四种命题与充要条件

精品文档 第 1 页 共 12 页1欢迎下载 常用逻辑用语与充要条件常用逻辑用语与充要条件 高考考情解读 1 本讲在高考中主要考查集合的运算 充要条件的判定 含有一个量词的 命题的真假判断与否定 常与函数 不等式 三角函数 立体几何 解析几何 数列等知识综 合在一起考查 2 试题以选择题 填空题方式呈现 考查的基础知识和基本技能 题目难度中 等偏下 1 命题的定义 用语言 符号或式子表达的 可以 判断真假的陈述句叫做命题 其中判断为真的语句叫 真命题 判断为假的语句叫假命题 2 四种命题及其关系 1 原命题为 若p则q 则它的逆命题为若 q 则 p 否命题为若 p 则 q 逆否命题为若 q 则 p 2 原命题与它的逆否命题等价 逆命题与它的否命题等价 四种命题中原命题与逆否命题同 真同假 逆命题与否命题同真同假 遇到复杂问题正面解决困难的 采用转化为反面情况处理 即 可以转化为判断它的逆否命题的真假 命题真假判断的方法 命题真假判断的方法 1 对于一些简单命题 若判断其为真命题需推理证明 若判断其为假命题只需举出一个反 例 2 对于复合命题的真假判断应利用真值表 3 也可以利用 互为逆否命题 的等价性 判断其逆否命题的真假 3 充分条件与必要条件的定义 1 若p q且qp 则p是q的充分非必要条件 2 若q p且pq 则p是q的必要非充分条件 3 若p q 且 q p 则p是q的充要条件 4 若pq且qp 则p是q的非充分非必要条件 精品文档 第 2 页 共 12 页2欢迎下载 设集合A x x满足条件p B x x满足条件q 则有 1 若A B 则p是q的充分条件 若AB 则p是q的充分不必要条件 2 若B A 则p是q的必要条件 若BA 则p是q的必要不充分条件 3 若A B 则p是q的充要条件 4 若AB 且BA 则p是q的既不充分也不必要条件 2 充分 必要条件的判定方法 1 定义法 直接判断若 p 则 q 若 q 则 p 的真假 2 传递法 3 集合法 若p以集合A的形式出现 q以集合B的形式出现 即A x p x B x q x 则 若A B 则p是q的充分条件 若B A 则p是q的必要条件 若A B 则p是q 的充要条件 4 等价命题法 利用 A B 与 B A B A 与 A B A B 与 B A 的等价关系 对 于条件或结论是否定式的命题 一般运用等价法 利用原命题和逆否命题是等价的这个结论 有时可以准确快捷地得出结果 是反证法的理论基础 1 简单的逻辑联结词 1 命题中的 且 或 非 叫作逻辑联结词 2 简单复合命题的真值表 pq p q p或 q p且 q p或q p 且q p或 q p且 q 真真假假真真假假假假 真假假真真假假真真假 假真真假真假假真真假 假假真真假假真真真真 2 全称量词与存在量词 1 常见的全称量词有 任意一个 一切 每一个 任给 所有的 等 2 常见的存在量词有 存在一个 至少有一个 有些 有一个 某个 有的 等 3 全称命题与特称命题 1 含有全称量词的命题叫全称命题 2 含有存在量词的命题叫特称命题 4 命题的否定 1 全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题 精品文档 第 3 页 共 12 页3欢迎下载 2 p或q的否定 非p且非q p且q的否定 非p或非q 注 1 逻辑联结词 或 的含义 逻辑联结词中的 或 的含义 与并集概念中的 或 的含义相同 如 x A或x B 是指 x A且x B x A且x B x A且x B三种情况 再如 p真或q真 是指 p 真且q假 p假且q真 p真且q真三种情况 2 命题的否定与否命题 否命题 是对原命题 若p 则q 的条件和结论分别加以否定而得到的命题 它既否 定其条件 又否定其结论 命题的否定 即 非p 只是否定命题p的结论 命题的否定与原命题的真假总是对立的 即两者中有且只有一个为真 而原命题与否命题 的真假无必然联系 3 含一个量词的命题的否定 全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题 1 2013 皖南八校 命题 若一个数是负数 则它的平方是正数 的逆命题是 A 若一个数是负数 则它的平方不是正数 B 若一个数的平方是正数 则它是负数 C 若一个数不是负数 则它的平方不是正数 D 若一个数的平方不是正数 则它不是负数 解析 依题意得原命题的逆命题是 若一个数的平方是正数 则它是负数 选 B 2 2012 湖北 命题 存在一个无理数 它的平方是有理数 的否定是 A 任意一个有理数 它的平方是有理数 B 任意一个无理数 它的平方不是有理数 C 存在一个有理数 它的平方是有理数 D 存在一个无理数 它的平方不是有理数 答案 B 解析 这是一个特称命题 特称命题的否定不仅仅要否定结论而且要将相应的存在量词 存在 一个 改为全称量词 任意一个 故选 B 2 已知a b c R R 命题 若a b c 3 则a2 b2 c2 3 的否命题是 A 若a b c 3 则a2 b2 c2 3 B 若a b c 3 则a2 b2 c2y 则x y 的逆命题 B 命题 若x 1 则x2 1 的否命题 C 命题 若x 1 则x2 x 2 0 的否命题 D 命题 若x2 0 则x 1 的逆否命题 答案 A 解析 对于 A 其逆命题 若x y 则x y 是真命题 这是因为x y Error Error 必有 x y 对于 B 否命题 若x 1 则x2 1 是假命题 如x 5 x2 25 1 对于 C 其否命 精品文档 第 5 页 共 12 页5欢迎下载 题 若x 1 则x2 x 2 0 因为x 2 时 x2 x 2 0 所以是假命题 对于 D 若 x2 0 则x 0 或x1 因此原命题的逆否命题是假命题 故选 A 2 已知命题p n N 2n 1 000 则 p为 A n N 2n 1 000 B n N 2n 1 000 C n N 2n 1 000 D n N 2n 1 000 解析 特称命题的否定是全称命题 即p x M p x 则 p x M p x 故选 A 答案 A 4 2012 湖北改编 命题 存在x0 R RQ Q x Q Q 的否定是 3 0 A 存在x0D R RQ Q x Q Q B 存在x0 R RQ Q x D Q Q 3 03 0 C 任意xD R RQ Q x3 Q Q D 任意x R RQ Q x3D Q Q 答案 D 解析 存在 的否定是 任意 x3 Q Q 的否定是x3D Q Q 命题 存在x0 R RQ Q x Q Q 的否定是 任意x R RQ Q x3D Q Q 故应选 D 3 0 1 2011 安徽 命题 所有能被 2 整除的整数都是偶数 的否定是 A 所有不能被 2 整除的整数都是偶数 B 所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C 存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 D 存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 答案 D 解析 由于全称命题的否定是特称命题 本题 所有能被 2 整除的整数都是偶数 是全称命题 其否定为特称命题 存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 2 2012 辽宁改编 已知命题p 对任意x1 x2 R R f x2 f x1 x2 x1 0 则 p是 A 存在x1 x2 R R f x2 f x1 x2 x1 0 B 对任意x1 x2 R R f x2 f x1 x2 x1 0 C 存在x1 x2 R R f x2 f x1 x2 x1 0 D 对任意x1 x2 R R f x2 f x1 x2 x1 0 答案 C 解析 p 存在x1 x2 R R f x2 f x1 x2 x1 1 的否定是 A 对任意实数x 都有x 1 B 不存在实数x 使x 1 C 对任意实数x 都有x 1 D 存在实数x 使x 1 答案 C 精品文档 第 6 页 共 12 页6欢迎下载 解析 利用特称命题的否定是全称命题求解 存在实数x 使x 1 的否定是 对任意实数x 都有x 1 故选 C 11 给出以下三个命题 若ab 0 则a 0 或b 0 在 ABC中 若 sin A sin B 则A B 在一元二次方程ax2 bx c 0 中 若b2 4ac0 的解集为Error Error 故由x 2x2 x 1 0 但 1 2 2x2 x 1 0D x 故选 A 1 2 2 在 ABC中 由正弦定理得 sin A sin B a b A B 故选 B 6 下列结论 若命题p 存在x R R tan x 1 命题q 对任意x R R x2 x 1 0 则命题 p且 q 是 假命题 已知直线l1 ax 3y 1 0 l2 x by 1 0 则l1 l2的充要条件是 3 a b 命题 若x2 3x 2 0 则x 1 的逆否命题 若x 1 则x2 3x 2 0 其中正确结论的序号为 答案 解析 中命题p为真命题 命题q为真命题 所以p且 q为假命题 故 正确 当b a 0 时 有l1 l2 故 不正确 正确 所以正确结论的序号为 5 下列命题中正确命题的序号是 若ac2 bc2 则a b 若 sin sin 则 实数a 0 是 直线x 2ay 1 和直线 2x 2ay 1 平行 的充要条件 若f x log2x 则f x 是偶函数 答案 解析 对于 ac2 bc2 c2 0 a b正确 对于 sin 30 sin 150 D 30 150 所 以 错误 对于 l1 l2 A1B2 A2B1 即 2a 4a a 0 且A1C2 A2C1 所以 对 对于 显然对 6 已知p x x2 2x m 0 如果p 1 是假命题 p 2 是真命题 则实数m的取值范围为 精品文档 第 7 页 共 12 页7欢迎下载 答案 3 8 解析 因为p 1 是假命题 所以 1 2 m 0 解得m 3 又因为p 2 是真命题 所以 4 4 m 0 解得m 8 故实数m的取值范围是 3 m0 的否定是 x0 R R 2x0 0 答案 D 解析 对 A 只有当p q全是真命题时 p q为真 对 B sin 2k 或 2k 1 2 6 k Z Z 故 sin 是 的必要不充分条件 对 C l l 或 5 6 1 2 6 l 对 D 全称命题的否定是特称命题 故选 D 15 给出下列四个命题 命题 若 则 cos cos 的逆否命题 x0 R R 使得x x0 0 的否定是 x R R 均有x2 x0 的否定应是 2 0 精品文档 第 8 页 共 12 页8欢迎下载 x R R 均有x2 x 0 故 错 对 因由 x2 4 得x 2 所以 x2 4 是 x 2 的必要不充分条件 故 错 对 p q均为真命题 由真值表判定p且q为真命题 故 正确 10 给出下列命题 x R R 不等式x2 2x 4x 3 均成立 若 log2x logx2 2 则x 1 若a b 0 且c 的逆否命题 c a c b 若p且q为假命题 则p q均为假命题 其中真命题是 A B C D 答案 A 解析 中不等式可表示为 x 1 2 2 0 恒成立 中不等式可变为 log2x 2 得 1 log2x x 1 中由a b 0 得 而c1 则mx2 2 m 1 x m 3 0 的解集为 R 的逆命题 其中真命题是 把你认为正确命题的序号都填在横线上 解析 原命题为真 而它的逆命题 否命题不一定为真 互为逆否命题同真同假 故 错误 正确 又因为不等式mx2 2 m 1 x m 3 0 的解集为 R 由Error Error Error Error m 1 故 正确 答案 3 设x y R R 则 x2 y2 9 是 x 3 且y 3 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 结合图形与性质 从充要条件的判定方法入手 如图 精品文档 第 9 页 共 12 页9欢迎下载 x2 y2 9 表示以原点为圆心 3 为半径的圆上及圆外的点 当x2 y2 9 时 x 3 且y 3 并 不一定成立 当x 2 y 3 时 x2 y2 9 但x 3 且y 3 不成立 而x 3 且y 3 时 x2 y2 9 一定成立 故选 B 一个命题的否命题 逆命题 逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的 命题 解这类试题时要注意对于一些关键词的否定 如本题中等于的否定是不等于 而不是单 纯的大于 也不是单纯的小于 进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假 这里要注 意断定一个命题为真需要进行证明 断定一个命题为假只要举一个反例即可 4 a 0 是 a 0 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 因为 a 0 a 0 或a0 a 0 但 a 0a 0 所以a 0 是 a 0 的充分不 必要条件 故选 A 5 0 x 5 是不等式 x 2 4 成立的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 由 x 2 4 得 2 x 6 0 x 5 是 2 x 是 2x2 x 1 0 的 1 2 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3 2013 福建 已知集合A 1 a B 1 2 3 则 a 3 是 A B 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 a 3 时A 1 3 显然A B 但A B时 a 2 或 3 所以 A 正确 6 2013 陕西 设a a b b为向量 则 a a b b a a b b 是 a a b b 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 由 a a b b cos a a b b a a b b