高考数学一轮复习 4.3三角函数的图象及性质课件.ppt

课标版理数 4 3三角函数的图象及性质 1 五点法 作图原理 在确定正弦函数y sinx在 0 2 上的图象形状时 起关键作用的五个点是 0 0 0 2 0 2 三角函数的图象和性质 3 一般地 对于函数f x 如果存在一个不为0的常数t 使得当x取定义域内的每一个值时 都有f x t f x 那么函数f x 就叫做周期函数 非零常数t叫做这个函数的周期 把所有周期中存在的最小正数 叫做最小正周期 函数的周期一般指最小正周期 函数y asin x 或y acos x 0且为常数 的周期t 函数y atan x 0且为常数 的周期t 4 作y asin x a 0 0 的图象主要有以下两种方法 1 用 五点法 作图用 五点法 作y asin x 的简图 主要是通过变量代换 设z x 由z取0 2 来求出相应的x 通过 列表 计算得出五点坐标 描点连线后得出图象 2 由函数y sinx的图象通过变换得到y asin x 的图象 有两种主要途径 先平移后伸缩 与 先伸缩后平移 方法一 先平移后伸缩y sinxy sin x y sin x y asin x 方法二 先伸缩后平移 y sinxy sin xy sin x y asin x 5 y asin x a 0 0 x 0 表示一个振动量时 a叫做振幅 t 叫做周期 f 叫做频率 x 叫做相位 x 0时的相位 称为初相 1 下列四个函数中 以 为最小正周期 且在区间上为减函数的是 a y sin2xb y 2 cosx c y cosd y tan x 答案d选项a中 t 在区间上不是减函数 选项b中 t 在区间上是增函数 选项c中 t 4 选项d中 t 在区间上是减函数 故选d 2 已知函数f x 2sin x 0 0 的图象如图所示 则 等于 a b c 1d 2答案b t 3 故选b 3 将函数y sin2x的图象向左平移个单位 再向上平移1个单位 所得图象的函数解析式是 a y cos2xb y 2cos2xc y 1 sind y 2sin2x答案by sin2x的图象向左平移个单位得到y sin sin cos2x的图象 再向上平移1个单位得到y cos2x 1 2cos2x的图象 故选b 4 下列四个函数中 最小正周期为 且图象关于直线x 对称的是 a y sinb y sinc y sind y sin答案c对于选项a b 函数的最小正周期都是4 排除a b 对于c选项 最小正周期为t 2 函数图象关于直线x 对称 故选c 5 f x cos的最小正周期为 其中 0 则 答案10解析 t 10 6 已知函数y sin x 的最小正周期为 且其图象关于直线x 对称 下面四个结论 图象关于点对称 图象关于点对称 在上是增函数 在上是增函数 其中所有正确结论的编号为 答案 解析 t 2 由题意知2 k k z k k z y sin 可知仅 正确 典例1 1 2014浙江 4 5分 为了得到函数y sin3x cos3x的图象 可以将函数y cos3x的图象 a 向右平移个单位b 向左平移个单位c 向右平移个单位d 向左平移个单位 2 2013四川 5 5分 函数f x 2sin x 的部分图象如图所示 则 的值分别是 三角函数的图象及其变换 答案 1 c 2 a解析 1 因为y sin3x cos3x cos 所以要得到函数y cos的图象 可以将函数y cos3x的图象向右平移个单位 故选c 2 由题中图象可知t t t 则 2 图象过点 则f 2 2sin 2 sin 1 1 由图象求解析式y asin x a 0 0 的一般步骤 1 由函数的最值确定a的值 2 由函数的周期来确定 的值 3 由函数图象最高点 或最低点 的坐标得到关于 的方程 再由 的范围得 的值 也可以由起始点的横坐标得 的值 2 五点法 作形如y asin x a 0 0 的图象时 利用 整体 的思想 将 x 取五个值 0 2 进一步计算出相应的x的五个值 然后列表 描点 连线即可 3 用 五点法 作图时 横 纵坐标的刻度选取要合理 图象才美观 4 用 变换法 作函数y asin x a 0 0 的图象时 先平移 后伸缩 平移 个单位 先伸缩 后平移 应平移个单位 原因在于相位变换和周期变换都是对变量x而言的 因此在用这样的变换法作图时一定要注意平移的先后顺序 1 1如图是函数y asin x a 0 0 的图象 由图中条件写出该函数的解析式 解析由题图知a 5 由 得t 3 此时y 5sin 下面求初相 解法一 单调性法 点 0 在下降的那段曲线上 k 由sin 0得 2k k z 2k k 解法二 最值点法 将最高点坐标代入y 5sin 得5sin 5 2k k z 2k k 又 解法三 起始点法 函数y asin x 的图象一般由 五点法 作出 而起始点的横坐标x0正是由 x0 0解得的 故只要找出起始点横坐标x0 就可以迅速求得 由图象易 1 2作出函数y 3sin x r的简图 并说明它与y sinx的图象的关系 解析按 五点法 当2x 分别取0 2 时 相应的x取 列表 描点 连线 得y 3sin在一个周期内的图象如图所示 利用函数的周期性 可以把上述简图向左 右扩展 就得到y 3sin x r 的简图 由图象可以看出 y 3sin的图象是用下面方法得到的 y sinx的图象y sin2x的图象y sin sin的图象y 3sin的图象 典例2 2014天津 15 13分 已知函数f x cosx sin cos2x x r 1 求f x 的最小正周期 2 求f x 在闭区间上的最大值和最小值 解析 1 由已知 有f x cosx cos2x sinx cosx cos2x sin2x 1 cos2x 三角函数的性质及其应用 sin2x cos2x sin 所以f x 的最小正周期t 2 因为f x 在区间上是减函数 在区间上是增函数 f f f 所以函数f x 在闭区间上的最大值为 最小值为 1 周期性 求三角函数的最小正周期时 一般地 经过恒等变形把三角函数化为 y asin x 或 y acos x 或 y atan x 的形式 再利用周期公式即可 2 奇偶性 判断函数的奇偶性 应先判断函数定义域的对称性 注意偶函数的和 差 积 商仍是偶函数 复合函数在复合过程中 对每个函数 为奇函数或偶函数 而言 只要有一个是偶函数 则复合函数就是偶函数 若都是奇函数 则复合函数为奇函数 3 三角函数的单调性 三角函数单调区间的确定 一般先将三角函数式化为基本三角函数的标准式 然后通过同解变形或利用数形结合方法求解 对于复合函数 由两个函数复合而成 单调区间的确定 应明确 对复合过程中的每一个函数而言 同增或同减则为增 一增一减则为减 即同增异减 4 图象的对称性 判断函数f x asin x 或g x acos x a 0 0 的图象对称性的方法 当x x0时 f x 或g x 取到最值 则f x 或g x 的图象关于直线x x0轴对称 若f x0 0 或g x0 0 则f x 或g x 的图象关于点 x0 0 中心对称 2 1已知函数f x 1 求f x 的定义域及最小正周期 2 求f x 的单调递增区间 解析 1 由sinx 0得x k k z 故f x 的定义域为 x r x k k z 因为f x 2cosx sinx cosx sin2x cos2x 1 sin 1 所以f x 的最小正周期t 2 函数y sinx的单调递增区间为 k z 由2k 2x 2k x k k z 得k x k x k k z 所以f x 的单调递增区间为和 k z 2 2已知函数f x 2sin2 2cos2x 1 求函数f x 的最小正周期和单调递增区间 2 求函数f x 在区间上的值域 解析 1 f x 1 cos2x cos cos2x 1 sin2x cos2x 1 2sin 1 由2k 2x 2k k z 得k x k k z 故函数f x 的最小正周期t 单调递增区间为 k z 2 由0 x 得 2x 从而有 sin 1 则0 2sin 1 3 故函数f x 在区间上的值域为 0 3 典例3 1 2014北京 14 5分 设函数f x asin x a 是常数 a 0 0 若f x 在区间上具有单调性 且f f f 则f x 的最小正周期为 2 2014山东 16 12分 已知向量a m cos2x b sin2x n 函数f x a b 且y f x 的图象过点和点 求m n的值 将y f x 的图象向左平移 0 个单位后得到函数y g x 的图象 若y g x 图象上各最高点到点 0 3 的距离的最小值为1 求y g x 的单调递增区间 y asin x 的图象和性质的综合应用 答案 1 解析 1 记f x 的最小正周期为t 由题意知 又f f f 且 可作出示意图如图所示 一种情况 x1 x2 x2 x1 t 2 由题意知f x a b msin2x ncos2x 因为y f x 的图象经过点和 所以即解得m n 1 由 知f x sin2x cos2x 2sin 由题意知g x f x 2sin 设y g x 的图象上符合题意的最高点为 x0 2 由题意知 1 1 所以x0 0 即到点 0 3 的距离为1的最高点为 0 2 将其代入y g x 得sin 1 因为0 所以 因此g x 2sin 2cos2x 由2k 2x 2k k z 得k x k k z 所以函数y g x 的单调递增区间为 k z 函数y asin x a 0 0 的性质 1 奇偶性 k k z 时 函数y asin x 为奇函数 k k z 时 函 数y asin x 为偶函数 2 周期性 y asin x 存在周期性 其最小正周期为t 3 单调性 根据y asint a 0 和t x 0 的单调性来研究 由 2k x 2k k z 可得单调增区间 由 2k x 2k k z 可得单调减区间 3 1设函数f x sin x cos x 的最小正周期为 且f x f x 则 a f x 在单调递减b f x 在单调递减c f x 在单调递增d f x 在单调递增 解析f x sin x cos x sin x 周期t 2 f x f x f x 为偶函数 k k k z 又 f x sin cos2x 由f x 的图象易得f x 在上单调递减 故选a 答案a 3 2已知函数f x asin x x r a 0 0 的最大值为2 最小正周期为