宁夏吴忠高级中学高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念课件 新人教A版必修4.ppt

2 1平面向量的实际背景及基本概念 第二章平面向量 2 1 1向量的物理背景与概念2 1 2向量的几何表示 2 1 3相等向量与共线向量 问题1 一千吨的大米和一千吨的铁谁更重 问题提出 速度是既有大小又有方向的量 问题2 老鼠由a向东北方向以每秒6米的速度逃窜 而猫由a向东南方向每秒10米的速度追 问猫能否抓到老鼠 质量是只有大小没有方向的量 湖面上有三个景点o a b 一游艇将游客从景点o送至景点a 半小时后 游艇再将游客送至景点b 1 在物理中 位移与路程是同一个概念吗 为什么 1 向量的物理背景与概念 2 物体受到的重力 物体在液体中受到的浮力 被拉长或压缩的弹簧的弹力 力是常见的物理量 也是既有大小又有方向的量 1 向量与数量既有大小 又有方向的量叫做向量 物理学中称为矢量 只有大小 没有方向的量叫做数量 物理学中称为标量 注意 数量只有大小 是一个代数量 可以进行代数运算 能比较大小 向量具有大小和方向这双重要素 由于方向不能比较大小 故向量不能比较大小 练习下列物理量不是向量的是 质量 速度 位移 力 加速度 路程 密度 功 辨析 温度含零上和零下温度 所以温度是向量 直角坐标平面内的x轴 y轴是向量 一个实数 可用数轴上的点表示 一个二次函数 可用一条抛物线表示 一个角的正弦 余弦和正切 可用三角函数线 有向线段 表示 数学中有许多量都可以用几何方式表示 2 向量的几何表示 由于实数与数轴上的点一一对应 所以数量常常用数轴上的一个点表示 如3 2 1 1 数量的表示 而且不同的点表示不同的数量 有向线段定义 在线段ab的两个端点中 规定一个顺序 假设a为起点 b为终点 就说线段ab具有方向 具有方向的线段叫做有向线段 a 起点 b 终点 如图 以a为起点 b为终点的有向线段记作 线段ab的长度也叫做有向线段的长度 记作 思考 一条有向线段由哪几个基本要素所确定 箭头所指的方向表示有向线段的方向 有向线段的三个要素 起点 方向 长度 有向线段使向量的 方向 得到了表示 而线段的长度可表示向量的大小 这样我们就可用有向线段表示向量 2 向量的几何表示 3 向量的表示方法 一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示 如 若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母 向量也可用黑体字母a b c 书写时用注意用表示 如上图 用有向线段表示 画图时 我们常用有向线段来表示向量 线段按一定比例 标度 画出 其中有向线段的长度表示向量的大小 箭头所指的方向表示向量的方向 在建立了坐标系后 还可以用坐标表示向量 以后将学到 向量的大小 就是向量的长度 或模 记作 或者记作 4 向量的模 思考 向量的模可以为0吗 可以为1吗 可以为负数吗 零向量 长度为0的向量 记作 单位向量 长度等于1个单位的向量 说明 零向量 单位向量的定义都是只限制大小 不确定方向 故零向量的方向是任意的 单位向量的方向具体而定 注意 向量是不能比较大小的 但向量的模 是正数或零 是可以进行大小比较的 有意义 没有意义 比例1 800000 解 例1如图 试根据图中比例尺以及三地的位置 在图中分别用向量表示a地至b c两地的位移 并求出实际距离 精确到1km 例题分析 例2某人从a点出发向西走了200m到达b点 然后改变方向向西偏北60 走了450m到达c点 最后又改变方向 向东走了200m到达d点 1 作出向ab bc cd 1cm表示200m 2 求da的模 练习已知飞机从a地按北偏东30 方向飞行2000km到达b地 再从b地按南偏东30 方向飞行2000km到达c地 再从c地按西南方向飞行1000km到达d地 1 画图表示向量 2 求飞机从a地到达d地的位移所对应的向量的模和方向 模相等 方向相同 模相等 方向不相同 模不相等 方向相同 模不相等 方向不相同 思考1 向量由其模和方向所确定 对于两个向量 就其模等与不等 方向同与不同而言 有哪几种可能情形 3 相等向量与共线向量 1 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 向量与相等 记作 1 两个向量不能比较大小 只有 相等 与 不相等 的区别 注意 2 零向量与零向量相等 3 对于一个向量 只要不改变它的大小和方向 是可以平行移动的 因此任意两个相等的非零向量 都可用同一条有向线段表示 并且与有向线段的起点的选取无关 向量与有向线段的区别 1 向量是自由向量 只有大小和方向两个要素 只要大小和方向相同 则这两个向量就是相同的向量 2 有向线段有起点 大小和方向三个要素 起点不同 尽管大小和方向相同 也是不同的有向线段 即向量和有向线段是两个不同的概念 由于有向线段具有长度和方向双重特征 所以向量可以用有向线段表示 但不能说向量就是有向线段 二者只是一种对应关系 思考2 如果非零向量与是相反向量 通过平移使起点a与c重合 那么终点b与d的位置关系如何 2 相反向量 长度相等且方向相反的向量叫做相反向量 向量相反的向量记作 零向量的相反向量仍是零向量 规定 辨析 1 如果两个向量所在的直线互相平行 那么这两个向量是平行向量 规定 零向量与任一向量平行 3 平行向量 方向相同或相反的非零向量 向量与平行 记作 2 平行向量所在的直线一定互相平行 平行或者重合 思考3 将向量平移 不会改变其长度和方向 如图 设是一组平行向量 任作一条与向量所在直线平行的直线l 在l上任取一点o 分别作 那么点a b c的位置关系如何 任一组平行向量都可以移动到同一直线上 因此 平行向量也叫做共线向量 即二者是同一个概念 不是 向量的平行 共线与平面几何中线段的平行 共线是不同的概念 平行向量 共线向量 对应的有向线段既可以平行也可以共线 思考4 如果非零向量与是共线向量 那么点a b c d是否一定共线 平行 共线 向量与平行线段 共线线段的区别 平行向量可以在同一直线上 但两平行线肯定不在同一直线上 共线向量可以相互平行 在同一直线上的线段肯定不相互平行 思考5 若向量与平行 或共线 则向量与相等或相反吗 反之 若向量与相等或相反 则向量与平行 或共线 吗 向量相等或相反向量平行 注意 相等向量与相反向量是并列概念 平行向量与共线向量是同一概念 相等向量 相反向量 与平行向量是包含概念 结论 平行向量不具有传递性 但非零平行向量和相等向量都具有传递性 思考7 对于向量 若 那么吗 思考6 对于向量 若 那么吗 注意 规定零向量与任一向量平行 共线 故在向量问题中 注意考虑零向量的特殊性 小结 练习 1 口答题 1 平行向量是否一定方向相同 2 不相等的向量是否一定不平行 3 与零向量相等的向量必定是什么向量 4 与任意向量都平行的向量是什么向量 5 若两个向量在同一直线上 则这两个向量一定是什么向量 6 两个非零向量相等的充分必要条件是什么 7 共线向量一定在同一直线上吗 不一定 不一定 不一定 零向量 零向量 平行向量 长度相等且方向相同 例3如图 设o为正六边形abcdef的中心 分别写出与相等的向量 11个 变式一 与向量长度相等的向量有多少个 变式二 是否存在与向量长度相等 方向相反的向量 变式三 与向量共线的向量有哪些 例题分析 练习如图 四边形abcd为正方形 bce为等腰直角三角形 以图中各点为起点和终点 写出 与向量模相等的向量 与向量共线的向量 与向量相等的向量 与向量相等的向量 相等的有7个长度相等的有15个 练习在4 5排列方格中有一个向量以图中的格点为起点和终点 其中与相等的向量有多少个 与长度相等的共线向量有多少个 练习如图 在 abc中 d e f分别是ab bc ca边上的点 已知求证 例4判断下列结论是否正确 5 任一向量与它的相反向量不相等 2 不相等的向量一定不平行 1 单位向量都相等 3 若非零向量 则 4 四边形abcd中 四边形abcd是平行四边形 下面几个命题 a 0b 1c 2d 3 其中正确的个数是 b 1 两个向量相等 则它们的起点相同 终点相同 4 若 则四边形abcd是平行四边形 例5对于下列各种情况 各向量的终点的集合分别是什么图形 2 把所有单位向量的起点平行移动到同一点p 1 把平行于直线l的所有单位向量的起点平移到l上的点p 解 1 是直线l上与点p的距离为1的两个点 2 是以p点为圆心 以1个单位长为半径的圆 3 把平行于直线l的一切向量的起点平移到l上的点p 3 直线l 4 把所有相等向量平移到同一个起点上 4 一个点 1 向量的定义及表示 2 向量的模 3 向量 小结 大小 大小 方向 零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量 相反向量 作业 p77 78练习 习题 back 课堂小测验 1 下列各量中不是向量的是 a 浮力b 风速c 位移d 密度 2 下列说法中错误的是 a 零向量是没有方向的b 零向量的长度为零c 零向量与任一向量平行d 零向量的方向是任意的 3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点 那么这些向量的终点所构成的图形是 a 一条线段 b 一段圆弧 c 圆上一群