有一个角和已知正弦值对应，比如在单调区间，上，只有的正弦值等于.也就是说，正弦函数在区间0,2上不具有单调性但在，上单调递增所以在区间，上，满足条件sinxa(1a1)的x有且只有一个，而在0,2上满足条件sinxa(1a1)的x一般有两个一般地，对于正弦函数ysinx，如果已知函数值y(y1,1)，那么在，上有唯一的x值和它对应记为xarcsiny(其中1y1，x)，即arcsiny(|y|1)表示，上正弦等于y的那个角这个角叫做y的反正弦讨论结果：(1)有无穷多个；(2)表示为xarcsiny(其中1y1，x)例1(1)已知sinx，且x，求x；(2)已知sinx，且x0,2，求x的取值集合；(3)已知sinx，且xR，求x的取值集合解：由sinx知x的正弦值是个正值，所以x是第一象限或第二象限的角，如图1，由sin，sin可知：图1(1)在，上，x；(2)在0,2上，x或x；(3)在R上符合条件的角是所有与终边相同的角和所有与终边相同的角因此x的取值集合为x|x2k(kZ)x|x2k(kZ)点评：本例解法没涉及到反正弦概念，那么学习反正弦还有什么用呢？教师可就此点明，在本例(1)中，arcsin，arcsin.那么本例(2)中的答案也可写成arcsin，arcsin进一步体会arcsina(其中1a1)同时强调，如果求得的角是特殊角，则最好用特殊角的弧度表示，如果不是特殊角，则用反正弦表示，为书写方便，一般地把x作为自变量，y是x的函数，记为yarcsinx.例如：如果sinx，x，则xarcsin；如果sinx，x，则xarcsin()；如果sinx0，x，则xarcsin00；如果sinx0.345 8，x，在不要求求出具体的x值时，其中的x可记作arcsin0.345 8，即xarcsin0.345 8.变式训练函数ysinx，x，的反函数为()Ayarcsinx，x1,1Byarcsinx，x1,1Cyarcsinx，x1,1 D. yarcsinx，x1,1解析：因为x，所以x，且sin(x)sinx，所以ysinxsin(x)的反函数是yarcsinx，即yarcsinx(x1,1)故选D.已知余弦值和正切值，求角活动：教师引导学生复习余弦函数、正切函数的图象和性质，得出函数ycosx在区间0,2)上，对y(1,1)的任意一个值，有两个角x与之对应如果考察自变量x在整个定义域(，)上取值，那么对区间1,1上的任意一个值y，有无穷多个x值与之对应，为了使符合条件cosxa(1a1)的角x有且只有一个，我们选择闭区间0，作为基本范围在这个闭区间上，符合条件cosxa(1a1)的角x，叫做实数a的反余弦，记作arccosa，即xarccosa，其中x0，且acosx.同样，根据正切函数的图象和性质，为了使符合条件tanxa(a为任意实数)的角x有且只有一个，我们选择开区间(，)作为基本的范围在这个开区间内，符合条件tanxa(aR)的角x，叫做实数a的反正切，记作arctana，即xarctana，其中x(，)，且atanx.讨论结果：(1)略(2)0arccosa，arctana.例2已知cosx，且x0,2)，求x的取值集合解：因为余弦函数值是负值，所以x是第二或第三象限的角(图2)由coscos图2可知，所求符合条件的第二象限的角x.又由cos()cos可知，在区间0,2)内符合条件的第三象限的角x.因此，所求角x的取值集合为，点评：与例1一样，本解法仍没用到反余弦符号，其道理同例1.因此本例中答案可写成arccos()，arccos或写成arccos，arccos或arccos()，2arccos()因为是特殊角，所以写，最简洁明了如：arccos，arccos，arccos().由此也看出，在用反三角符号表示角或角的集合时，形式上不唯一.变式训练(1)已知cosx0.766 0，且x0，求x.(2)已知cosx0.766 0，且x0,2，求x的集合解：(1)由余弦函数在闭区间0，上是减函数及已知条件知，符合条件的角有且只有一个，这个角为钝角xarccos(0.766 0)(2)cosx0.766 00，x是第二或第三象限角若x为第二象限角，则xarccos(0.766 0)；若x为第三象限角，则x2arccos(0.766 0)符合条件的角的集合为arccos(0.766 0)，2arccos(0.766 0).例3已知tanx，且x(，)，求x的值解：tanx0，x为第二或第四象限角又x，符合条件的角只有一个，xarctan().变式训练(1)已知tanx，且x(，)，求x.(2)已知tanx，且x0,2，求x的取值集合解：(1)tanx0，且x(，)，符合条件的角有且只有一个，xarctan()(2)tanx0，且x0,2，可知符合条件的角有两个：在第二象限或第四象限所求角的集合为arctan()，2arctan().先让学生回顾本节课所学过的知识，涉及到的数学思想方法在此基础上教师进行画龙点睛：在学完反正弦后，我们用类比的思想学习了反余弦、反正切要求熟练掌握已知角的三角函数值求角的一般步骤本教材只要求同学们会用arcsinx，arccosx，arctanx这三个符号表示角，对于这三个符号的其他知识不作进一步探讨课本本节练习A组1,3.本节教案设计主线是：始终抓住类比思想，数形结合思想，让学生在巩固原有知识的基础上，通过类比，结合图形，由学生自己来对新知识进行分析、猜想、验证、应用，使新旧知识点有机地结合在一起；同时通过多媒体教学，使学生通过对图象的观察，对知识点的理解更加直观、形象，提高学生的学习兴趣，教学过程流畅，符合高中课程标准理念本节教案设计理念是：坚持以学生为本，以学生的实际情况为教学出发点，通过各种数学思想的渗透，合理运用各种教学课件，让学生学会通过对图象的观察来整理相应的知识点，学会运用数学思想解决实际问题的能力这样既加强了类比、数形结合等重要数学思想的培养，也有利于学生综合运用能力的提高，有利于学生把新旧知识前后联系，融会贯通，提高教学效果备用习题1满足cosx(x0)的x的值是()Aarccos B.arccosCarccos Darccos2已知cos0.9，(0，)，则下列表示中正确的是()Aarccos0.9