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中考数学专题：最短距离问题 洪湖市峰口镇二中 刘万兵最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。一、“最值”问题大都归于两类基本模型：、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。 几何模型：条件：如图，、是直线同旁的两个定点问题：在直线上确定一点，使的值最小方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）模型应用：（1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称连结交于，则的最小值是_；（2）如图2，的半径为2，点在上，是上一动点，求的最小值；解：（1）的最小值是 （2）的最小值是【典型例题分析】1.如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ） A B C3 D2如图，抛物线的顶点为A，与y 轴交于点B(1)求点A、点B的坐标；(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PA-PBAB；(3)当PA-PB最大时，求点P的坐标.解：(1)令x=0，得y=2， B(0，2) A(-2，3)(2)证明：.当点P是AB的延长线与x轴交点时，PA-PB=AB；.当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时，在点P、A、B构成的三角形中，PA-PBAB. 综合上述：PA-PBAB.(3)作直线AB交x轴于点P由(2)可知：当PA-PB最大时，点P是所求的点作AHOP于H BOOP BOP=AHP，且BPO=APH BOPAHP 由(1)可知：AH=3、OH=2、OB=2 即 OP=4， P(4，0)标为 的周长即是4.一次函数的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PCPD的最小值，并求取得最小值时P点坐标解：(1)将点A、B的坐标代入ykxb并计算得k2，b4解析式为：y2x4；(2)设点C关于点O的对称点为C，连结PC、DC，则PCPCPCPDPCPDCD，即C、P、D共线时，PCPD的最小值是CD连结CD，在RtDCC中，CD2；易得点P的坐标为(0，1)(亦可作RtAOB关于y轴对称的)5.已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小请求出点P的坐标解：（1）此抛物线的解析式为（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.设直线的表达式为则解得此直线的表达式为把代入得点的坐标为6.如图，抛物线的顶点P的坐标为，交x轴于A、B两点，交y轴于点（1）求抛物线的表达式（2）把ABC绕AB的中点E旋转180，得到四边形ADBC判断四边形ADBC的形状，并说明理由（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得FBD的周长最小，若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由题意知解得， 抛物线的解析式为 （2）设点A（，0），B（，0），则，解得 OA1，OB3又tanOCBOCB60，同理可求OCA30ACB90 由旋转性质可知ACBD，BCAD 四边形ADBC是平行四边形 又ACB90四边形ADBC是矩形 （3）延长BC至N，使假设存在一点F，使FBD的周长最小即最小DB固定长只要FD+FB最小又CABN FD+FBFD+FN当N、F、D在一条直线上时，FD+FB最小 又C为BN的中点， （即F为AC的中点） 又A（1，0），C（0，） 点F的坐标为F（，） 存在这样的点F（，），使得FBD的周长最小 7.如图（1），抛物线和轴的交点为为的中点，若有一动点，自点处出发，沿直线运动到轴上的某点（设为点），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点），最后又沿直线运动到点，求使点运动的总路程最短的点，点的坐标，并求出这个最短路程的长。解：如图（1），由题意可得（0，3），抛物线的对称点为，点关于轴的对称点为，点关于抛物线对称轴的对称点为（6，3）。连结。根据轴对称性及两点间线段最短可知，的长就是所求点运动中最短总路程的长，在直线的方程为（过程略）。设与的交点为则为在轴上所求的点，与直线的交点为所求的F点。可得点的坐标为（2