matlab常微分方程和常微分方程组的求解.doc

常微分方程和常微分方程组的求解一、实验目的：熟悉Matlab软件中关于求解常微分方程和常微分方程组的各种命令，掌握利用Matlab软件进行常微分方程和常微分方程组的求解。二、相关知识在MATLAB中，由函数dsolve()解决常微分方程（组）的求解问题，其具体格式如下：X=dsolve(eqn1,eqn2,)函数dsolve用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解。例1：求解常微分方程的MATLAB程序为：dsolve(Dy=1/(x+y),x)，注意，系统缺省的自变量为t，因此这里要把自变量写明。结果为：-lambertw(-C1*exp(-x-1)-x-1其中：Y=lambertw(X)表示函数关系Y*exp(Y)=X。例2：求解常微分方程的MATLAB程序为：Y2=dsolve(y*D2y-Dy2=0,x)结果为：Y2 = exp(x+C2)/C1) C2我们看到有两个解，其中一个是常数。例3：求常微分方程组通解的MATLAB程序为：X,Y=dsolve(Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=exp(2*t),t)例4：求常微分方程组通解的MATLAB程序为：X,Y=dsolve(Dx+2*x-Dy=10*cos(t),Dx+Dy+2*y=4*exp(-2*t),x(0)=2,y(0)=0)以上这些都是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解。但是，我们知道，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB具有丰富的函数，我们将其统称为solver，其一般格式为：T,Y=solver(odefun,tspan,y0) 该函数表示在区间tspan=t0,tf上，用初始条件y0求解显式常微分方程。solver为命令ode45，ode23，ode113，ode15s，ode23s，ode23t，ode23tb之一，这些命令各有特点。我们列表说明如下：求解器ODE类型特点说明ode45非刚性一步算法，4,5阶Runge-Kutta方法累积截断误差大部分场合的首选算法ode23非刚性一步算法，2,3阶Runge-Kutta方法累积截断误差使用于精度较低的情形ode113非刚性多步法，Adams算法，高低精度均可达到计算时间比ode45短ode23t适度刚性采用梯形算法适度刚性情形ode15s刚性多步法，Gears反向数值积分，精度中等若ode45失效时，可尝试使用ode23s刚性一步法，2阶Rosebrock算法，低精度。当精度较低时，计算时间比ode15s短odefun为显式常微分方程中的tspan为求解区间，要获得问题在其他指定点上的解，则令（要求单调），y0初始条件。例5：求解常微分方程，的MATLAB程序如下：fun=inline(-2*y+2*x*x+2*x)；x,y=ode23(fun,0,0.5,1)结果为：x = 0,0.0400,0.0900,0.1400,0.1900,0.2400,0.2900,0.3400,0.3900,0.4400,0.4900,0.5000y = 1.0000,0.9247,0.8434,0.7754,0.7199,0.6764,0.6440,0.6222,0.6105,0.6084,0.6154,0.6179例6：求解常微分方程的解，并画出解的图形。分析：这是一个二阶非线性方程，用现成的方法均不能求解，但我们可以通过下面的变换，将二阶方程化为一阶方程组，即可求解。令：，则得到：接着，编写vdp.m如下：function fy=vdp(t,x)fy=x(2);7*(1-x(1)2)*x(2)-x(1);再编写m文件sy12_6.m如下：y0=1;0t,x=ode45(vdp,0,40,y0);y=x(:,1);dy=x(:,2);plot(t,y,t,dy)三、实验内容1利用MATLAB求常微分方程的初值问题，的解。2利用MA