高中数学 1.1.1任意角课件 新人教A版必修4.ppt

第一章三角函数1 1任意角和弧度制1 1 1任意角 一 角的概念的推广和分类1 角的概念角可以看成平面内一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置 端点 所成的图形 2 按旋转方向对任意角分类思考 角的概念中主要包含哪些要素 提示 角的概念包含的三要素为 顶点 始边 终边 逆时针 顺时针 不作任 何 二 象限角与终边相同的角1 象限角角的终边在第几象限 则此角称为第几 如果角的终边在坐标轴上 就认为这个角不属于任何一个象限 2 终边相同的角 1 图示 象限角 2 集合表示 3 语言叙述 任一与角 终边相同的角 都可以表示成角 与 的和 s k 360 k z 整数个周角 判断 正确的打 错误的打 1 研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点 2 锐角是第一象限的角 但第一象限的角不一定是锐角 3 象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的 提示 1 错误 研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点 且角的始边与x轴的非负半轴重合 2 正确 如390 的角是第一象限的角 但不是锐角 3 错误 不唯一 如终边落在y轴的非正半轴上的角的集合可以表示为 k 360 270 k z 也可以表示为 k 360 90 k z 答案 1 2 3 知识点拨 1 解读任意角的概念 1 用运动的观点来定义角 就可以把角的概念推广到任意角 包括任意大小的正角 负角和零角 2 对角的概念的认识关键是抓住 旋转 二字 要明确旋转方向 要明确旋转的大小 要明确射线未作任何旋转时的位置 2 象限角的表示 1 终边在第一象限内的角为 k 360 0 90 k z 即将不等式0 90 的两边同时加上k 360 可得终边在第一象限的角的表示为 k 360 k 360 90 k z 2 终边在第二象限的角的表示为 k 360 90 k 360 180 k z 3 终边在第三象限的角的表示为 k 360 180 k 360 270 k z 4 终边在第四象限的角的表示为 k 360 90 k 360 k z 3 终边相同的角的关注点所有与角 终边相同的角 连同角 在内可以用式子k 360 k z表示 在运用时需注意以下四点 1 k是整数 这个条件不能漏掉 2 是任意角 3 k 360 与 之间用 连接 如k 360 30 应看成k 360 30 k z 4 终边相同的角不一定相等 终边相同的角有无数个 它们相差周角的整数倍 相等的角终边一定相同 类型一任意角的概念 典型例题 1 时钟转过2小时15分 分针转过的角度是 若将时钟拨慢5分钟 则时针 分针所转的角度分别是 2 写出图 1 2 中的角 的度数 解题探究 1 时钟每转过1小时 时针 分针分别转了多少度 2 按角的旋转方向应把角分为哪几类 探究提示 1 时针转分针转一周 即 360 2 按角的旋转方向不同应把角分为正角 负角和零角 当一条射线没有作任何旋转时 规定为零角 解析 1 因为2小时15分 2 25小时 所以分针转过的角度为 360 2 25 810 若将时钟拨慢5分钟 即回拨小时 故时针转分针转答案 810 2 5 30 2 图 1 中 360 30 330 图 2 中 360 60 150 150 360 60 360 60 150 570 拓展提升 任意角大小的确定策略 1 弄清角的始边与终边 2 结合图形明确这个角从始边到终边转过了多少度 3 注意逆时针旋转与顺时针旋转的区别 变式训练 射线oa绕端点o顺时针旋转90 到ob位置 接着逆时针旋转100 到oc位置 然后再顺时针旋转240 到od位置 求 aod的大小 解题指南 按照顺时针旋转得负角 逆时针旋转得正角计算 解析 由题意知 aob 90 boc 100 cod 240 所以 aod aob boc cod 90 100 240 230 类型二象限角 典型例题 1 若 是第四象限角 则180 是 a 第一象限角b 第二象限角c 第三象限角d 第四象限角2 1120 角是第 象限角 3 设 是第二象限角 则的终边不在第 象限 解题探究 1 第四象限角应如何表示 2 要判断角所在的象限 应把角转化到什么范围内 3 题3中应如何表示 探究提示 1 第四象限角应表示为 k 360 90 k 360 k z 2 将角转化到0 360 范围内 在直角坐标系中 在0 360 范围内没有两个角终边是相同的 3 由于 是第二象限角 所以k 360 90 k 360 180 k z 则k 120 30 k 120 60 k z 解析 1 选c 因为 是第四象限角 则角 应满足 k 360 90 k 360 k z 所以 k 360 k 360 90 则 k 360 180 180 k 360 90 180 k z 当k 0时 180 180 270 故180 为第三象限角 2 因为 1120 360 4 320 而320 是第四象限角 故 1120 是第四象限角 答案 四 3 因为 是第二象限角 所以k 360 90 k 360 180 则如图 k取0或1或 1时 可得到角终边在第一 二 四象限 不在第三象限 答案 三 互动探究 若将题2中的角改为1120 则此角又是第几象限呢 解析 因为1120 3 360 40 而40 是第一象限角 故1120 是第一象限角 拓展提升 1 象限角的判定方法 1 根据图象判定 利用图象实际操作时 依据是终边相同的角的概念 因为0 360 之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系 2 将角转化到0 360 范围内 2 确定所在象限的一般步骤 1 求出的范围 2 对n的取值分情况讨论 3 下结论 变式训练 1 下列说法正确的是 a 第一象限角一定不是负角b 锐角一定是第一象限角c 第二象限角一定是钝角d 终边和始边都相同的角一定相等 解析 选b 由于旋转方向不同 故第一象限角可以是负角 a错 大于0 小于90 的角是锐角 故一定是第一象限角 b正确 第二象限角可能为负角 故c错 终边和始边都相同的角可能相差k 360 k z 故d错 2 已知 是第二象限角 那么是 a 第一象限角b 第二象限角c 第二或第四象限角d 第一或第三象限角 解析 选d 因为 是第二象限角 所以90 k 360 180 k 360 k z 所以k z 当k取偶数 如0 时 是第一象限角 当k取奇数 如1 时 是第三象限角 类型三终边相同的角 典型例题 1 下列角中终边与330 相同的角是 a 30 b 30 c 630 d 630 2 与 460 角终边相同的角可以表示成 a 460 k 360 k zb 100 k 360 k zc 260 k 360 k zd 260 k 360 k z 3 如图所示 如按逆时针旋转 终边落在oa位置时的角的集合是 终边落在ob位置时角的集合是 解题探究 1 与已知角 终边相同的角 应如何表示 2 终边相同的角之间相差多少 3 按逆时针旋转形成的角为正角还是负角 探究提示 1 s k 360 k z 2 终边相同的角之间相差360 的整数倍 3 按逆时针旋转形成的角为正角 解析 1 选b 因为330 360 30 故330 与 30 角的终边相同 2 选c 因为 460 260 2 360 故 460 可以表示成260 k 360 k z 故选c 3 根据终边相同的角的表示 故终边落在oa位置时的角的集合是 60 k 360 k z 终边落在ob位置时的角的集合是 225 k 360 k z 答案 60 k 360 k z 225 k 360 k z 拓展提升 1 终边相同的角常用的三个结论 1 终边相同的角之间相差360 的整数倍 2 终边在同一直线上的角之间相差180 的整数倍 3 终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90 的整数倍 2 终边在坐标轴上的角的表示 1 终边落在x轴非负半轴上的角的集合为 x x k 360 k z 2 终边落在x轴非正半轴上的角的集合为 x x k 360 180 k z 故角的终边落在x轴上的角的集合为 x x k 180 k z 3 终边落在y轴非负半轴上的角的集合为 x x k 360 90 k z 4 终边落在y轴非正半轴上的角的集合为 x x k 360 270 k z 故终边落在y轴上的角的集合为 x x k 180 90 k z 由 1 2 3 4 可知终边落在坐标轴上的角的集合为 x x k 90 k z 3 表示区间角的三个步骤第一步 先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界 第二步 按由小到大分别标出起始和终止边界对应的 360 360 范围内的角 和 写出最简区间 x x 第三步 起始 终止边界对应角 再加上360 的整数倍 即得区间角集合 变式训练 写出角的终边在图中阴影区域的角的集合 包括边界 解析 1 45 k 180 90 k 180 k z 2 150 k 360 150 k 360 k z 易错误区 与角的概念有关的易错点 典例 下列说法正确的是 a 第一象限的角小于第二象限的角b 若90 180 则 是第二象限的角c 小于90 的角都是锐角d 有些角不是任何象限的角 解析 选d 30 角是第一象限的角 240 角 是第二象限的角 显然30 不小于 240 故a不正确 当 90 或180 时 其终边落在坐标轴上 不是任何象限的角 可知b不正确 d正确 小于90 的角也可能是零角或负角 它不一定是锐角 故c不正确 误区警示 防范措施 1 对角的概念的推广的认识对角的认识不能仅仅局限于正角的范围 还有负角和零角 如本例中 处的理解 2 明确角的分类按照角的旋转方向分为正角 负角和零角 按照角的终边位置分为象限角和终边在坐标轴上的角 如在本例 处易忽略终边落在坐标轴上的角的情况 类题试解 下列说法中正确的是 a 三角形的内角必是第一 二象限角b 第一象限角必是锐角c 不相等的角终边一定不同d 若 k 360 k z 则 和 终边相同 解析 选d 90 的角可以是三角形的内角 但它不是第一 二象限角 390 的角是第一象限角 但它不是锐角 390 角和30 角不相等 但终边相同 故a b c均不正确 对于d 由终边相同的角的概念可知正确 1 把 1485 转化为 k 360 0 360 k z 的形式是 a 45 4 360 b 45 4 360 c 45 5 360 d 315 5 360 解析 选d 由于0 360 故选项b c错误 因为 1485 315 5 360 故选d 2 以下说法 其中正确的有 65 是第四象限的角 锐角必是第一象限的角 235 是第三象限角 在 360 0 范围内与1250 终边相同的角是 190 a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 选d 由终边相同的角的概念知 都正确 而锐角是大于0 小于90 的角 故必是第一象限的角 正确 3 若角 满足 45 k 180 k z 则角 的终边落在 a 第一或第三象限b 第一或第二象限c 第二或第四象限d 第三或第四象限 解析 选a 当k 0时 45 此时 为第一象限角 当k 1时 225 此时 为第三象限角 故选a 4 已知 30 将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为 解析 3 360 30 1110 答案 1110 5 有一个小于360 的正角 这个角的6倍的终边与x轴的正半轴重合 则这个角为 解析 由题知 6 k 360 k z 所以 k 60 k z 又因为 是小于360 的正角 所以满足条件的角 的值为60 120