朱校华之数学笔记《说一说 等腰三角形 那些事》

朱校华朱校华 20132013 年年 9 9 月月 1 1 日至日至 20142014 年年 1 1 月月 1818 日教育教学教研笔记系列 日教育教学教研笔记系列 20132013 年年 1010 月月 2222 日原创 日原创 1 说一说说一说说一说说一说 等腰三角形等腰三角形等腰三角形等腰三角形 那些事那些事那些事那些事 上饶市秦峰中学上饶市秦峰中学 朱校华朱校华 三角形中只有 等腰三角形等腰三角形 才是是 轴对称图形轴对称图形 其对称轴是 等腰三角形中 最特殊的 应算 等边三角形 等边三角形等边三角形 是是 最优美的最优美的 三角形三角形 本文先说说 等腰三角形等腰三角形 的 性质性质 在 教育随笔 三十七 中说说判定 1 1 角的性质角的性质 等腰三角形的两底角相等等腰三角形的两底角相等 简记为 等边对等角 简记为 等边对等角 理解点 等边对等角 是一种简记 在需要填写理由时可用 不是一个完整的真命题 真正完整的真命题是 等腰三角形的两底角相等 主要是因为 等边对等角 暗藏着大 前提 在同一个三角形中 换句话说 在同一个三角形中 等边对等角 这样说是对的 而 等边对等角 是错的 特别在使用等腰三角形这个性质等腰三角形这个性质时须注意哦 等腰三角形的两个底角存在 相等 关系 这是今后解决 证明两个角相等 问 题 的第二条思路 当要证的两个角正好落在同一个三角形中 不妨可以考虑先去证这个三角 形有两边相等 再利用 等边对等角 即可 等腰三角形 等边对等角 这个性质在计算角有益处 已知等腰三角形一个角的度 数 能很快知道其余两角的度数 如经典中考题一经典中考题一 有一个 50 角的等腰三角形 其 余两角分别等于 答案 50 80 或 65 65 2 2 边的性质边的性质 等腰三角形有两条边相等等腰三角形有两条边相等 理解点 只要是等腰三角形 均有两条边能相等着 很明显 遇上直角的等腰三角形 只 能 两条直角边相等 钝角的等腰三角形只能两条短边相等咯 倒过来说 有两条边相等的三角形一定是等腰三角形 这其实是定义 事实上 定 义就是判定 是常用来判定某一三角形是否是等腰三角形的依据之一 定义也是一条性质 相互通用 朱校华朱校华 20132013 年年 9 9 月月 1 1 日至日至 20142014 年年 1 1 月月 1818 日教育教学教研笔记系列 日教育教学教研笔记系列 20132013 年年 1010 月月 2222 日原创 日原创 2 A DCB 图 图 361 图 图 362 A E D CB 本性质容易被忽视 其实却常用着 如 画等腰三角形 就是考虑先画相等的两边 之后再画底边 或者先画出一条线段作为底边 再使用圆规画弧出交点 最后连出两腰 3 3 线段性质线段性质 等腰三角形的顶角平分线 底边上的高 底边上的中线互相重合等腰三角形的顶角平分线 底边上的高 底边上的中线互相重合 简记为 三线合一 简记为 三线合一 理解点 简记 三线合一 只针对 等腰三角形 来说 而且 三线 仅限于 等腰三角形 的顶角平分线 底边上的高及底边上的中线顶角平分线 底边上的高及底边上的中线 这三条线段 专属的 本性质 其实隐藏着 三大真命题 证明也很简单 1 ABC 中 AB AC AD 平分 BAC 求证 AD BC BD DC 2 ABC 中 AB AC AD BC 求证 AD 平分 BAC BD DC 3 ABC 中 AB AC BD DC 求证 AD 平分 BAC AD BC 请记住 以上三大真命题 今后做题遇上 可完全予以借鉴之 三线合一 实质说的是 一条线段有三种 身份 既是 顶角平分线 又是 底边上的高 还是 底边上的中线 这点告诉了我们今后遇上 等腰三角形 有 关问题时 不妨添加 底边上的高 往往能给我们带来惊喜哦 因此请记住 等腰三 角形底边上的高是常添辅助线之一 至于用不用 当然具体得看题意而定 例如 经典中考题二经典中考题二 如图 362 示 ABC 中 AB AC 点 D 在 AB 上 点 E 在边 CA 的延长线上 且 ADE 是等腰三角形 试判断 BC 与 DE 两线段所在的直线存在何种特殊的位置关系 写出您认为正确的关系并证明之 简析 简析 本题最精彩处是凭 几何直觉 就能感悟到 DE BC 作 BC 上的高 AF 证 AF DE 或作 DAE 的平分线 AG 4 4 对称性质对称性质 等腰三角形是轴对称图形等腰三角形是轴对称图形 理解点 等腰三角形有一条对称轴 等边三角形是特殊的等腰三角形 有三条对称轴 每一 边的垂直平分线 或说 中垂线 就是等边三角形的对称轴 这里特别小心的是 不能 说 等腰三角形顶角平分线是对称轴 不能说 等腰三角形底边上的高是对称轴 也不 能说 等腰三角形底边上的中线是对称轴 请记住 对称轴 永远是 直线 而不是线段 朱校华朱校华 20132013 年年 9 9 月月 1 1 日至日至 20142014 年年 1 1 月月 1818 日教育教学教研笔记系列 日教育教学教研笔记系列 20132013 年年 1010 月月 2222 日原创 日原创 3 F 图 图 371 A E D CB 另外本性质还告诉我们 等腰三角形被对称轴分成两个全等的直角三角形 等腰三角形被对称轴分成两个全等的直角三角形 说明等 腰三角形中有直角三角形 其实直角三角形中也有等腰三角形 俗称 你中有我 我中有 你 说一说等腰三角形那些事 续 说一说等腰三角形那些事 续 说一说等腰三角形那些事 续 说一说等腰三角形那些事 续 上饶市秦峰中学上饶市秦峰中学 朱校华朱校华 本文说说 等腰三角形等腰三角形 的 判定判定 等腰三角形的常用判定方法主要有 5 5 定理法定理法 有两角相等的三角形是等腰三角形 等腰三角形判定定理 有两角相等的三角形是等腰三角形 等腰三角形判定定理 理解点 本判定法说的是 当三角形有两个角存在 相等 关系 就足以能说明该三角形 是 等腰三角形 教科书将这个判定定理叙述成 如果三角形有两个角相等 那么这两个角所 对的边也相等 简记为 等角对等边 其实质也是在说 有两个角相等的三角形是等腰 三角形 换句话说 证明到 一个三角形两角相等 就可得出该三角形是等腰三角形该三角形是等腰三角形结 论 特别注意的是 等角对等边 是一种简记 在需要填写理由时可用 不是一个完 整 的真命题 真正完整的真命题是 在同一个三角形中在同一个三角形中 等角对等边 与 等边对等角 是互逆关系 但其暗藏的 大前提大前提 是一样的 等角对等边 暗示我们 它是今后解决 证明两条线段相等 问题的第二条思路第二条思路 当要证的两条线段正好落在同一个三角形中 不妨可以考虑先去证这个三角形有两角相等 再利用 等角对等边 即可 补注 第一条思路第一条思路是 当要证的两条线段正好落在不同的两 个三角形中 不妨可以考虑去证这两个三角形全等 利用 全等 三角形对应边相等 即可 需要说明的是 定理法 是等腰三角形判定方法中用得 最多的方法 约有 90 的 证明某一个三角形是等腰三角形 题 都用 定理法 来解决 6 6 定义法定义法 有两条边相等的三角形是等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形 理解点 有两条边相等的三角形是等腰三角形 这就是定义 事实上 定义是常用来判定某一个三角形是否是等腰三角形 的重要依据 因为有时证明两条线段相等可能比证明两个角 相等要快 此时用定义来作为判断依据最好不过 所以别以 为判定某一三角形是等腰三角形只有用判定定理 原始定义有时倒更能用得得心应手 记 住 所有数学名词的原始定义是一笔 财富 千万别 遗忘 它 请认真做一做下面题 经典中考题经典中考题经典中考题经典中考题例 1 如图 371 示 ABC 中 AB AC 点 D 在 AB 上 点 E 在边 CA 的延长线上 且 ED BC 垂足是 F 求证 ADE 是等腰三角形 朱校华朱校华 20132013 年年 9 9 月月 1 1 日至日至 20142014 年年 1 1 月月 1818 日教育教学教研笔记系列 日教育教学教研笔记系列 20132013 年年 1010 月月 2222 日原创 日原创 4 C a CB A DCB 图 图 373 图 图 372 E F D A 图图 374 A 很明显 例 1 通过 作 ABC 边 BC 上的高 AH 知 AH 又是 BAC 的平分线 及 AH EF 这样证出 ADE E 后 依 等腰三角形判定定理 得出 ADE 的确是等腰三角 形 在此非用 定理法 不可 走 边 路不通 下面一道题中若单独用 定理法 则走 不通 必须改用 定义法 不可 您从中可以好好地 领悟 之 经典中考题经典中考题经典中考题经典中考题例 2 如图 372 示 ABC 中 点 D 在 AB 上 点 E 在 CA 上 CD BE B C 求证 BF CF 简析 简析 表面上看起来 本题似乎与等腰三角形判定无关 由给出的已知条件发现能证 ABE ACD AAS 于是有 AB AC 连 BC 则 ABC 就是等腰三角形 从而 ABC ACB 进一步获得 FBC FCB 所以 BF CF 本题于两处分别用了 定义法 与 定理法 判定 ABC 与 BCF 为等腰三角形 又用了等腰三角形性质 佳佳 题题呀 7 7 其它法其它法 角平分线角平分线 与与 平行线 或垂线 组合可获得平行线 或垂线 组合可获得 等腰三角形等腰三角形 理解点 这其实是 角平分线 的第三功用第三功用 当角平分线遇上过角平分线上任一点且与角的过角平分线上任一点且与角的 一边平行的线一边平行的线时 极易构造出等腰三角形 当角平分线遇上垂直于垂直于 角平分线的线角平分线的线时也能构造出等腰三角形 后一句话其实如图 373 示 隐藏着 三大真命题 1 ABC 中 AD 平分 BAC AD BC 求证 AB AC BD DC 2 ABC 中 AD 平分 BAC BD DC 求证 AB AC AD BC 3 ABC 中 BD DC AD BC 求证 AB AC AD 平分 BAC 请记住 请记住 以上三大真命题 事实上是 教育随笔 三十六 中三大真命题的逆命题 今后做题遇上 可完全予以借鉴之 等腰三角形等腰三角形 是中考必考知识点之一 除了在是中考必考知识点之一 除了在 计算计算 与与 证明证明 两方面大两方面大 展拳脚外 还与展拳脚外 还与 作图作图 紧密相连 喜欢与紧密相连 喜欢与 操作操作 探究探究 类比类比 等题粘等题粘 上 花样繁多 但总离不开上 花样繁多 但总离不开 等腰三角形的定义 性质 判定等腰三角形的定义 性质 判定 三大知识块 三大知识块 经典中考题经典中考题经典中考题经典中考题例 3 如图 374 示 点 A 在直线 a 上 点 C 在 直线 a 外 请在直线 a 上寻找点 B 使 ABC 是等腰三角形 试使用尺规作图 须保留作图 痕迹 不写作法 答案 符合条件的答案 符合条件的 B 有四个有四个 例例 3 3 多变化 多变化 例 4 将线段 AC 置身于直角坐标系 点直角坐标系 点 C C 在在 Y Y 轴上 直线轴上 直线 a a 与与 X X 轴重合 轴重合 中 已知 AC 2 AC 与 X 轴所夹的锐角等于 30 其余条件不变 请你求出在坐标轴上符合要求求出在坐标轴上符合要求 朱校华朱校华 20132013 年年 9 9 月月 1 1 日至日至 20142014 年年 1 1 月月 1818 日教育教学教研笔记系列 日教育教学教研笔记系列 20132013 年年 10