2018年江苏省高三上学期期末数学试题分类之数列、存在性问题.doc

七、数列（一）试题细目表地区+题号类 型 考 点思 想 方 法2018南通泰州期末8填 空 等比数列2018无锡期末9填 空 等差数列2018镇江期末7填 空 等比数列2018扬州期末9填 空 等比数列、等差数列2018常州期末8填 空 等比数列2018南京盐城期末10填 空 等差数列前n项和2018苏州期末8填 空 等比数列2018苏北四市期末11填 空 等差数列2018南通泰州期末20解答数列综合、新定义2018无锡期末19解答数列综合、存在性2018镇江期末20解答 数列综合、恒成立2018扬州期末20解答数列综合、存在性2018常州期末19解答数列综合、存在性2018南京盐城期末19解答数列综合、存在性2018苏州期末19解答 数列综合、存在性2018苏北四市期末20解答数列综合（二）试题解析1.（2018南通泰州期末8）在各项均为正数的等比数列中，若，则的值为 .【答案】2.（2018无锡期末9）已知等比数列满足，且，成等差数列，则的最大值为 【答案】10243.（2018镇江期末7）设等比数列 an 的前 n 项和 Sn ，若 a1 = -2, S6= 9S3 , 则a5 的值为 【答案】-324.（2018扬州期末9）已知各项都是正数的等比数列an的前n项和为Sn，若4a4,a3,6a5成等差数列，且a3=3a22，则S3=_.【答案】 5.（2018常州期末8）各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值为 【答案】 6.（2018南京盐城期末10）. 设为等差数列的前项和，若的前2017项中的奇数项和为2018，则的值为 【答案】40347.（2018苏州期末8）已知等比数列的前n项和为，且，则的值为 【答案】8.（2018苏北四市期末11）已知等差数列满足，则的值为 【答案】1.（2018南通泰州期末20）若数列同时满足：对于任意的正整数，恒成立；对于给定的正整数，对于任意的正整数恒成立，则称数列是“数列”.（1）已知判断数列是否为“数列”，并说明理由；（2）已知数列是“数列”，且存在整数，使得，成等差数列，证明：是等差数列.【答案】【解】（1）当为奇数时，所以.当为偶数时，所以.所以，数列是“数列”.（2）由题意可得：，则数列，是等差数列，设其公差为，数列，是等差数列，设其公差为，数列，是等差数列，设其公差为.因为，所以，所以，所以，.若，则当时，不成立；若，则当时，不成立；若，则和都成立，所以.同理得：，所以，记.设，则.同理可得：，所以.所以是等差数列.【另解】， ，以上三式相加可得：，所以，所以，所以，所以，所以，数列是等差数列.2.（2018无锡期末19）已知数列满足，是数列的前项的和.（1）求数列的通项公式；（2）若，成等差数列，18，成等比数列，求正整数的值；（3）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）因为，所以当时，当时，由和，两式相除可得，即所以，数列是首项为2，公差为1的等差数列.于是，.（2）因为，30，成等差数列，18，成等比数列，所以，于是，或.当时，解得，当时，无正整数解，所以，.（3）假设存在满足条件的正整数，使得，则，平方并化简得，则，所以，或，或，解得：，或，（舍去），综上所述，或14.3.（2018镇江期末20）已知数列 an 的前 n 项和 Sn ，对任意正整数 n ，总存在正数 p, q, r 使得恒成立：数列bn 的前 n 项和，且对任意正整数n，恒成立.（1）求常数 p, q, r 的值；（2）证明数列 bn 为等差数列；（3）若，记，是否存在正整数 k ，使得对任意正整数 n ， Pn k 恒成立，若存在，求正整数 k 的最小值，若不存在，请说明理由.【答案】因为，所以，（）得：，即，（），又，所以，（），时，时，又p, q为正数,解得pq2，又因为，且，所以（2）因为，当时，得：，即，又，+得：，即，（），所以数列 bn 为等差数列.(3)因为，又，由（2）知数列 bn 为等差数列，所以.又由（1）知，所以，又，所以，令得，所以，解得所以时，即，时，因为，所以，即，此时，即，所以的最大值为，若存在正整数 k ，使得对任意正整数 n ， Pn k 恒成立，则，所以正整数 k的最小值为4.4.（2018扬州期末20）已知各项都是正数的数列an的前n项和为Sn，且2Sn=an2+an，数列bn满足b1=，2bn+1=bn+.(1) 求数列an、bn的通项公式；(2) 设数列cn满足cn=，求和c1+c2+cn；(3)是否存在正整数p,q,r(pqr)，使得bp,bq,br成等差数列？若存在，求出所有满足要求的p,q,r，若不存在，请说明理由。【答案】解：（1） ， ，-得：，即因为是正数数列，所以，即，所以是等差数列，其中公差为1，在中，令，得所以 2分由得，所以数列是等比数列，其中首项为，公比为，所以. 5分注：也可累乘求的通项（2），裂项得 7分所以 9分（3）假设存在正整数，使得成等差数列，则，即，因为，所以数列从第二项起单调递减，当时，若，则，此时无解；若，则，因为从第二项起递减，故，所以符合要求11分若，则，即，不符合要求，此时无解；当时，一定有，否则若，则，即，矛盾，所以，此时，令，则，所以，综上得：存在或，满足要求16分 5.（2018常州期末19）已知各项均为正数的无穷数列的前项和为，且满足（其中为常数），数列满足（1）证明数列是等差数列，并求出的通项公式；（2）若无穷等比数列满足：对任意的，数列中总存在两个不同的项，（），使得，求的公比【答案】解：（1）方法一：因为，所以，由-得，即，又，则，即在中令得，即综上，对任意，都有，故数列是以2为公差的等差数列又，则方法二：因为，所以，又，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 因此，即当时，又也符合上式，故，故对任意，都有，即数列是以2为公差的等差数列（2）令，则数列是递减数列，所以 考察函数，因为，所以在上递增 因此，从而因为对任意的，总存在数列中的两个不同项，使得，所以对任意的都有，明显若，当时，有，不符合题意，舍去；若，当时，有，不符合题意，舍去；故6.（2018南京盐城期末19）. 设数列满足，其中，且，为常数.（1）若是等差数列，且公差，求的值；（2）若，且存在，使得对任意的都成立，求的最小值；（3）若，且数列不是常数列，如果存在正整数，使得对任意的均成立. 求所有满足条件的数列中的最小值.【答案】解：（1）由题意，可得，化简得，又，所以. 4分（2）将代入条件，可得，解得，所以，所以数列是首项为1，公比的等比数列，所以. 6分欲存在，使得，即对任意都成立，则，所以对任意都成立. 8分令，则，所以当时，；当时，；当时，所以的最大值为，所以的最小值为. 10分（3）因为数列不是常数列，所以若，则恒成立，从而，所以，所以，又，所以，可得是常数列矛盾所以不合题意. 12分若，取（*），满足恒成立 14分由，得则条件式变为由，知；由，知；由，知所以，数列（*）适合题意所以的最小值为. 16分7.（2018苏州期末19）已知各项是正数的数列的前n项和为（1）若（nN*，n2），且求数列的通项公式；若对任意恒成立，求实数的取值范围；（2）数列是公比为q（q0， q1）的等比数列，且an的前n项积为若存在正整数k，对任意nN*，使得为定值，求首项的值【答案】解（1）当时，由 则 -得，即，2分当时，由知，即，解得或（舍），所以，即数列为等差数列，且首项，所以数列的通项公式为.5分（注：不验证扣1分）由知，所以，由题意可得对一切恒成立，记，则，所以，8分当时，当时，且，所以当时，取得最大值，所以实数的取值范围为.11分（2）由题意，设（），两边取常用对数， 令，则数列是以为首项，为公差的等差数列，13分若为定值，令，则，即对恒成立，因为，问题等价于将代入，解得.因为，所以，所以，又故.16分8.（2018苏北四市期末20）已知数列，其前项和为，满足，其中，.若，（），求证：数列是等比数列；若数列是等比数列，求，的值；若，且，求证：数列是等差数列.【答案】（1）证明：若，则当(),所以，即，所以， 2分又由，得，即