2020届重庆南开中学高三上学期第四次教学质量检测数学（文）试题（解析版）

2020届重庆南开中学高三上学期第四次教学质量检测数学（文）试题一、单选题1抛物线的焦点坐标为（ ）ABCD【答案】D【解析】先化抛物线标准形式，再直接写出焦点坐标.【详解】,因此焦点坐标为，故选：D【点睛】本题考查抛物线标准方程以及焦点坐标，考查基本分析求解能力，属基础题.2已知向量，满足，则等于（ ）ABCD【答案】B【解析】根据向量平行坐标表示列方程，解得结果.【详解】因为，所以.故选：B【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题.3设命题，则为（ ）A，B，C，D，【答案】D【解析】根据全称命题的否定直接得结果.【详解】因为的否定为，所以为，故选：D【点睛】本题考查全称命题的否定，考查基本分析求解能力，属基础题.4已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据渐近线方程得关系，即得离心率.【详解】因为渐近线方程为，所以.故选：A【点睛】本题考查双曲线渐近线与离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.5“”是“方程表示双曲线”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先求方程表示双曲线的条件，再根据两者相等关系确定充要关系.【详解】因为方程表示双曲线，所以，又当时，方程表示双曲线，因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件.故选：C【点睛】本题考查双曲线标准方程形式以及充要关系判断，考查基本分析求解能力，属基础题.6已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABCD【答案】D【解析】由三视图还原原几何体，是一个长方体上方有一个半球再根据体公式计算【详解】由三视图知该几何体是由一个长方体上方放一个半球组合的，尺寸见三视图，故选：D.【点睛】本题考查三视图，考查组合体的体积（柱体和球的体积），解题关键是由三视图还原出原几何体7下列有关命题的说法正确的是（ ）A命题“若，则”的否命题为“若，则”B“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件C命题“若，则”的逆否命题为假命题D若“或”为真命题，则，至少有一个为真命题【答案】D【解析】根据四种命题关系以及复合命题真假逐一判断选择.【详解】命题“若，则”的否命题为“若，则”,所以A错；“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件，所以B错；命题“若，则”为真命题，所以其的逆否命题为真命题，C错；若“或”为真命题，则，至少有一个为真命题，所以D对；故选：D【点睛】本题考查四种命题关系以及复合命题真假，考查基本分析求解能力，属基础题.8直线被圆截得的弦长为2，则直线的倾斜角为（ ）AB或C或D或【答案】C【解析】根据垂径定理求出直线斜率，再求倾斜角得选项.【详解】因为，因此直线的倾斜角为或，故选：C【点睛】本题考查垂径定理以及斜率与倾斜角关系，考查基本分析求解能力，属基础题.9长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD【答案】B【解析】建立坐标系如图所示则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，(1,0,2)，(1，2,1)cos，.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.10已知四棱锥中，平面平面，其中为边长为4的正方形，为等腰三角形，则四棱锥外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】先作出外接球球心，再列方程解得球半径，最后代入球表面积公式得结果.【详解】设外接球球心为，球半径为，与交点为，为中点，垂直平面，垂直于.因为为等腰三角形,所以垂直,因为平面平面，所以垂直平面，即平行，则，因为，所以，由于位置可在延长线上，因此，,则四棱锥外接球的表面积为.故选：C【点睛】本题考查四棱锥外接球以及球的表面积公式，考查综合分析求解能力，属中档题.11在棱长为1的正方体中，分别在棱，上，且满足，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则（ ）ABCD【答案】C【解析】根据条件确定点位置，再根据向量表示确定的值，即得结果.【详解】如图，为与交点，为中点，为与的交点.过作平行交于.如图,则为中点，所以.所以，因此，因为，所以,.故选：C【点睛】本题考查平面向量基底表示，考查综合分析求解能力，属中档题.12已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】先根据椭圆定义列等量关系，再根据基本不等式求最小值.【详解】因为点为线段的中点，所以，且，因为，所以，因此，故选：B【点睛】本题考查椭圆定义以及利用基本不等式求最小值，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题13若直线与垂直，则的值为_.【答案】【解析】根据直线垂直列方程，解得结果.【详解】因为直线与垂直，所以.故答案为：【点睛】本题考查根据直线垂直求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.14已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的表面积等于_【答案】【解析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的表面积公式，能求出结果【详解】圆锥的轴截面是正三角形，边长等于2圆锥的高，底面半径.这个圆锥的表面积：.故答案为【点睛】本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的表面积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15设、为三条不同的直线，、为两个不同的平面，下面给出四个命题：若，则；若，、则；若，则；若且，则.其中假命题有_.（写出所有假命题的序号）【答案】【解析】根据线面平行与垂直关系逐一验证或举反例.【详解】若，则或，所以为假命题；若，、且为相交直线时，才有，才可得；所以为假命题；若，则，所以为真命题；若且，则不一定平行，所以不一定成立，即为假命题.故答案为：【点睛】本题考查线面平行与垂直关系的判定，考查综合分析求解能力，属中档题.16已知抛物线与双曲线有一个公共的焦点，点为抛物线上任意一点，则的最小值是_.【答案】【解析】先求双曲线焦点，再求抛物线方程，利用坐标表示，最后根据基本不等式求最值.【详解】，因此双曲线焦点为.因为抛物线与双曲线有一个公共的焦点，所以，.设，则，当时，当且仅当时取等号；当时，.故答案为：【点睛】本题考查双曲线焦点、抛物线方程以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题17如图，四棱锥底面为矩形，其中分别为，中点.（1）求证：平面；（2）若平面底面，求证：平面.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）根据三角形中位线性质以及矩形性质得，再根据线面平行判定定理得结果；（2）根据面面垂直性质定理得平面，即得，再结合条件利用线面垂直判定定理得结果.【详解】证明：（1），分别是，的中点，.又底面为矩形，.又平面，平面，平面.（2）底面为矩形，.又平面底面，且平面底面，且平面，平面.又平面，.又，平面,，平面.【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直性质定理以及线面垂直判定定理，考查以及综合分析论证能力，属中档题.18已知椭圆的左右焦点分别为，对于椭圆上任一点，若的取值范围是，（1）求椭圆的方程；（2）已知过点倾斜角为的直线交椭圆于，两点，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先求最值，结合条件得，利用关系得，即得结果；（2）先联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式得，再根据点到直线距离公式得高，最后根据三角形面积公式得结果.【详解】（1）的取值范围为，即，.，又，椭圆方程为：.（2）由题意知直线的方程为：.联立方程消去得.，设，.，点到直线的距离为：，.【点睛】本题考查椭圆方程以及椭圆中三角形面积，考查综合分析求解能力，属中档题.19在三棱柱中，平面，点、分别在棱、上，且，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积解得平面的一个方向量，判断与关系，即得结果；（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积解得平面的一个方向量，再利用向量夹角公式以及线面角与向量夹角关系得结果.【详解】（1）平面，.分别以，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，.设平面的一个法向量，取，平面的一个法向量.，平面.（2）由（1）得，.设平面的法向量为，取，.平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，【点睛】本题考查利用空间向量证线面平行以及求线面角，考查综合分析求证与求解能力，属中档题.20已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且.（1）求抛物线的方程：（2）过点的直线与抛物线交于，两点，以线段为直径的圆过，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据抛物线定义求得，即得结果；（2）先根据圆的性质得，再设坐标代入化简，最后联立直线方程与抛物线方程，结合结合韦达定理代入化简求得结果.【详解】（1）由抛物线定义可得：，抛物线的方程为：.（2）由（1）知，设，.设直线的方程为：，联立方程，消去得：，.以线段为直径的圆过点，.，直线的方程为：即.【点睛】本题考查抛物线定义以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.21如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，平面平面，为棱上一点（不与、重合），平面交棱于点.（1）求证：；（2）若二面角的余弦值为，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）先根据线面平行判定定理得平面，再根据线面平行性质定理得结果；（2）取的中点，根据面面垂直性质定理得平面，再根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积解得平面的一个方向量，再利用向量夹角公式以及二面角与向量夹角关系列方程，解得E点坐标，最后根据向量求点面距，即得结果.【详解】（1）底面为矩形，.又平面，平面，平面.又平面，平面平面，.（2）取的中点，连接，过点作交于点.侧面为正三角形，.平面平面且交线为，平面，为矩形，如图所示，建立以，所在直线为轴，轴，轴的空间直角坐标系，.设，又，.，.设平面的法向量为，令，平面的一个法向量.又易知是平面的一个法向量，解得：，.又平面的一个法向量，点到平面的距离为：.【点睛】本题考查线面平行判定与性质定理、面面垂直性质定理以及利用空间向量求二面角与点面距，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.22已知椭圆的两个焦点，与短轴的一个端点构成一个等边三角形，且直线与圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆的左顶点的两条直线，分别交椭圆于，两点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标；（3）在（2）的条件下求面积的最大值.【答案】（1）;（2）证明见；解析；定点；（3）.【解析】（1）根据直线与圆相切得圆心到直线距离等于半径列一个方程，再根据等边三角形性质得，解方程组得 ，即得结果；（2）先设直线方程，与椭圆方程联立分别解得M,N坐标，再求斜率（注意讨论），利用点斜式得直线方程，即得定点坐标；（3）利用韦达定